期末重难点梳理七年级易错点分类解析

1、目 录 HYPERLINK l _bookmark0 易错02 平行线中拐点问题易错17 HYPERLINK l _bookmark1 易错03 实数的混合运算易错32 HYPERLINK l _bookmark2 易错04 实数中有关规律探究问题易错38 HYPERLINK l _bookmark3 易错05 平面直角坐标系基本性质易错48 HYPERLINK l _bookmark4 易错06 平行直角坐标系中平移问题易错56 HYPERLINK l _bookmark5 易错07 平面直角坐标系中规律问题易错68 HYPERLINK l _bookmark6 易错08 平行直角坐标系中求

2、几何图形的面积问题易错84 HYPERLINK l _bookmark7 易错09 解二元一次方程组易错99 HYPERLINK l _bookmark8 易错10 二元一次方程组中含参数问题易错116 HYPERLINK l _bookmark9 易错11 二元一次方程组的实际应用问题易错129 HYPERLINK l _bookmark10 易错12 解一元一次不等式（组）易错143 HYPERLINK l _bookmark11 易错13 一元一次不等式（组）中含参数问题易错157 HYPERLINK l _bookmark12 易错14 一元一次不等式（组）实际问题含与二元一次方程组结

3、合易错169 HYPERLINK l _bookmark13 测验题一184 HYPERLINK l _bookmark14 测验卷二202易错 01 平行线的判定与性质易错【例题分析】1（2020浙江杭州市七年级其他模拟）如图，已知EFC BDC 180 ， DEF B 试判断 DE 与 BC 的位置关系，并说明理由若 DE 平分ADC ， BDC 3B ，求EFC 的度数【解析】DEBC理由：EFC+BDC=180，ADC+BDC=180，EFC=ADC，ADEF，DEF=ADE， 又DEF=B，B=ADE，DEBCDE 平分ADC，ADE=CDE，又DEBC，ADE=B，BDC=3B，B

4、DC=3ADE=3CDE， 又BDC+ADC=180， 3ADE+2ADE=180，解得ADE=36，ADF=72，又ADEF，EFC=ADC=72【小结】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键【巩固提升】1（2021河南驻马店市七年级期末）如图所示，下列四组条件中，能得到 AB/CD 的是（）A1=2BBAD=BCDCABC=ADC，2=3DBAD+ABC=180【解析】C【小结】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定并能准确识图是解题关键2（2021全国七年级）如图，12，AC 平分DAB，且D：DAB2：1，则D 的度数是（）A120B130C140D15

5、0【解析】A【小结】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键3（2020高台县南华初级中学八年级期末）如图，下列条件中，不能判断直线 ab 的是（）A13B23C45D2+4180【解析】B【小结】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键4（2020沈阳市雨田实验中学八年级期末）如图，AB AE 于点 A ，AB /CD ，CAE 42 ，则ACD （）A112B122C132D142【解析】C【小结】此题主要考查了平行线的性质，掌握垂直与平行线的性质并准确得出BAC 度数是解题关键5（2020吉林省第二实验学校九年级月考）已知l1 /l2 ，一个含有

6、 30的角的三角尺按如图所示位置摆放，若1 65 ，则2 的度数为（ ）A20B25C30D65【解析】B【小结】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出平行线进行求解6（2020西安市曲江第一中学九年级期末）如图，已知 a / /b ，把三角尺的直角顶点放在直线 a 上若1 40 ，则2 的度数为（）A130B140C145D150【解析】A【小结】此题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题关键7（2020河南南阳市七年级期末）如图，写出一个能判定 ECAB 的条件是 【解析】DCE=B（答案不唯一）【小结】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答

7、题的关键，不能遇到相等或互补关系 的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行8（2021保定市莲池区贺阳外国语学校八年级期末）如图，BC DE ，垂足为点C ，AC /BD ，B 40 ，则ACE 的度数为【解析】50【小结】本题考查了平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出ACB=409（2019黑龙江绥化市八年级期末）如图，1=120，2=45，若使 bc，则可将直线 b 绕点 A 逆时针旋转度.【解析】15【小结】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键10（2020宁波市惠贞书院七年级期中）如图， EF /

8、AD ， AD /BC ， CE 平分BCF ， DAC 120 ，ACF 20 ， FEC 为【解析】20【小结】本题主要考查平行线的性质，涉及到角的和差，角平分线的性质，解题的关键是求得BCE11（2020河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，直线 AB / / CD ，OA OB ，若1142 ，则2 度【解析】52【小结】此题考查平行线的性质，三角形外角性质，关键是根据平行线的性质得出同位角相等12（2020河南濮阳市油田十中八年级期中）一副直角三角板如图放置，点C 在 FD 的延长线上，AB /CF ，F ACB 90 ，则DBC 的度数为【解析】15【小结】本题考查的是平行线的性质

