幂级数应用论文

1、学年论文.本科）论文题目幂级数及其应用目录 TOC o 1-5 h z 摘要1关键词1Abstract1Keywords1前言1幂级数的定义2 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 幂级数的收敛区间和收敛半径2幂级数的运算43.1幂级数在求导数中的应用4 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 3.2幂级数在求极限中的应用5 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 3.3幂级数在计算级数和中的应用53.4幂级数在求微分方程中的应用6 HYPERLINK l bo

2、okmark41 o Current Document 总结7 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 参考文献7幂级数及其应用摘 要：本文主要介绍了幂级数的定义、收敛区间、运算及其应用。关键词：幂级数；收敛区间；应用Power series and its app licationAbstract: This paper mainly introduces the definition,convergence interval,operation and application of the power series.Key words: powe

3、r series； convergence interval； applicationX -k-刖言在数学分析中，数项级数是全部级数理论的基础，主要包括正项级数和交错级数， 而正项级数在各种数项级数中是最基本的，同时也是十分重要的一类级数。级数是高 等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来 的。中国晋时期的数学家徽早在公元263年创立了 “制圆术”，其要旨是用圆接正多 边形去逐步遍近圆，从而求得圆的面积。这种“制圆术”就已经建立了级数的思想方 法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14 世纪印度的马德哈瓦，他首先发展了幂级数的概

4、念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无 穷级数的有理数遍近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。 到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论 全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、 坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开 问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的 一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。1.幂级数的定义在弓I进幂级数定义之前，先介绍一

5、下函数项级数的概念.设(x)是定义在数集En上的一个函数列,表达式u (x)+ u (x) + u (x)+ , x G E TOC o 1-5 h z 12n称为定义在E上牌数项级数，简记吁“ (x) 或 X un (x). 定义由幂函数序列I (x-x0)n所产生的函数项级数切 a (x - x = a + a (x - x )+ a (x - x)2 + +n 001020(1)n=0()a (x - x )n +称为幂级数，是一类最简单的函数项级数.从某种意义上龙可以看作是多项式函数的 延伸漏级数在理论和实际上都有很多应用,特别是在应用它表示函数方面.下面将着重讨论=0，即咒 a xn

6、 - a + a x + a x2 + + a xn +(2)n012nn=0的情形,只要把(2)中的x换成 一七项得到(1).2.幂级数的收敛区间和收敛半径定理2.1 (阿贝尔定理)若幂级数(2)在顶x = x = 0处收敛，则对满足不等式x| |x|的任何x漏级数(2)发散.证：设级数芝anXn收敛出而数列zxJ收敛于零且有界，即存在某整数M,使得 n =0a xn M （n = 0,1,2 ）另一方面对任意一个满足不等式XI|x|的x，设则有a Xnn_ Xna Xn n xn=a xn由于级数工Mrn 收敛，故幂级数（2）当xi |x|,使级数 ax/收敛项知道级数（2）在x = x处

7、绝对收敛有假设矛盾，故一 n=0切不满足不等式卜| |x|的x，幂级数（2）都发散.由此定理知道:幂级数（2）的收敛域是以原点为中心的区间.若以2R表示区间长 度，则称R为幂级数的收敛半径.也是使得幂级数（2）收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.所以当R=0时，幂级数（2 ）仅在x = 0处收敛；当 R = +8 时,幂级数（2）在（-8,+8）上收敛；当0 R R的x，幂级数（2）都发散,在x = R处，幂级数（2）可能熟练也可能发散.我们称（一R, R）为幂级数（2）的收敛区间.定理2.2对于幂级数（2）,若limx8则当0 vpv+8时,幂级数(2)的收敛半径R = i ;PP =0时，幂

