数学物理方程 3Bessel 函数课件

1、本章主要内容 第3章 Bessel 函数 用分离变量法求解多个自变量的方程，自变量个数3.1二阶线性常微分方程的幂级数解法二阶线性常微分方程的如下形式y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次常微分方程， 简称二阶线性齐次方程.定理 1如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，y = C1 y1 + C2 y2仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数.则函数定理 2如果函数 y1 与

2、 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的解，y = C1 y1 + C2 y2是该方程的通解，则其中 C1, C2为任意常数.定理 3如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解，y = Y + y*，是线性非齐次方程的通解.Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个解 y1 与 y2，得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*.

3、那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)则是方程 的特解.定理 4设二阶线性非齐次方程为的特解，设二阶常系数线性齐次方程为y + py + qy = 0 .考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数. 将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 .二阶常系数线性齐次常微分

4、方程的解法由于erx 0，因此，只要 r 满足方程r2 + pr + q = 0，即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是式的解.方程称为方程的特征方程. 特征方程的根称为特征根.得2 特征方程具有两个相等的实根，即这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个解 y1 = erx.还需再找一个与 y1 线性无关的解y2， 将 y2 及其一阶、二阶导数 y2 = (c(x)erx) = erx(c(x) + rc(x)，为此，设 y2 = c(x)y1，其中 c(x)为待定函数.y2 = erx (c(x) + 2rc(x) + r2c(x)， 代入方程 y+ py + qy =

5、0 中，得3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a ib . 这时有两个线性无关的解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x.这是两个复数解， 为了便于在实数范围 内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式可得于是有由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx均为 式的解，且它们线性无关. 因此，这时方程的通解为 上述求二阶常系数线性齐次常微分方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：(1) 写出所给方程的特征方程；(2) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通

6、解.例 1求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 r2 - 2r 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x,所以方程的通解为例 2求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.解该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，求得将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + 2x)e2x. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 =

7、xe2x，所以通解为因此，所求特解为 它有重根 r = 2. 例 4求方程 y + 4y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2. 对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x.所以方程的通解为注：第二章分离变量法经常出现的两个常微分方程通解为通解为例 5求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.解因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，则代入原方程后，有且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 .所以设特解为比较两端 x 同次幂的系数，有解得A = 1

8、，B = 4，C = 6.故所求特解为比较两端 x 同次幂的系数：解得故所求特解为2 自由项 f (x) 为 Aeax 型设二阶常系数线性非齐次常微分方程为y + py + qy = Aeax，其中 a，A 均为常数.由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中 B 为待定常数， 当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1； 当 是其特征方程重根时，取 k = 2.因此，我们可以设 的特解当 a 不是特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时，取 k = 0；当 a 是其特

9、征方程单根时，取 k = 1；当 是其特征方程重根时，取 k = 2.例 8求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.解a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为,41=B注：第二章分离变量法出现的非齐次常微分方程P42一个特解为3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx + Bsin wx)型设二阶常系数线性非齐次常微分方程为y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，其中 a，A ，B 均为常数.由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函

10、数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此, 我们可以设 有特解其中 C，D 为待定常数.取 k = 0，是根时，取 k = 1。 当 a + wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，当 a + wi 不是 特征方程的根时，取k=0当 a + wi 是 特征方程的根时，取k=1例 9求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解.解自由项 f (x) = excos2x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，则 且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次常微分方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，取 k = 0，

11、所以设特解为代入原方程，得比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得解此方程组，得故所求特解为例 10求方程 y + y = sin x 的一个特解.解自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1，则代入原方程，得 且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，取 k = 1，所以，设特解为比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得故原方程的特解为而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解为例11方程 y + 4y = x +1 +

12、sinx 的通解.解自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和，y + 4y = x +1，y + 4y = sin x .和方程 的特解易求得，设方程 的特解为的特解.所以分别求方程代入，得3Asin x = sin x.所以得原方程的特解原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解为3.1.2 变系数线性方程的幂级数解法 定理3.1 考虑下面的二阶变系数线性常微分方程 y + p(x)y +q(x)y= 0 (3.1.3)如果p(x)

13、、q(x)在x0的邻域解析，即在该邻域可展成Taylor级数，则方程（3.1.3）有如下形式的解析解其中可由待定系数法求出。 例12 求解下列方程根据定理3.1，可设解为 将该级数求一阶和二阶导数并将y(x), y(x)和 y(x)代入到原方程或，它们都是R上的解析函数。解：本题此即可得将上面的结果代入到得系数全为零解：此题，它们都是R上的解析函数。根据定理3.1，可设，将该级数带入原方程，可得或又代入到（1），可得展开可得系数全为零，可得代入，可得 例13 求解下列方程根据定理3.1，可设解为 将该级数求一阶和二阶导数并将y(x),y (x)和 y(x)代入到原方程，它们在(-1,1)解析。