9、，熟练掌握这一点是解题的关键13（2021重庆万州区七年级期末）补全解答过程：如图，EFAD，1=2，若BAC=70，求AGD解：EFAD，（已知）2= ，（两直线平行，同位角相等）又1=2，（已知）1=3，（等量代换）AB ，（）AGDBAC=180（）BAC=70，（已知）AGD=【解析】EFAD（已知），2=3（两直线平行，同位角相等）又1=2，（已知）1=3，（等量代换）ABDG（内错角相等，两直线平行）BAC+AGD=180（两直线平行，同旁内角互补）又BAC=70，（已知）AGD=110故答案为：3；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；110【小结】本题主要考查

10、了平行线的判定与性质，理解平行线的判定与性质进行证明是解此题的关键14（2021四川宜宾市七年级期末）如图，A、B、C 和 D、E、F 分别在同一条直线上，且12，CD，试完成下面证明AF 的过程证明：12（已知），23（ ）（等量代换）BD/CE（）D+DEC（） 又CD（已知）C+DEC180（）（）AF（）【解析】证明：1=2（已知），2=3（对顶角相等），1=3（等量代换），BDCE（同位角相等，两直线平行），D+DEC=180（两直线平行，同旁内角互补），又C=D（已知），C+DEC=180（等量代换），DFAC（同旁内角互补，两直线平行），A=F（两直线平行，内错角相等）故答案为：

11、对顶角相等；1=3；同位角相等，两直线平行；180；两直线平行，同旁内角互补；等量代 换；DFAC；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等【小结】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的 性质是由平行关系来寻找角的数量关系15（2020四川资阳市七年级期末）如图，直线 AB 和直线 BC 相交于点 B ，连接 AC ，点 D, E, H 分别在 AB 、 AC 、 BC 上，连接 DE 、 DH ， F 是 DH 上一点，已知1 3 180（1）求证： CEF EAD ；（2）若 DH 平分BDE ， 2 ，求3 的度数（用表示）【

12、解析】（1）3DFE180，13180DFE1，ABEF，CEFEAD；（2）ABEF，2BDE180 又2BDE180又DH 平分BDE111 2 BDE 2 （180）113180 2 （180）90 2 【小结】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定等知识点， 注意：内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补16（2020贵州遵义市七年级期末）如图，已知点 E、F 在直线 AB 上，点 G 在线段 CD 上，ED 与 FG 相交于点 H，CEFG，BFGAEM，求证：ABCD（完成下列填空）证明：BFGAEM（已知） 且AEMBEC（）BECBFG （等量代换）MC（）CFGD

13、（）CEFG（已知）EFG，（等量代换）ABCD（）【解析】证明：BFGAEM（已知） 且AEMBEC（对顶角相等）BECBFG（等量代换）MCGF（同位角相等，两直线平行）CFGD（ 两直线平行，同位角相等）CEFG（已知）FGDEFG，（等量代换）ABCD（内错角相等，两直线平行）故答案是：对顶角相等；GF；同位角相等，两直线平行；FGD；内错角相等，两直线平行【小结】考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用17（2021广东深圳市八年级期末）如图，已知 AMBN，A64点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A不重合），BC、BD 分别平分ABP 和P

14、BN，分别交射线 AM 于点 C，DABN 的度数是，CBD 的度数是；当点 P 运动时，APB 与ADB 之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；当点 P 运动到使ACBABD 时，ABC 的度数是多少？【解析】（1）AM/BN，A64，ABN180A116，BC 平分ABP，BD 平分PBN，ABP2CBP，PBN2DBP，2CBP+2DBP116，CBDCBP+DBP58；（2）不变，APB=2ADB，AM/BN，APBPBN，ADBDBN，BD 平分PBN，PBN2DBN，APB=2ADB；（3）AM/BN，ACBCBN，当A

15、CBABD 时，则有CBNABD，ABC+CBDCBD+DBNABCDBN， 由（1）ABN116，CBD58，ABC+DBN58，ABC29【小结】考查角平分线定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线性质并能灵活运用角平分线的定义等18（2020黑龙江哈尔滨市七年级期末）三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点， DE /BC 交 AC 于点 E，点 F是线段 DE 延长线上一点，连接 FC， BCF ADE 180 如图 1，求证： CF /AB ；如图 2，连接 BE，若ABE 40 ， ACF 60 ，求BEC 的度数；如图 3，在（2）的条件下，点 G 是线段 FC 延长线上

