复变函数与积分变换复习重点

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1复数的概念：zX+iy，x,y是实数，x=Re（z）,y=Im（z）池=-1注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小1）模：复数的表示+y22）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg,z）（多值函数）；主值arg,z）是位于（兀,兀中的幅角。arctanxargzarctan；x3）arg,z）与arctan2之间的关系如下：当x0,y当x0,argz二arctan二+兀xyy0,argz二arctan兀4）三角表示：z、x(cose+isine)，其中0argz注：中间一定是“+”号。5）指数表示：zze/e，其中0argz11zz=(x

2、x-yy1212zx+iy1=1zx+iy2222)若（二）复数的运算1.力口减法：右zx+iy,zx+iy，贝Uz+z=(x土x)+i(y土y)111222121212乘除法：1)右zx+iy,zx+iy，则1222)+i,xy+xy)；122112(x+iy)(x-iy)xx+yy.yx-yx112212匸2+I122olx+iy丿匕一iy丿x2+y2x2+y222222222zze,zz1122e叮则 zz12|ei，i+舄）；zziiei,1-,2)zz221）2）|Z(cos,+isin,)忖(cos,+isin,)ze/e则znzn(cosn,+isinn,)zne/n，乘幂与方根

3、 # 4）三角函数：coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且（sinz）cosz,(cosz-sinz灵|z：fcos+isin玉竺（k0,1,2n-1）（有n个相异的值）nn丿（三）复变函数1复变函数：wf（z）,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2复初等函数1）指数函数：ezex（cosy+isiny），在z平面处处可导，处处解析;且(ez)ez。注:ez是以2冗i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnzln|+i（argz+2kn）（k0,1,2）（多值函数）;主值：lnzln|z|+iargz。（单值函数）Lnz的每一个

4、主值分支lnz在除去原点及负实轴的：平面内处处解析，且（lnz）1；z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）(z丰0)3)乘幂与幂函数：(0)；abebLna(a丰0)zbebLnz注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且C）bzbi。.eiz一e-izeiz+e-izsinzsinz,cosz,tgz,ctgz2i2cosz # #注：有界性|sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同） 4)双曲函数shz,ezezchz，ez+ez;22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且解析函数的概念1复变函数的导数点可导：广(z=limf+山)-f(Zo；0AztO

5、Az区域可导：f(z)在区域内点点可导。2解析函数的概念点解析：f(z)在z及其z的邻域内可导，称f(z)在z点解析；000区域解析：f(z)在区域内每一点解析，称f(z)在区域内解析；若f(z)在z点不解析，称z为f(z)的奇点；003解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；函数可导与解析的充要条件1函数可导的充要条件：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z，x+iy可导ou(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微，且在(x,y)处满足C-R条件：duQvQuQvQxdy，dydx此时，有f(z)，色+i色。dxdx2函

6、数解析的充要条件：f(z),u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析ou(x,y)和v(x,y)在(x,y)在D内可微，且满足C-R条件：uvuv；9xyyx此时f(zu+iv。xx注意：若u(x,y,v(x,y)在区域D具有一阶连续偏导数，则(x,y),v(x,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数fu+iv一定是可导或解析的。3函数可导与解析的判别方法利用定义(题目要求用定义，如第二章习题1)利用充要条件(函数以f(z)u(x,y)+iv(x,y)形式给出，如第二章习题2)利用可导或解析函数的四则运算定理。(函数f(z)是以

7、z的形式给出，如第二章习题3)复变函数积分的概念与性质1复变函数积分的概念：Jf(z)dzlimf(g)AZ，c是光滑曲线。cnr、kkk1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2复变函数积分的性质Jf(z)dz-Jf(z)dz(c-1与c的方向相反)；TOC o 1-5 h zcc_1Jaf(z)+Bg(z力dzaJf(z)dz+pJg(z)dz,a,B是常数；ccc若曲线c由c与c连接而成，则Jf(z)dz-Jf(z)dz+Jf(z)dz。12cc1c23复变函数积分的一般计算法化为线积分：f(z)dz，udx-vdyivdxudy；(常用于理论证明)ccc参数方法：设曲线c:z，z(

