武汉理工2005-12考研辅导班教务电话数学三十六技15

1、数学三十六技150 分力微积分下（三十六技之十七）数学科学系主讲“三定”( 坐标系、积分序和积分限 )是计算重积分的三步曲。2 ,y ,0 a y ,0例 17-1 将 I f (xDa 0y dxdy 化成极坐标系下的积分， D : x 2ay解： D : a,a212 y 422a 2 a 2先证曲线 y x 2 2 2 x 2a ax 2a12曲线 y )( 4 之上方, 事实上，设, 21 1有 g 0 x x 0 .a, 4（1）极坐标系： x y I f (x y dxdy f (xasiny dxdy f (xD23y dxdy f (x y dxdyD3DD14a sin co

2、s2 a sin a csc a sin 0( cos) d +( cos, sin ) d,sin44a sin ( cos, sin ) d 。cos 23a sin 4（2）直角坐标系：I f (x y dxdy f (xy dxdy f (x y dxdyD2DD 1y 2yaaa yaa ydyf (x y dx +dy(dx2 00 ayy（3）利用可加性：I f (xDy dxdy f (x f (x y dxdyy dxdy x2ax22y 培训om - 1 -东门外创业1006（：62796032）y a-a0ax 2yx y 2yd .D： sin yD例 17-2 计算x

3、 2y=xy 2y2解：选择先对 x 积分，再对 y 积分y sin ysin yyxDddx dyo22 2y2y0 y22(y sin y sin y)dy (1 ) .20 x 1 x 1 x 111111 dx dy 例 17-3 求 I dx dx dyln xln xln x00000 x 1 x 11111解： u( x) x dy , I ydx yx dy dx0 0ln xln x00 dy 111dyx dx y ln 2 .0 1 y001 x 2e y / x例 17-4 求： Dd, D：.,x y xx2x2 e y / x e y / xe y / x dx e

4、 edxy x2y x222 dx 解： Dd y dx yx1x11g(x, y) y / x e y / xe。y yxf ( 12 D例 17-5设 f (t) 在0, 上满足 f (t) e4 t2 y 2 )d ,x 2D： x 2 y 2 4t 2求 f (x)df ( 1 )d22t2解： f (t) e4 t 200f ( 1 )d2t f (t) e4 t2 220t f (t) e4 t2 8u f (u) du0 f (t) 4 t e 8 t 4 t2f (t) 解得 f (t) e4 t 2 (1 4 t 2 ) . f (0) 1例 17-6 设 f (x) 在0,

5、上连续且 f (x) 0 ，并满足2培训om - 2 -东门外创业1006（：62796032）2x2xt 22f (t x) f (t)dt cos dt ，求f (x)dx 的值20解：等式两边在0,2上积分202x20t 2t 22212tdt 右边cos dt cos dx dx0202x20tdt f (t) f (t x)dx左边f (t x) f (t)dt dx0220201 tdt 2 f (t)dt f (t) f (u)du , 从而f (x)dx 1.200sin( x 2 y 2 )1x y 022arctanx 2 y 2x 2 y 2例 17-7 设 f (x,

6、y) 2x 2 y 2 01Df (x, y)dD： x 2 y 2 2( 0)求： lim 0 2(0,0) 1解： lim 0 22 Dlimf (x, y) lim sin t arctan 1 f (0,0)tt2( x, y )(0,0)t 0 y x x y d , 其中 D x, y x y R .ff1 222例 17-8 求: Ix y 22D解：考虑极坐标系x Cos ,d d d . D x, y x 2 y 2 R2 y Sin1ff 1fy y x =xy x, y x x 2 y 2 f, 1f11 fyy= x, y x , x, y x = , x, y 1 S

7、in 1 Cosyyy因为： x, y x , x = Sin x Cos 1 Cos Sin 1 y00= Sin x = 1Cos培训om - 3 -东门外创业1006（：62796032）2005-12辅导班教务：62701055数学三十六技 150 分力1ff 1 f D= dd y x x y dIx y 22 RR2 fR = f ,2 f ,0 = d d 0 .d0002 f2 f( x2 y2 )例 17-9 设 f (x, y) 在 x y 1 上二次连续可微，且 x2 y2 e22 ff x x y y dxdy 求x2 y 2 1 解：令 x cos,y sin ，则

8、f cos f sin fxy f cos f sin f x f y fxyxyfff1 2f12 0 0 x ydxdy d d d d2xyx2 y 2 1 00由于在园 x 2 y 2 1上， n , d d l ，则有f d f dl ，2n02 2x y 1再由 Green 公式，f 2 f 2 fx2 y 2 2edxdy ( x2 y 2 ) y 2ndl =dxdy2xx2 y 2 2 x2 y 2 222dtedt (1 e), 20 1.t00fn f f i j dy i dx j dlx2 y 2 2dl f ndl f dn x2 y2 2( x y0 x2 y 2

9、 2 x2 y2 2 f f 2 f 2 fx2 y 2 2dxdy x dy y dx y 22xx2 y 2 2 d l dx i dy jd n dy i dx j ),ff1 x ydxdy (1 e)d 2e 2最后，xyx2 y 2 1 0例 17-10 求V (t) (t 2) y 2dxdy 在4,6上的最大值，其中D2D : x 2 y 2 1, y t 2培训om - 4 -东门外创业1006（：62796032）1 y 21解：V (t) (t 2) y 2dxdy Ddy(t 2) y 2dx1 y 2 2 t 21 2 1 2 1 2 2(t 2) y 21 y dy 2y 1 y dy 42(1 y) 1 y 2 dy2tt 2t 2t 28t4 41 2241 2 V (t) 2y 1 y 2 dy 1 1 (t 2)3(t 2)2t 2 (t 2)(t 2)22t 233 1 2 t(t 4)