16、一点，若EBC : ECB 7 :13 ，BE 平分ABG ，求CBG 的度数【解析】（1）证明：DEBC， ADE B ， 又BCFADE180， BCF B 180 ， CF / / AB ，解：过 E 作 EK / / AB ， CF / / AB ， CF / / EK ， EK / / AB ， ABE 40 ， BEK ABE 40 ， CF / / EK ， ACF 60 ， CEK ACF 60 ，又 BEC BEK CEK ， BEC 40 60 100 ， 答： BEC 的度数是 100，解：BE 平分ABG ， EBG ABE 40 ， EBC : ECB 7 :13 ，

17、ABE 40 ，设EBC 7 x ，则ECB 13x ，DEBC， DEB EBC 7 x ， AED ECB 13x ， AED DEB BEC 180 ，13x 7 x 100 180 ， x 4 ， EBC 7 x 28 ， 又 EBG EBC CBG ， CBG EBG EBC ， CBG 40 28 12 ， 答： CBG 的度数是 12【小结】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识19（2021河南驻马店市七年级期末）已知：ABC 和平面内一点 D如图 1，点 D 在 BC 边上，过 D 点作 DE/BA 交 AC 于点 E，作 DF/CA

18、 交 AB 于点 F，判断EDF 与A 的数量关系，并说明理由如图 2，点 D 在 BC 的延长线上，DF/CA，EDFA，请你判断 DE 与 BA 的位置关系并说明理由如图 3，点 D 在ABC 的外部，若作 DE/BA，DF/CA，请直接写出EDF 与A 数量关系【解析】（1）EDF=A理由：DEBA，DFCA，A=DEC，DEC=EDF，A=EDF；（2）DEBA证明：如图，延长 BA 交 DF 于 GDFCA，2=3又1=2，1=3DEBA（3）EDF=A，EDF+A=180 理由：如图，DEBA，DFCA，D+E=180，E+EAF=180，EDF=EAF=BAC；如图，DEBA，D

19、FCA，D+F=180，F=CAB，EDF+BAC=180综上，EDF 与A 相等或互补【小结】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线 的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系20（2019山西七年级期末）综合与探究问题情境：如图，已知OC 平分AOB ，CD OA 于点 D，E 为 DC 延长线上一点，EF OB 于点 F，EG平分DEF 交OB 于点 G， DEF AOB 180 问题发现：（1）如图 1，当AOB 90 时， 1 2 ；如图 2，当AOB 为锐角时， 1与2 有什么数量关系，请说明理由；拓展探究在（2）的

20、条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是 90，试探究OC 和GE 的位置关系，并证明结论；如图 3，当AOB 为锐角时，若点 E 为线段 DC 上一点， EF OB 于点 F， EH 平分DEF 交OA 于点 H， DEF AOB 180 请写出一个你发现的正确结论【解析】（1） CD OA ， AOB 90 ， DEF AOB 180 ， DEF 90 ， OC 平分AOB ， EG 平分DEF ，1= 1 AOB=45 ，2= 1 DEF=45 ， 1 2 90 ；22（2） 1 2 90 理由如下： OC ， EG 分别是AOB ， DEF 的平分线， 1 1 DEF ， 2 1 AOB

21、 ， 1 2 1 (DEF AOB) ，222 DEF AOB 180 ， 1 2 90 ；（3） OC 和 EG 的位置关系为 OCGE 证明： EF OB 于点 F ， EFG 90 1 EGF 90 1 2 90 ， 2 EGF ，OCGE；（4）答案不唯一，例如1 2 90 理由如下： OC ， EH 分别是AOB ， DEF 的平分线， 1 1 DEF ， 2 1 AOB ，22 1 2 1 (DEF AOB) ，2 DEF AOB 180 ， 1 2 90 ；【小结】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键易错 02 平行线中拐点问题易错【例题分析】1（2

22、020浙江金华市七年级期中）如图 1， ABCD，PAB=130 ，PCD=120 ，求APC 的度数小明的思路是：过 P 作 PEAB，通过平行线性质来求APC按小明的思路，求APC 的度数；（问题迁移）如图 2，ABCD ，点 P 在射线 OM 上运动，记PAB=，PCD=当点 P 在 B、D 两点之间运动时， 问APC 与、之间有何数量关系？请说明理由；（问题应用）：在（2）的条件下，如果点 P 在 B、D 两点外侧运动时（点 P 与点 O、B、D 三点不重合），请直接写出APC 与、之间的数量关系【解析】（1）过点 P 作 PEAB，ABCD，PEABCD，A+APE=180，C+CP