8、t)gtP)，其中a对应曲线c的起点，B对应曲线c的终点，则f(z)dz，卩fz(th(t)dt。ca关于复变函数积分的重要定理与结论1柯西一古萨基本定理：设f(z)在单连域b内解析，c为B内任一闭曲线，则f(z)dz，0c2复合闭路定理：设f(z)在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c，d是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c,c,c为边界的区域全含于D内，则12nf(z)dz，工f(z)dz,其中c与c均取正向；kck=1Qf(z)dz，0，其中由c及c-1(k，1,2,n)所组成的复合闭路。闭路变形原理：(一个在区域D内的解析函数f(z)沿闭曲线c的积分，不因J在D

9、内作连续变形而改变它的值，沟要在变形过程中c不经过使f(z)不解析的奇点。4解析函数沿非闭曲线的积分：设f(z)在单连域b内解析，g(z)为f(z)在B内的一个原函数，则fz2f(z为z，G(z)-G(z)(z,zeB)2112z1说明：解析函数f(z)沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f(z)在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于D，z为c内任意一点，0 6高阶导数公式：解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为Jf(z)dz竺f(n)(z)(n1,2)c(z-z)n+1n!00其中c为f(z)的解析区域D内围绕z的任

10、何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于D。7重要结论：J1dz(z-a)n+1c2,i,n00,n丰0(C是包含a的任意正向简单闭曲线)8.复变函数积分的计算方法若f(z)在区域D内处处不解析，用一般积分法Jf(z)dzJfz(t力z,(t)dtca设f(z)在区域d内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，Jf(z)dz0cc是D内的一条非闭曲线，z,z对应曲线c的起点和终点，则有12Jf(z)dzJ勺f(z)dzF(z)-F(z)21cz1设f(z)在区域d内不解析Jf(z)dz2,if(z)cz-z0f(z)dz竺f(n)(z)n+1n!0z)dzkic1曲线c内仅有一

11、个奇点：曲线c内有多于一个奇点!z,z12(f(z)在c内解析)点z)k或：Jf(z)dz2,i工Resf(z),ck1c留数基本定理) 若被积函数不能表示成/(,则须改用第五章留数定理来计(Zz)n+1o算。解析函数与调和函数的关系1调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数且满足空，空二0,X2y2(X,y)为D内的调和函数。2解析函数与调和函数的关系解析函数f(z)=u,iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v为实部u的共轭调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(z)=u,iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u,iv定是解析函数。3.已知解

12、析函数f(z)的实部或虚部，求解析函数f(z)=u,iv的方法。1)偏微分法：若已知实部u=u(x,y)，利用CR条件，得竺，空；xy对v=du两边积分，得v=J竺dy,g(x)(*)再对(*)式两边对x求偏导,*) # +g，(x)，可求出g(x)；由CR条件，色一竺，得lu=丄lylxlylx、代入(*)式，可求得虚部vJldy,g(x)。lx2)线积分法：若已知实部u=u(x,y)，利用CR条件可得故虚部为vJ(x,y)%+竺dy+c；dv二lvlvdx+dy=lxlylulu，lylx(x0,y0),y,x由于该积分与路径无关，可选取简单路径(如折线)计算它，其中(x,y)与(x,y)

13、是解析区域中的两点。003)不定积分法：若已知实部u=u(x,y)，根据解析函数的导数公式和C-R条件得知，,u.,v,u.,ufIz=+i=一i,x,y,x,y将此式右端表示成z的函数u(z)，由于广(z)仍为解析函数，故f(z)=U(z)dz+c(c为实常数)注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u.复数项级数1复数列的极限1)复数列a二a+ib(n=1,2nnnlima=a,nnfg)收敛于复数a+b的充要条件为(同时成立)limb二bnnfg2)2复数列a收敛ZQ幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半

