高中数学必修二 专题6.4 平面向量基本定理-同步培优专练

1、 专题6.4 平面向量基本定理知识储备平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.能力检测姓名：_ 班级：_ 得分：_注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（2021广西玉林市高一期末）

2、在中，则（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，故选：A2（2021北京昌平区高一期末）已知矩形中，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选B.3（2021江西吉安市高一期末）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）A和B和C和D和【答案】D【解析】、是平面内所有向量的一组基底，与，不共线，可以作为基底，与，不共线，可以作为基底，与不共线，可以作为基底，与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底，故选：4（2020全国高一单元测试）如图在梯形ABCD中，ADBC，且E，F分别为AB，CD的中点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】连接OE，O

3、F.因为，所以.故选:C.5（2020山西高三期中（理）如图，中，E是AB的中点，点F满足，则（ ）ABCD【答案】A【解析】，故选：A6（2020山西吕梁市高三期中（文）在中，若点满足，点为的中点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】.故选：A7（2020浙江温州市高二期中）在中，为边上的高，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】A【解析】，又是中点，而，故选A8（2021江西宜春市高安中学高一期末（文）如图，B是的中点，P是平行四边形内（含边界）的一点，且，则下列结论正确的个数为（ ）当时，当P是线段的中点时，若为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段的最大值为A1B2C

4、3D4【答案】C【解析】当时，则在线段上，故，故错当是线段的中点时，故对为定值1时，三点共线，又是平行四边形内（含边界）的一点，故的轨迹是线段，故对如图，过作，交于，作，交的延长线于，则：；又；，；由图形看出，当与重合时：；此时取最大值0，取最小值1；所以取最大值，故正确所以选项正确.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9（2020湖北黄冈市高一期末）在ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（ ）ABCD【答案】AC【解析】如图：根据三角形中线性

5、质和平行四边形法则知，, A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.故选AC10（2020全国高三专题练习）在ABC中，ABAC，BC4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ）ABCD【答案】BC【解析】对于A选项：，故A错；对于 B选项：因为D为BC的中点，故B正确；对于C选项：，故正确；对于D选项：，而，故D不正确.故选BC.11（2020辽宁大连市辽师大附中高三月考）已知正方形的边长为，向量，满足，则（ ）ABCD【答案】AD【解析】由条件可，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有，所以，D

6、正确.故选AD12（2020江苏泰州市高三月考）已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（ ）ABCD【答案】ABD【解析】如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，由于为三等分点靠近点的点，所以，故正确；对于C选项，故C错误；对于D选项，故D正确.故选：ABD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13（2020全国高一单元测试）在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则_(用 表示)【答案】【解析】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以,14（2020甘肃天水市高三

7、月考（文）如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为_.【答案】【解析】解法1：因为，所以，又，所以因为点三点共线，所以，解得：.解法2：因为，设，所以，因为，所以，又， 所以，所以，又，所以 解得： ，所以.15（2021江苏常州市高三期末）在四边形中，.若，则_.【答案】【解析】因为，所以，16（2020湖南怀化市高一期末）如图，在中，点A是的中点，点D是靠近点B将分成的一个分点，和交于点E，设，（1）用，表示向量_；（2）若，则_【答案】 【解析】（1）因为点A是的中点，所以，所以，又点D是靠近点B将分成的一个分点，所以，所以.（2）因为C，E，D三点共线，所以存在实数，使得，又，所以，又

8、，不共线，则，解得.三、解答题（本大题共4小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）如图，设，又，试用，表示【解析】，由已知可得：，所以，故18（本小题满分12分）（2020永昌县第四中学高一期末）设是不共线的非零向量，且.（1）证明：可以作为一组基底；（2）若，求，u的值.【解析】（1）证明：假设 (R)，由，不共线，得不存在，故与不共线，可以作为一组基底，（2）解：由43u，得43(2)u(3)(u)(23u)，所以解得19（本小题满分12分）（2020内蒙古乌兰察布市集宁一中（理）如图，平行四边形ABCD中，已知，设，（1）

9、用向量和表示向量，；（2）若，求实数x和y的值.【解析】（1）（2）因为.即因为与不共线，从而，解得20（本小题满分12分）已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线（1）在OAB中，点P在AB上，且，若，求rs的值；（2）已知点P满足 (m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值【解析】（1），即有，又r，s，即rs0.（2）四边形OABP为平行四边形，又依题意，是非零向量且不共线m10，即m121（本小题满分12分）（2020江西南昌二中高二开学考试）如图在中，与交于点设，（1）用，表示；（2）已知线段上取一点，在线段上取一点，使过点设，则是否为定值

10、，如果是定值，求出这个定值【解析】（1）设，则，、三点共线，与共线，故存在实数，使得，即，消去得，即，又、三点共线，与共线，同理可得，联立，解得，故（2）理由如下：，又与共线，故存在实数，使得，即，消去得，整理得22（本小题满分12分）（2021贵州贵阳市高一期末）三角形中，为上一点，设，可以用，来表示出，方法如下：方法一：，.方法二：，.方法三：如图所示，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，则四边形为平行四边形.且，.，.，得.请参照上述方法之一(用其他方法也可)，解决下列问题：（1）三角形中，为的中点，设，试用，表示出；（2）设为直线上任意一点(除两点)，.点为直线外任意一点，证明：存在唯一实数对，使得：，且.【解析】（1）因为为的中点，方法一：，；方法二：，；方法三：如图所示，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，则四边形为平行四边形.且，.，.，得.；（2）因为为直线上任意一点(除两点)，显然；所以，方法一：，；即存在唯一实数对，使得：，且；方法二：，；即存在唯一实数对，使得：，且；方法三：若点位于点左侧，如图，过点作，过点作，