23、E=180，PAB=130，PCD=120，APE=50，CPE=60，APC=APE+CPE=110（2）APC=+，理由：如图 2，过 P 作 PEAB 交 AC 于 E，ABCD，ABPECD，=APE，=CPE，APC=APE+CPE=+；（3）如图所示，当 P 在 BD 延长线上时，CPA=-；如图所示，当 P 在 DB 延长线上时，CPA=-【小结】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解 题时注意分类思想的运用【巩固提升】1（2021全国九年级专题练习）如图，将一块带有 60 角的直角三角板放置在一组平行线上，若1=35，则 2

24、 的度数应该是（）A60B35C30D25【解析】D【小结】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键2（2021河南新乡市七年级期末）如图，已知直线 a / /b ， 1 45 ， 2 65 ，则3 等于（ ）A110B100C130D120【解析】A【小结】本题考查平行线的性质，是重要考点，作平行辅助线、掌握相关知识是解题关键3（2020四川攀枝花市七年级期末）如图，某地域的江水经过 B、C、D 三点处拐弯后，水流的方向与原来相同，若ABC125，BCD75，则CDE 的度数为（）A20B25C35D50【解析】A【小结】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过 C 点先作

25、 AB 的平行线，由平行线的性质求解4（2020重庆市万州第二高级中学期中）如图，直线 AB / /CD，C 40，E 为直角，则1等于（ ）A140B130C135D120【解析】B【小结】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键5（2021渝中区重庆巴蜀中学七年级期末）如图，AB / /CD ，BAE 120 ，DCE 40 ，则AEC （ ）A 70B 80C 90D100【解析】D【小结】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键6（2020湖北随州市七年级期末）如图，直线 abc，直角BAC 的顶点 A 在直线 b 上，两边分别与直线 a，

26、c 相交于点 B，C，则12 的度数是【解析】270【小结】本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键7（2021福建泉州市七年级期末）如图，直线a b ， ABC 的顶点 A 和C 分别落在直线a 和b 上，若160，且1290，则ACB 的度数是【解析】30【小结】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解决问题的关键8（2020山东青岛市七年级期中）如图，已知 ABDE，ABC76，CDE150，则BCD 的度数为 【解析】46【小结】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系9（2020郑州外国语中学九年级月考）如图，ABCD，B75，E2

27、7，则D 的度数为 【解析】48【小结】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质10（2021全国九年级）如图，AEFC 是折线，AB/CD，那么1，2，3，4 的大小所满足的关系式为；【解析】2 3 1 4 180 或2 3 1 4 180【小结】此题考查了平行线的性质解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁 内角互补定理的应用与辅助线的作法11（2020上海静安区七年级期中）（1）如图a 所示， AB /CD ，且点 E 在射线 AB 与CD 之间，请说明AEC A C 的理由（2）现在如图b 所示，仍有 AB /CD ，但点

28、 E 在 AB 与CD 的上方，请尝试探索1， 2 ， E 三者的数量关系请说明理由【解析】（1）过点 E 作 EFAB，A=AEF，ABCD，EFCD，FEC=C，AEC=AEF+FEC，AEC=A+C；（2）1+2-E=180，过点 E 作 EFAB，AEF+1=180，ABCD，EFCD，FEC=2，即CEA+AEF=2，AEF=2-CEA，2-CEA+1=180， 即1+2-AEC=180【小结】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键12（2018上海七年级零模）已知：ABDE如图 1，点 C 是夹在 AB 和 DE 之间的一点，当 ACCD 时，垂足为点 C，你知道A

29、+D 是多少吗？这一题的解决方法有很多，例如（i）过点 C 作 AB 的平行线；过点 C 作 DE 的平行线；联结 AD；延长 AC、DE 相交于一点请你选择一种方法（可以不选上述四种），并说明理由如图 2，点 C1、C2 是夹在 AB 和 DE 之间的两点，请想一想：A+C1+C2+D=度，并说明理由如图 3，随着 AB 与 CD 之间点增加，那么A+C1+C2+Cn+1+D= 度（不必说明理由）【解析】如图 1，过点C 作 AB 的平行线CF ， AB /DE ， CF /DE ， A ACF 180 ， DCF D 180 ， A ACD D 180 2 360 ，又 AC CD ， A

30、 D 360 90 270 如图 2，过C1 作C1F /AB ，过C2 作C2G/DE ，则 AB /DE ， C1F /AB/C2G/DE ， A AC1F 180 ， FC1C2 C1C2G 180 ， GC2D D 180 ， A AC1C2 C1C2D D 180 3 540 ， 故答案为：540；（3）如图 3，由（1）（2）可得：A C1 C2 Cn1 D 180 n (180n) ， 故答案为：180n 【小结】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补13（2020浙江金华市七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口

