高数下册总复习课件

1、（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（1）（一）（2）设则（一）向量的数量积计算、直线与平面的对应向量之间的关系,空间曲面上某点法线方程的确定（3）曲面在某点处的法线方程的确定要点：I：曲面在某点处的法线方程的确定（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程3、典型例题解设所求直线的方向向量为根据题意知取所求直线的方程例2：设直线 L 和平面 的方程分别为则必有（ ）解：C例:(1)函数 在点 处沿哪个方向 的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设例3：设求(2)求函数在点处沿到点的方向上的方向导

2、数例4：设答案：例3：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件 ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判断。（3） 条件极值。例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离 d 的最大最小值。 由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将

3、问题 1 转化为下面的等价问题问题2：在条件下，求函数的最大最小值。问题1：在约束条件下，求距离 d 的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为三、二重积分和式极限定义、二重积分积分次序的交换、二重积分（直角坐标、极坐标）的计算、三重积分（柱面坐标）计算；重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；答案：例1：计算二重积分答案：解积分区域分为两块例2：试证：证明：画出积分区域 D 由图可知 D 又可以写成X 型区域（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例5：计算其中 D 由直线

4、y = x , y = 1 , 及x = 1 所围平面区域解（6）利用柱面坐标计算三重积分例8：绕 z 轴旋转一周而成曲面与平面 z = 8 所围空间立体四、曲线积分定义、曲面积分计算、格林公式、高斯公式（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2. 平面曲线积分“ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。与路径无关在单连通区域 G 内（4）基本计算技巧1. 利用对称性；2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数；3. 利用关系式将对不同的坐标的曲面积

5、分化为同一个曲面积分；4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简化平面曲线积分。例1：设椭球面 的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对称性例2：设则提示：利用曲线方程及对称性0例3：提示：利用高斯公式及椭球体的体积。例4：设 f (x) 在 ( 0 , + ) 上有连续的导数，L 是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A ( 1 , 2 ) 到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算（30）例5：计算 由抛物面与圆柱面及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标例6：计算再由坐标原点沿 x 轴到 B (2 , 0)。解：其中，L 为由点 A (1

6、 , 1) 沿曲线到坐标原点，分析：应用格林公式补充：五、常数项级数的审敛判断、一般周期函数的傅里叶级数的收敛条件、利用幂级数的和函数计算常数项级数的和。1. 正项级数:比较判别法，比值判别法，根值判别法，收敛的必要条件几何级数、P 级数和调和级数2. 交错级数：莱布尼茨定理3. 任意项级数：绝对收敛和条件收敛。任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级

7、数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数 s (x) 在收敛域 I 上可积，并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。 （3）求幂级数的和函数性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数 s (x) 在收敛区间内可导，并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。 说明：求和函数一定要先求收敛域。典型例题例1：若幂级数在 x = - 2 处收敛，则此幂级数在 x = 5 处（ ） （A）一定发散。（B）一定条件收敛。（C）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。 C例2：若幂级数的收敛半径是16，则幂级数的收敛半径是 （ ）4例3：已知的收敛半径为 3 ，则的收敛区间为（ ） 例4：级数当（ ）（A）p 1 时条件