如何理解函数概念

1、曹阳函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。即：在某变化过程中，有两个变量X,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量，y称为因变量。它明确指出，自变量x在某一给定范围可以取任一个值，因变量y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但

2、是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y,如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“

3、一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：“一对一”“多对一”“一对多”是函数是函数不是函数图1面举4个例子帮助大家理解函数的概念：例1一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的范围内）时，弹簧的长度用y表示，测得有关的数据如表1：拉力F(kg)1234弹簧的长度y（c）10+0.510+1.010+1.510+2.0弹簧的长度y是拉力F的函数吗?分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y,满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函数。一般地，以表格形式给出

4、的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。例2图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。图2描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？分析：图中给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。例3下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。（1）圆的面积S与半径r之间的关系；（2）汽车以7

5、0千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系；（3）等腰三角形的面积是20cm2，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关系。分析：（1）圆的面积S与半径r之间的关系式是s=nr2，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关系是函数关系。（2）路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式是s=70t，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系是函数关系。40（3）底边长ycm和底边上的高xcm的关系式是y=，当底边上的高x确定时，底x边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关系是函数关系。一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量例4下列图象中，不能表示函数关系的是（分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的