31、一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口 问题”如图（2）所示，已知 AB / /CD ，请问B ， D ， E 有何关系并说明理由；如图（3）所示，已知 AB / /CD ，请问B ， E ， D 又有何关系并说明理由；如图（4）所示，已知 AB / /CD ，请问 E G 与B F D 有何关系并说明理由【解析】（1） E B D，理由如下：如图所示，过点 E 作直线 a，使得 a/AB/CD ，则B 1， D 2 ，（两直线平行，内错角相等）， BED 1 2 B D ， 即： E B D ；（2） B D E 360 ，理由如下：如图所示

32、，过点 E 作直线 b，使得b/AB/CD ，则B 3 180， D 4 180 ，（两直线平行，同旁内角互补）， B 3 D 4 360 ， BED 3 4 ， B D BED 360 ， 即： B D E 360 ；（3） B F D E G ，理由如下：如图所示，过点 E，F，G 作直线 c，d，e，使得c/d /e/AB/CD ，则B 5 ， 6 7 ， 8 9 ， 10 D ，（两直线平行，内错角相等）， 6 BEF 5 BEF B ， 9 FGD 10 FGD D ， EFG 7 8 6 9 BEF B FGD D ， EFG B D BEF FGD ， 即： B F D E G

33、【小结】本题考查平行线性质的运用，准确掌握平行线的性质并灵活运用是解题关键14（2020佛山市顺德区杏坛梁銶琚初级中学七年级月考）问题情境 1：如图 1，ABCD，P 是 ABCD 内部一点，P 在 BD 的右侧，探究B，P，D 之间的关系？ 小明的思路是：如图 2，过 P 作 PEAB，通过平行线性质，可得B，P，D 之间满足 关系（直接写出结论）问题情境 2如图 3，ABCD，P 是 AB，CD 内部一点，P 在 BD 的左侧，可得B，P，D 之间满足 关系（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知 ABCD，ABE 与CDE 两个角的角平分线相交于点 F（1）如图

34、 4，若E80，求BFD 的度数；如图 5 中，ABM11ABF，CDM311CDF，写出M 与E 之间的数量关系并证明你的结论3若ABMnABF，CDMnCDF，设Em，用含有 n，m的代数式直接写出M【解析】问题情境 1：如图 2，B+BPD+D360，理由是： 过 P 作 PEAB，ABCD，PEAB，ABPECD，B+BPE180，D+DPE 180，B+BPE+D+DPE360， 即B+BPD+D360，故答案为B+P+D360； 问题情境 2如图 3，PB+D，理由是：过点 P 作 EPAB，ABCD，ABCDEP，BBPE，DDPE，BPDB+D， 即PB+D；故答案为PB+D；

35、 问题迁移：（1）如图 4，BF、DF 分别是ABE 和CDE 的平分线，EBF 12ABE，EDF 12CDE，由问题情境 1 得：ABE+E+CDE360，E80，ABE+CDE280，EBF+EDF140，BFD36080140140；1（2）如图 5，E+M60，理由是：6设ABMx，CDMy，则FBM2x，EBF3x，FDM2y，EDF3y， 由问题情境 1 得：ABE+E+CDE360，6x+6y+E360，1E60 xy，6M+EBM+E+EDM360，6x+6y+EM+5x+5y+E，Mx+y，1 E+M60；6（3）如图 5，设ABMx，CDMy，则FBM（n1）x，EBFn

36、x，FDM（n1）y，EDFny，由问题情境 1 得：ABE+E+CDE360，2nx+2ny+E360，360 mx+y，2nM+EBM+E+EDM360，2nx+2ny+EM+（2n1）x+（2n1）y+E，360 mM；2n【小结】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n 等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用。15（2020宁夏石嘴山市七年级期末）已知 AB /CD ，点 E、F 分别在 AB 、CD 上，点 G 为平面内一点，连接 EG 、 FG 如图，当点 G 在 AB 、CD 之间时，请

37、直接写出AEG 、CFG 与G 之间的数量关系如图，当点 G 在 AB 上方时，且EGF 90 ， 求证： BEG DFG 90 ；如图，在（2）的条件下，过点 E 作直线 HK 交直线CD 于 K， FT 平分DFG 交 HK 于点 T，延长GE 、 FT 交于点 R，若ERT TEB ，请你判断 FR 与 HK 的位置关系，并证明 （不可以直接用三角形内角和 180）【解析】如图：过点G 作GH / / AB ， AB / /CD ， GH / /CD ， AEG EGH ， CFG FGH ，EGF AEG CFGAEG 、CFG 与G 之间的数量关系为G AEG CFG 故答案为： G

