奥数第九讲(枚举与其他组合方法)

1、三年级秋季班（五级下）9. 第九讲：枚举与其他组合方法一、解决问题：计数类问题宗旨：不重不漏枚举法：将符合要求的结果一一列举出来重要思想：1、有序2、会分类二、最短路线宗旨：不走冤枉路，就要朝着目标走方法：标数法步骤：1、找方向（目标及车站）2、从起点标数，起点标13、按顺序每个点都要标到4、每个点的数字=能直接到它的点的数字之和例1一只蚂蚁从A想到B,你能给它找到几条最短路线呢?A三年级秋季班（五级下）9. #解析：最短路线就要不走回头路、不走重复路。怎么走呢?目的地在右下方，那么路线就向右、向下就可以了。那么每个点需要加的数就是它左边和上边的点的数，标数如下:2336A1B11目标：右下车

2、站：左上三年级秋季班（五级下）9. #三年级秋季班（五级下）9. #可知从A到B的最短路线有6条。例2小新和爸爸决定去黄山玩，请问从北京道黄山的最短路线有多少条呢?解析：三年级秋季班（五级下）9. 可知从北京到黄山的最短路线有10条。家庭作业4图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法。解析：每种读法都是“我爱希望杯”五个字，相当于沿着这五个字的一种“走法”，所以我们可以把每个字看做“点”（车站），用标数法解答。起点是“我”1我爱1希1望1杯1爱2希3望4杯1希3望6杯1望4杯1杯最后要注意的是终点有5个哟！所以要把5个“杯”的数都加起来。最终结果是1+4+6+4+1=16（种）三、树形图适合：1

3、、步骤少2、每步的选择少例3某人游览A,B,C三个风景区，计划旅游5天，最后要回到A区（不能连续两天在同一个风景区），符合条件的游览路线可以有几条？解析：方法一，出发地点不确定，那么我们应该按照出发地分为三大类（1）从A出发共6种第一天第二天第三天第四天第五天ABABCAACBAABACCABCA（2）从B出发共5种第一天第二天第三天第四天第五天BCAABCBAABACCABCA从C出发共5种同学们想想，为什么从C出发的也是5种呢？一一因为B和C是同级别的，比如在上幅树形图中，将B换成C,把C换成B不就可以了吗？那同学们再想想，为什么B,C和A不是同级别的呢？那么共有6+5+5=16（条）游览

4、路线。方法二，倒推法第五天第四天第三天第二天第一天BAACCAB第五天在A,那么第四天就有2种可能（在B或C），如果在C,第三天又有2种可能，如果在B,第三天也有2种可能（像不像以前学的细胞分裂？）那么最后到第一天的可能就是1X2X2X2X2=16（种）四、分类枚举例4有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号（不同顺序表示不同信号），共可以组成多少种不同的信号？解析：分两类同色：红红，蓝蓝，黄黄，共3种信号异色：红+黄，红+蓝，黄+蓝，共2X3=6（种）信号红黄红蓝黄蓝黄红蓝红蓝黄注意：要留意什么时候与顺序有关。符号相同时，与顺序无关，比如11与11是一样的符号不同

5、时，要考虑顺序，比如12与21是不一样的。例5下午茶的时候。老师给同学们准备了苹果、香蕉、橘子三种水果，每种都有足够多个昊昊想挑3个水果吃，他一共有多少种挑法？解析：先分类，怎么分好呢？我们可以分为一种水果：苹，香，橘，共3种两种水果：苹+香，苹+橘，香+橘，3种搭配，但每种搭配中都有2种选法（2苹1香共2X3=6（种）选法1苹2香）三种水果：苹+香+橘，就1种共：3+6+1=10（种）（提高）学案4老师拿来三张卡片，上面分别写着数字1,2,3，昊昊可以用这些卡片拼出多少个不同的数？解析：题目只问不同的数，并没有要求位数。那么我们按照位数来分类一位数：3个二位数：12,13,21,23,31,

6、32共6个三位数：123,132,213,231,312,321共6个总计：3+6+6=15（个）注：在组数问题中，经常按照位数的多少来分类。五、整数拆分基本功：会有序进行整数的拆分注意：判断题目属于有序拆分问题还是无序拆分问题1、无序拆分问题把相同的东西放到相同的盘子里方法：进行整数的拆分即可2、有序拆分问题把相同的东西放到不同的盘子里方法：第一步：进行整数的拆分，第二步：对拆分结果进行组数铺：程老师有7个相同的苹果，（1）放到3个相同的盘子里有多少种方法？保证每个盘子至少放一个。解析：7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3共计4种方法（2）如果放到3个不同的盘子里呢？保证每个盘

7、子至少放一个。先拆分7=1+1+5115,151,511三种=1+2+4124,142,214,241,412,421六种=1+3+3133,313,331三种=2+2+3223,232,322三种共计3+6+3+3=15种方法例6涛涛有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个，涛涛一共有多少种不同的放法？过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层最少要放5个，这时有多少种不同的放法？解析：货架分上中下三层，是不同的，所以是有序拆分问题。那么先拆分，再组数。（1）5=1+1+3113,131,311三种=1+2+2122,212,221三种共计

8、3+3=6种（2）每层最少放5个，那么拆数时最小数是518=5+5+8558,585,855三种=5+6+7567,576,657,675,756,765六种=6+6+6666一种共计3+6+1=10种六、反面思考（尖子）学案4班主任要从巍巍、涛涛、昊昊、铮铮、包包这5个小朋友里面选出四人参加羽毛球赛，有多少种不同的选法？如果已经选出了巍巍、涛涛、昊昊、铮铮，现在要将它们分成两组打比赛，有多少种不同的方法？解析：从5个小朋友中选4个比较复杂，可从5个小朋友中选1个就简单多啦！题目要求从5个中选4个参加比赛，不就相当于从5个中选1个不参加比赛吗？显然有5种嘛！这就是反面思考问题，是不是简单很多呢？已经选了4名同学，我们不妨将他们标号为1号、2号