14、径。比值法如果limcn+i=九0，则收敛半径R=丄;c九n根值法lim阿=九0，则收敛半径R=1；nTn尢如果九=0，则R=；说明在整个复平面上处处收敛；如果九=，则R=0；说明仅在z=z或z=0点收敛；0注:若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如艺cz2n）nn=03幂级数的性质azn,厶bznnnn=0n=01）代数性质：设S的收敛半径分别为R与R，记12R=min（R,R），12则当|z|R时，有S（aa+Pb）zn=aSazn+bznnnnnn=0n=0n=0线性运算）（艺azn）（艺bzn）=S（ab+ab+nnn0n，11n=0n=0n=0+ab）zn0n（乘积运算）

15、幕级数的概念：表达式艺c（z，z）n或无czn为幕级数。n0nn=0n=0当|z|R时，=g，z）解析2）复合性质：设当|r时，f（）艺ann=0且Ig（z）卜r，贝U当|z|R时，fg（z力艺ag（z力n。n=03）分析运算性质：设幕级数艺azn的收敛半径为R丰0，则nn=0其和函数f（?）艺azn是收敛圆内的解析函数；nn=0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且广（z）=Kna”1nn=0zR在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；zf,z）dz工厶如0n=0n+1R（十一）幕函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f,z）在圆域|z-z|R内解析，则在此圆域内f,z）可以展开成幕级数f）艺座2,

16、z-z；并且此展开式是唯n!0n=0一的。注：若f,z）在z解析，则f,z）在z的泰勒展开式成立的圆域的收敛00半径R=匕a；其中R为从z到f,z）的距z最近一个奇点a之间的距离。002常用函数在z=0的泰勒展开式01)2)=zn=1+z+z2+1zn=0y11z2z3ez=zn=1+z+n!2!3!n=0 3)z.(-1)nz3z5(-1)nSinz，z2n+1，z+z2n+1+(2n+1)!3!5!(2n+1)!4)3(-1)n1z2z4(-1)ncosz，z2n，1+z2n(2n)!2!4!(2n)Ln，0解析函数展开成泰勒级数的方法z1)直接法：直接求出c,丄f(n)(z)，于是f(z

17、)=XC(z-z)n。nn!0n02)nn=0间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复n，0 # #合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。1.洛朗级数的概念：C(z一z)n，含正幂项和负幂项。0十二)幂函数的洛朗展开n内处处解析，2n，-2洛朗展开定理：设函数f(z)在圆环域Rz-zR10:C为圆环域内绕z的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆0环域内，有f(z),C(z-z)n，且展开式唯一。n0n，-3.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设f(z)在厂|rz-zR内的任何一条正向简单闭曲线，则Jf(z:dz0C为f(z)在C

18、rz-zR内洛朗展开式中丄的系数。说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中内解析，C为，2兀ic。其中-1(z-z)-1的系0 数。1。十三)孤立奇点的概念与分类5内孤立奇点的定义:f(z)在z点不解析，但在z的01,c0；03)本性奇点：展开式中含无穷多项zz的负幕项;0cc(zz)c(zz)2=-0=c+c(zz)+c(zz)m1+c(zz)m+一m(m1)01000mg(z)(zz)m0在z解析，0ccm+1+c+c(z一z)+c(z一z)m+(zz)m(zz)010m000(十四)孤立奇点的判别方法可去奇点：limf(z)=c常数；极点:limf(z)=8z-z0本性奇点：lim