14、解：本题此即系数全为零或将上面的结果代入到得可得作业P76 习题3 第一题(2)(4) 3.2 Bessel函数3.2.1 函数记为函数。它对任意有定义，该广义积分收敛。函数具有下面两条性质证明下面求记利用极坐标变换可得所以利用性质还可得到 例1 计算下列积分解 （1）延拓问题，将定义域延拓到定义则在区间（-1,0）有定义。类似可以定义在区间（-2，-1）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（去掉负实数点集），其图象如下：3.2.2 Bessel方程和Bessel函数设，二阶线性常微分方程称为r阶Bessel方程。r阶Bessel方程可以写成利用幂级数解法，待定系数，注意到 定理3.2 考

15、虑下面的二阶变系数线性常微分方程 y + p(x)y +q(x)y= 0 (3.1.5)如果解析，即，方程(3.1.5)有如下形式的解析解其中可由待定系数法求出。在 的邻域最多为p(x),q(x)的一阶和二阶极点。则在该去心邻域令其中和为待定常数。有带入(1)，得即整理，有有即比较前面的系数，可得由于，故有首先取则由（4）可得如果选取，则有代入到得到原方程的一个解此函数称为r阶Bessel函数，通常记如果则由（4）式可得如果选取，则有代入到得到原方程的另一个解此函数称为-r阶Bessel函数，通常记注1 当r为正整数时，例如，取对于，当时的系数等于零。特别r=m(m为正整数)时，有所以，对所有

16、的实数r，都有意义。求解过程失效。 注2 记表达式中幂级数部分的系数为，直接计算可得即表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。类似可证表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。因此，中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。 注3 注意到 在x=0右连续而在x=0的邻域无界，故当r0不等于整数时，是线性无关的，它们构成原方程的一个基解组。当r=m(m为正整数)时，直接计算可得令n阶第一类贝塞尔函数 1 r不为整数时，贝塞尔方程的通解和线性无关n阶第二类贝塞尔函数（Neumann函数） n为整数时2 r为整数时，贝塞尔方程的通解A、B为任意常数，n为任意正整数作业P76 习题3 第七题(1)第十三题(

17、3)(4)3.2.3 贝塞尔函数的性质性质1 有界性 性质2 奇偶性 当n为正整数时 性质3 递推性 (a)-(b)(a)+(b)类似地，有注：以上递推关系式对任意的正数r也成立(P77页习题第4题)例1 求下列微积分性质4 初值 性质5 零点 有无穷多个关于原点对称分布的零点 和 的零点相间分布 的零点趋于周期分布， 性质6 半奇数阶的贝塞尔函数 性质7 渐近表达式 作业P76 习题3 第四题，第十四题3.2.4 Bessel方程的特征值问题二阶线性微分算子在圆域上的特征值问题为边界条件为Dirichlet边界条件，或者Neumann边界条件.下面利用分离变量法求解（1）.令，并将其带入到（

18、1），有即变形为故有对（2），其特征值和特征函数为将代入到（3）中，得到方程（4）结合一定边界条件便是Bessel方程的特征值问题。考虑Dirichlet边界条件下n阶Bessel方程的特征值问题其中是一个正常数，n为非负整数，为待定常数，称为（5）的特征值，而相应于的非零解称为（5）的特征函数。对于Bessel方程的特征值问题（5），有如下定理 定理3.3 设n为非负整数，即的正根，为的第m个正零点，则（5）的特征值和特征函数分别为特征函数系关于权函数是正交的，且有其中证明 1.证明特征值非负。 两边积分由已知，可得即所以可得 2.求解特征值问题。 当n=0， 时，方程 化为 其通解为 利用

19、边界条件 可得 ，因此即不是特征值，即一切特征值都大于0.当时，对原方程作自变量变换，方程化为n阶Bessel方程的通解为所以由，可得。又由得又 ，所以 为 的正零点。故有 代入并略去常数 特征值 特征函数3.证明特征函数系关于权系数的正交性。设，则 分别满足如下方程有两式相减得即积分，得关于权系数 的正交性。关于权系数的平方模。并取使得则有4.求记和令（8）和（9）第一式分别具有下面的形式同前相减有即积分有有令则有得证。注：根据递推公式以及可得则Bessel函数平方模的其他形式有 定理3.4 设 在区间 分段连续且有分段连续的一阶导数则在区间上，可按展成如下的Fourier-Bessel级数

20、其中例1：将1在 区间内展成 的级数形式 解：设例2：将x在0 x2区间内展成 的级数形式 解：设例3：将 在0 x1区间内展成 的级数形式 解：设作业P76 习题3 第十六题，第十七题 3.3 多个自变量分离变量法例子例3.12 设圆柱体为，若其边界温度为0，初始温度为，且只与求圆柱体内的温度分布 .有关且有界解 记，则u满足以下定解问题由于初始条件只与有关，边界条件为齐次边界条件，故可推知,圆柱体内以z轴为中心的圆柱面上温度相同，即u只与和t有关，而与z和无关，故有 3.3.2圆柱体或圆域上定解问题对定解问题(3.3.9)-(3.3.11),做自变量变换并注意到u与无关，直接计算可得下面利用分离变量法求解问题(3.3.12)-(3.3.14)。并代入到（3.3.12）中得令由此得由该问题的物理意义可知函数u有界，从而|u(0,t)|有界。由此可推出R应满足自然边界条件结合边界条件（3.3.13）可