38、 AEG CFG 如图，过点G 作GP / / AB ，BEG EGP 180 ，EHG HGP 180 ，EHG 90 EGP 180 ，EHG EGP 90， AB / /CD ，DFG EHG ，BEG DFG 180 EGP EHG 180 (EGP EHG) 180 90 90 FR 与 HK 的位置关系为垂直理由如下：FT 平分DFG 交 HK 于点T ，GFT KFT ，EGF 90，GFT ERT 90，KFT ERT 90，ERT TEB ，KFT TEB 90 ， AB / /CD ，FKT TEB ，KFT FKT 90，FTK 90，KT FR ，即 FR HK FR

39、与 HK 的位置关系是垂直【小结】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和 结论，切莫混淆易错 03 实数的混合运算易错【例题分析】4231（2020浙江宁波市七年级期中）计算：（1） 1 3 ;（2） 3 5 2 33 127202033 22 3 127【解析】（1） 12020 3 1 3 1 4 74235333（2） 3 5 2 3 3 3 3 3 3 3 333522 【小结】本题考查实数的混合运算，其中涉及立方根、算术平方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识 是解题关键【巩固提升】39221（2021山东东营市七年级期末

40、）在实数7 、0、+1、 3 27 、0.101001中，无理数的个数是（）A2 个B3 个C4 个D5 个【解析】B【小结】考查求一个数的算术平方根和立方根及无理数的概念，掌握相关概念正确计算判断是解题关键82（2021江苏泰州市八年级期末）的整数部分是（）A2B3C4D5【解析】A【小结】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键55553（2021山东烟台市七年级期末）化简3 的结果正确的是（）5A 3B 3C 3D 3 【解析】D【小结】本题主要考查求绝对值的法则，熟练掌握求绝对值的法则，是解题的关键4（2021安徽芜湖市七年级期末）对于两个不相等的有理数a ，b

41、 ，我们规定符号 maxa,b 表示a ，b 两数中较大的数，例如max2, 4 2 .则方程maxx, x 3x 4 的解为（）A-1B-2C-1 或-2D1 或 2【解析】A【小结】此题考查了新定义下实数的运算以及解一元一次方程，运用分类讨论的思想是解答本题的关键5（2020浙江金华市七年级开学考试）写出一个比 0 大，且比 2 小的无理数： 2【解析】（答案不唯一）【小结】本题考查的是无理数的定义，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键26（2021江苏苏州市八年级期末）比较大小： 2 1（填“”、“”或“”）【解析】2【小结】此题考查实数的大小比较，关键是估算出无理数的大小37（202

42、1辽宁朝阳市八年级期末）已知 10的整数部分是 x，小数部分是 y，求 xy 的相反数【解析】1233【小结】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出在 12 之间ab a b, a 0,8（2021安徽芜湖市八年级期末）对于实数a ，b ，定义运送：a b ab a b, a 0.如 2 3 23 1 ，84 2 42 16 照此定义的运算方法计算： 2 3 3 2 9【解析】8【小结】本题考查了新定义的运算法则，解题的关键是掌握新定义的运算法则进行计算92149（2021长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）计算： 3 8 1 22【解析】原式 2 31 2 12 1 2【

43、小结】本题考查了实数的混合运算，理解开方的意义，能正确去绝对值是解题关键310（2020浙江嘉兴市七年级期末）计算：（1） 4 33 3332 22 ；（2）581 |1 3 | 3 64 6【解析】333（1） 4 33 3 22 = 43 3 3 3 22 53 22 ；252525（2）381 |1 3 | 3 64 6333= 9 1 4 6=12 5【小结】考查了实数的运算，解题关键是掌握运算法则和运算顺序3 2711（2020浙江宁波市七年级期中）计算：（1） (2)3 1 (10)2254（2） 22 5 (24) 【解析】25（1） (2)3 1 (10)24 5 8 1 10

44、0 13 25 12 ，43 27（2） 22 5 (24) 4 5 (24) 3 20 8 12 【小结】本题考查了实数的混合运算，根据算式确定运算顺序并运用相应的运算法则正确计算是解题的关键22212（2021北京房山区八年级期末）计算：8（1）2 ( 2)（2）3 827【解析】2（1）原式= 2 2 2 223（2）原式 23 32 3【小结】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有 理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面 的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围