19、f(z,z-z0零点与极点的关系1234 # 1)零点的概念：不恒为零的解析函数f(z)，如果能表示成f(z)=(zz)m*(z)，0其中p(z,在z解析，p(z，0,m为正整数,称z为f(z,的m级零点;0002)零点级数判别的充要条件z是f(z,的m级零点of(n)(z,=0,(n=1,2,m1)0f(m)(z)0的m级极点;、03)零点与极点的关系：z是f(z,的m级零点亠是004)重要结论若za分别是Hz)与中(z)的m级与n级零点，则za是Q(z)(z,的m+n级零点；当mn时，za是唱的m-n级零点；(z丿当mm(n)(十五)留数的概念1留数的定义：设z为f(z,的孤立奇点，f(z

20、,在z的去心邻域000z一z0积分丄Jf(z,dz为f(z,在z的留数(或残留)，记作2兀ico内解析，c为该域内包含z的任一正向简单闭曲线，则称0Resf(z),zf(z)dz2.留数的计算方法若z是Q)的孤立奇点，则Resf(z),zc，其中c为f(z)在z的去心邻域内洛朗展开式中(z-z)-1的系数。00可去奇点处的留数：若z是f(z)的可去奇点，则Resf(z),z00m级极点处的留数法则I若z是f(z)的m级极点，则0Resf(z),z1lim(z-z)mf(z)0(m-1)!zTz0dzm-10特别地，若z是f(z)的一级极点，则Resf(z),zlim(z-z)f(z)zTz00

21、0注：如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。法则II设f(,牟，P(z),Q(z)在z解析，P(zh0,Q(z)00Q(z)=0,Q(z)h0，则ResP(,z，00西0叭,z外处处解析,n(十六)留数基本定理设f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z,z12为d内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则Jf(z)dzc，2i艺Resf(z),znn，l说明:留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数)(z)在c内各孤立奇点处留数的局部问题。注意：当在c内的起点较多时，采用无穷点处的留数进行转换。无穷点留数的定义及计算方法需要掌握。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概念Ff(t)，J+M

22、f(t)e-jwtdt，F(w)gF-1F()，丄J+gF()ejtd|sF(s)-f(0),Lf(t)s2F(s)-f(0)-广(0)L(-t)f(t)F(s)，L(-t)nf(t)F(n)(s)Lftf(t)dt0s积分性（频域）:位移性（时域）:位移性（频域）:gF(ss(收敛)sLeatf力F(sa)Lf-t力e-stF(s)(t0,t0)aa七、卷积及卷积定理f(t)*f(t),gf(T)f(tT)dT12-g12Ff(t)*f(t)F(w)-F(w)1212Ff(t)-f(t)二丄F(w)*F(w)122兀12Lf(t)*f(t)F(s)-F(s)1212八、几个积分公式f(t)5

23、(t)dtf(0)gf(t)5(t-t)dtf(t)-g00 n=g ff(t)dtJLf(t)dsJF(s)ds160t00卜f(t)ektdt，Lf(t)sk0s，k模拟试卷.填空题1.2.I=z-ezsinz么,其中c为z，a0的正向I=13.tan-能否在0日vR内展成Lraurent级数？4其中c为z=2的正向：Jz2sindz=zc5.已知F6)，呷？,则fC)=o选择题1.fc),zRec)在何处解析(A)0(B)1(C)2(D)无2.沿正向圆周的积分.Jsinzdz=Iz|=2z(A)2兀isin1.以上都不对.(B)0.(C)兀isinl.(D)4nz-1)n的收敛域为3(A

24、)4法确定z-14.(B)lz-2e(C)1z-12.(D)无f(_)(A)m.都不对.三.计算题1.fQ)=u+iv为解析函数，u-v=x3+3x2y-3xy2-y3,求(B)-2m.(C)-m.(D)以上4.设z=a是f(z)的m级极点，则気)在点z=a的留数 n=g #u2设函数fQ与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数fQgQ在z=a处极点如何？3求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。f(z)=丄,z=-14求拉氏变换fdsin6t(k为实数)5.求方程y+4y+3y=e-1满足条件y(o)=y(o)=1的解.四.证明题ez-1eld-1zez|1利用ez的Tayl