8、级数(2)的收敛半径R = +3 ;(iii) P=+3时,幂级数(2)的收敛半径R=0.证：对于幂级数(2)工加严|，由于n=0lim n a xn =lim J a x = p |x| ,V nY nnsns根据级数的根式判别法，当p|x| 1时发散.于是当n=00 vpv+8时，由p |x| 1得幂级数(2)的收敛半径R = | .当P =0时，对任何x皆有P XI 1,所以R=0.例1求幂级数Z三！的收敛区间和半径.n 2解：由于an2n+ y 1 n - 3 )，a(n +1)2所以它的收敛半径R=1,即收敛区间为(一1,1);当x = 1时，有住 =-1，由于级数 n 2 n 2Z

9、x在x = 1时也收敛，可得其收敛域为1,1.n2例2求幂级数Z nxn的收敛半径和区间.解：P = lima | = lim nn = 1，即收敛半径为R=1,收敛区间为；n3n 3当x = 1时，由于Z (1)nn均发散，故该级数的收敛区域为.谡辑推理：求易级教的收敛半径和收敛域,可直接用定理求易级敏的收敛半径R,然后 确定易级数在x = R时教项级敏的敛散性,HI可的收敛区域.当易级敏赧顶时，可直接 用正项级数的等值判别法判定收敛区域.3.易级甄的运算是级教是高等教学中最基础的知识，它的应用非常广泛.丹妙地利用函教用级教的 展开式和性质能够把复杂的性质表达成最简单的形式，便得解题思KS.

10、3.1易级教在求导教中的应用求导敬是高等教学中最基础的知识，有些求导间题漏级教法也是其中之一.例：求/（X）= 的n阶导教.2 + x-x2解：11 If 11 )_1 11 12 + x-x2 (1 +)(2-尤)3 1 + x 2 x3 1 + x 6 _尤21 T( 1 Xn=+ 36-n=Q)=R(-n=Q L/. fn G)= -G + DiSm=02n=Q1) + 2+i(|x| 1)Xn+l (|x| 1)1+2+ix (|x| co J + 23 J1 + 23 + 33J1 + 23 + + 3解：设1*1 + 231一 +1 + 23 + 331+ .v1 + 23 + i

11、3(i r n)一 1i=1+ i31 i=1(1+2+ i)2 TOC o 1-5 h z =n=23 (i+1) f 11 i+U2/1 /、=2 1 r 2 (n r 3)I n +1J+ v 1 + 23 + n3故 lim1 + +n r3v1 + 23v1 + 23 + 333.3幂级数在计算级数和中的应用利用幂级数的性质：幂级数在收敛区间可逐项求导与逐项求枳分可计算幂级数的 和.例：求幂级数吕的和函数. unnn=1ag,_Ll=lim(2n )n+1anmmnr+3:2 (n +1)；因为limn r+3=0所以R=0, 收敛域为(3, +3).头(X)=专,M)*n = 1n

12、 = 1工 X 2 n+1(2n +1)!n=0所以 s (x )+Mx )= 吕+f=孔=E Xn n1 (2n)!(2n 1)!(2n +1)!n!即s(X)+s，(x)=en s(0)= 1 (一阶线性微分方程)解得s(x)= ex + ex)2放有品=!(ex+e-) n 13.4易级数在求微分方程中的应用在求微分方程解的问题上，有时候借0ft帛级数的形式，也不失为一种好方法 例：求yfyfy =。的解解：设方程的解为y =n n=0则矿= W Xn-l TOC o 1-5 h z “nn=0v，= 打(-1)Q Xn-l E(h + 2)( + 1)q Xnnn+2n=ln=0将y,

13、y,y“代入矿-W-。Gz + 2)( + 1)i xn -xina xn-i xn =0 n+2nnn=0=0n=QS(n + 2)(n + l)a -( + l)a x =0Ln+2nn=0 a = an, n = 0,1,2+2n + 2a aaa -.a - -e- a = e2 48 2k k2k Cl(2Q71 C Qa =fQ =-t Q=1品 * = 1,妇315 , , 2k+l 2k + ly!原方程的通解为a ,q是任意常数）01EX2/7+1 X)X2+1+ a rF 2nn i (2 + 1川a=Qn=0总结舄级敬应用的方面虽然较多，但使用起来腥一定的邸，根据不同的题目特点 分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是 些典型问题，运用典型方法，才能事半协倍.本文归纳总