45、内仍然适用13（2020江苏无锡市八年级月考）计算3 6441 916（1） 22 ；（2） 30 13【解析】（1）原式 4 4 2 6 ；（2）原式 5 1 1 43 9 14 13 334【小结】本题考查了实数的混合运算，在计算过程中要注意运算法则3 852 32(2)214（2019渠县第三中学八年级月考）计算：169（1） ( 3)2 ；（2）0 23【解析】1693 8（1） ( 3)2 =13+（-2）-3=8；52 32（2）0 2 =4-2-1+2-=3-(2)2333【小结】考查实数加减，涉及根式，绝对值，乘方，需要有一定运算求解能力，掌握运算法则是解题关键(5)215（2

46、021山东烟台市七年级期末）（1）计算：（6）2；3 27（2）若（x1）2810，求 x 的值【解析】(5)2（1）（）2=5-3-6=-43 276（2）（x1）2810（x1）281 x19 x9+1 x1 10, x2 8【小结】考查实数的混合运算及平方根、算术平方根和立方根的概念，掌握相关概念准确计算是解题关键16（2021江苏南京市八年级期末）（1）求 x 的值： 4x2 9 0 ；25223 27（2）计算：【解析】（1） x2 94x 3 或 x - 322(2)原式5+234【小结】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键917（2021社旗县新时代国际

47、学校八年级月考）计算：3 8（1） 1 2；（2） 27(2x 1)3 64 214【解析】3 8（1） 1 2= 2 3 1 2 1 =2 +1 ；142292（2） 27(2x 1)3 64 ，32 x 1 4 ，6x 3 4 ，x 7 6【小结】本题考查实数的混合运算，解立方方程，掌握立方根，平方根，绝对值的性质，实数混合运算法 则是解题关键218（2019渠县第三中学八年级月考）我们知道 1 . 4 1 4 ，于是我们说：“的整数部分为 1，小数部22分则可记为 1 ”则：23 1的整数部分是，小数部分可以表示为；3已知2 的小数部分是a ， 7的小数部分为b ，那么 a b ；11已

48、知的在整数部分为 x ，的小数部分为 y ，求( y 11)x1 的平方根11【解析】（1）1242122的整数部分是 1，22 1 的整数部分为 2，小数部分为 1 2 = 12（2）1343123的整数部分是 1，33 2 的整数部分为 3，小数部分为 a= 2 3=1；33337 的整数部分为 5，小数部分为 b= 7 5 = 2 3a+b=1+ 2 =13（3）911161134111111的整数部分为 x=3，小数部分为 y=-3 ( y 11)x1=( 3 11)31=32 =9 9= 3 【小结】本题主要考查了估算无理数的大小，掌握运用逼近法比较无理数的大小成为解答本题的关键易错

49、 04 实数中有关规律探究问题易错【例题分析】200200001（2021全国九年级）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：2（1） 1 . 4 1 4 ， 14.14 ， 141.4 ，0.033 0.1732 ， 1.732 ， 17.32 ，3001.51500.15由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位15（2）已知 3.873 ， 1.225 ，则；3 1（3） 1 ， 10 ， 3 1000000 100 ，3 10003 y小数点的变化规律是3 10（4）已知 2.154 ， 0.2154 ，则 y 20020000【解析】2（1） 1 . 4 1

50、 4 ， 14.14 ， 141.4 ，0.033 0.1732 ， 1.732 ， 17.32 ，300151.51500.15由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位 故答案为：两；右；一；（2）已知 3.873 ， 1.225 ，则 12.25 ； 0.3873 ；故答案为：12.25；0.3873；3 1（3） 1 ， 10 ， 3 1000000 100 ，3 1000小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；3 10（4） 2.154 ， 3 y 0.2154 ， 3 0.01 0.2154 ， 3

51、0.01 0.2154 ，y=-0.01【小结】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键【巩固提升】1（2021全国八年级）观察与猜想：2 25854 2525 23 31027103 910310 34 4175 526与分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；n nn2 1计算（n 为正整数）等于什么？【解析】4 4174174 4175 526526（1） 4，验证： 4， 5641716 417417验证： 5；（2） n5 5261252625 526526n nn2 1n n2 1 n n2 1n3n2 1nn2 1【小结】本题考查了算术平方根，读懂题目信息，理

52、解算术平方根的定义是解题的关键2（2019河北保定市八年级期中）先观察下列等式，再回答下列问题：1 1 11222 1 1 1 11 ；1 1121 1 122321 1 11122 161 1 132421 1 11 133 1121 1 14252请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；请你按照上面各等式反映的规律，用含 n 的等式表示（n 为正整数）【解析】1 1 14252(1)111=1+=1， 验证：44 1201 1 142521 1 11625=1 11 25 1640040044140020(2)111 1 n21n 12=1+1=1+(n 为正整数).nn 1n

53、n 1a2【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，即 a ，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式 表示出来.3（2019吉林松原市）观察下表后回答问题a0.00010.01110010000a0.01x1y100（1）表格中 x _， y ；由上表你发现什么规律?3000.03根据你发现的规律填空:3 已知 1.732 ，则；0.003136 已知 0.056, 则313600【解析】0.01100（1） x 0.1， y 10（2）被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的

54、向左或向右移动 1 位（3）3 1.732 ，300 17.32 ，0.03 0.17320.003136313600 0.056, 560 【小结】本题考查了无理数的估算问题，掌握图中的规律、无理数估算的方法是解题的关键4（2020甘肃张掖市临泽二中七年级月考）著名数学教育家 G波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏 锐的眼睛请先观察下列等式找出规律，并解答问题13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；（1）等式是（2）13+23+33+n3= （n 为正

55、整数）（3）求（11）3+（12）3+（13）3+（20）3 的值【解析】（1）观察规律可得等式是 1323334353152；故答案为：13233343531521（2）132333n3（1234n）241n2（n1）2（n 为正整数）故答案为：4n2（n1）2（3）（11）3（12）3（13）3（20）3（1）3（2）3（3）3（20）3（1）3（2）3（3）3（10）3（12320）2（123410）2210255244100302541075【小结】本题考查有理数的混合运算、数字的变化规律，解答本题的关键是找出数字之间的运算规律，利 用规律解决问题5（2020新乐市实验学校八年级月考）

56、我们知道在计算1 3 32 3100 值时，可设S 1 3 32 3100 则3S 3 32 33 3101 ， ，得 2S 31011，所以 S 3101 12（1）试利用上述方法求1 8 82 82004 的值（2） 1 1 1的值222211（3）求1 7 72 73 74 75 711 712 的值【解析】（1）设 S 1 8 82 82004 ，8S 8 82 83 82005 ， 得： 7S 82005 1，82005 1S ；7（2）设 S 1 11，2222111 S 1 1 1 ，22223212 得： 1 S 1 1 ，S 1121122212；（3）设 S 1 7 72

57、73 74 75 711 712 ，7S 7 72 73 74 75 76 712 713 ， 得： 8S 1 713 ，1 713S 8【小结】本题主要考查了实数的规律计算，准确分析计算是解题的关键111111116（2020临沂河东工业园实验学校七年级）观察下列各式： 1 2 =1 2 ， 23 = 2 3 ， 3 4 = 3 4 请根据以上式子填空：11 89 =， n (n 1) =（n 是正整数）由以上几个式子及你找到的规律计算：11 21+ 23 +13 4+12015 2016【解析】1仔细观察，发现= 1 1 ，则 1 1 1 ， n (n 1)nn 18 9891根据= 1

58、1 ， n (n 1)nn 11则+1 2123 +13 4+12015 2016= (1 1) (1 1) (1 1) ( 11 )=12233420152016120162015=2016【小结】本题考查数字规律的探索、有理数的混合运算，解答的关键是发现式子的变化规律，根据规律变 形原式，从而使计算简单化7（2020四川成都市双楠实验学校七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算1 2 22 22019 22020的值，采用以下方法：设 s 1 2 22 22019 22020 ，则2s 2 22 22020 22021 ，得： 2s s s 22021 1 请仿照小明的方法解决以下问题：（1

59、）1 2 22 29 （2） 3 32 310 求1 a a2 a3 an 的和（ a 1， n 是正整数，请写出计算过程）【解析】（1）设 S 1 2 22 29 ， 则2S 2 22 210 ，得2S S S 210 1 ， S 1 2 22 29 210 1 故答案为： 210 -1（2）设 S 3 32 310 ， 则3S 32 33 311 ，得 2S 311 3 ，311 3所以 S ，2210311 3即3 3 3 2故答案为：311-32（3）设 S 1 a a2 an ，则aS a a2 a3 a4 an an1 ，得a 1 S an1 1，a 1 时，an1 1所以 S ，

60、a 1即1 a a2 an an1 1a 1【小结】本题考查与实数运算相关的规律，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键8（2020湖北十堰市七年级期中）观察下列各式：13 1 1 12 22 ，13 23 9 1 22 32 ，4413 23 33 36 1 32 42 ，13 23 33 43 100 1 42 52 ；44回答下面的问题：（1）猜想：13 23 33 (n 1)3 n3 = ；（直接写出你的结果）（2）根据（1）中的结论，直接写出 13+23+33+93+103 的值是 ；（3）计算：213+223+233+293+303 的值【解析】（1）根据题意可得出：13 2