25、or展式，证明不等式1FaLa丿2若F6)=沪fC)(a为非零常数)证明：沪f(at)L模拟试卷一答案.填空题61/一4否302i.1二!=FFF,552.,.0001.(D)2.(A)3(A)4.(C)三.计算题1.2u=3x2y一y3+c函数/QgQ在z=a处极点为m+n级34f(z)=-L=艺n(z+1一1R=1z2n=16s2+365.71e-3t+e-1+te-142*模拟试卷二.填空题c为1正向，fQnx2y+3+Ixy2丿为解析函数，贝1，m,n分别为.则Jzdz=c33.ResshzoZ2n2级数区。-2.收敛半径为n=1”-函数的筛选性质是二选择题fC)=e-山C1),则xf

26、(t)=e,(s，1)e-(s-i)e-Ct)f(A)(B)f(C)2=(D)以上都不对沪/QLF6)，则沪C-2)fC)=(A)F()，2F6).(B)FO-2F6).(C)iFO-2F6).(D)以上都不对C为z=3的正向，J(dz2)z3V10-2丿c(A).1(B)2(C)0(D)以上都不对4.沿正向圆周的积分J忖=2sinz“”)2z，一2丿dz(A)0.(B)2(C).2+i.(D).以上都不对.计算题1.求sin(3+4i).Jdz2计算Ja)(b)*其中a、b为不在简单闭曲线c上的复常数，ab.求函数f0=i1,z0=1在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。4求拉氏变换

27、f0=ekt(k为实数)证明题另Cn收敛，而习C”|发散，证明艺C”z”收敛半径为1n0n，0”=0若乂/C)，Fs),(a为正常数)证明：模拟试卷二答案.填空题4.112兀i2l，”，3,m，13i5.J+5(t)f(t)dt，f(0)-选择题1(B)2(C)3(C)4.(A)计算题e4+3ie43i1-2-2当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时dz-0J(z-a)(z-b)，0，c当a在C之内,b在C之外时(za)(zb)，吕，当b在c之内,a在c之外时Q!b厂吝，12.3.3f(z)二艺(-1*#z，1n014s一k.填空题z=0为fz)z2Res，0z2-z3n,1R2.模拟试卷三级零

28、点,刁人U八、，a,b,c均为复数，问C)与a%一定相等吗？每个幕级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？5“皂=.ccosz选择题(D)以上都(C)2u设u和V都是调和函数，如果V是u的共轭调和函数，那么V的共轭调和函数为(A)u.(B)-u.不对。 n=g #Y2级数厶nn1(A).发散.(D)无法确定ein(B)条件收敛(C)绝对收敛 n=g #3C为|z2的正向，则ezdzz2(z2+9(A).1以上都不对4.沪fC)Lf6)，则沪fG-1)=(A)F6)e-ZOT都不对三.计算题(B)2c(%9(D)(B)F(OT)ei(C)FCo)e血(D)以上计算f(z)=,从而证明n1+2co豎d

29、e=o.1.计算z+2o5+4cos6|z|l求在指定圆环域内的Laurent级数f0=z1,z-112z23利用留数计算定积分:2d002+cosBtekt(k为实数).4求拉氏四.证明题1说明Lnz2=2Lnz是否正确，为什么？F(s)s2利用卷积定理证明Xt0模拟试卷三答案.填空题142.13.不一定4.否5.0 n=g #.选择题1.(B)2(A)3(C)4(D)计算题if(z)，dz2，0,z+2lz，i2.f区(-+1(n+l)(z-1”1.n，02穴3-我4.1(s-k)2 #n=g # n=g #模拟试卷四填空题1复数z=占三角表示形设u,x2-y2+xy为调和函数，其共轭调和

30、函数为艺c上-i能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.z，0为fQ），6sinz3+z3（z6一6）的级极点卷积定理为选择题1.F6），2处6）则f（t）=(A).7(B)1(C)2(D)以上都不对2.若3i)=-3i),n为整数.n=(A)6k(B)3(C)3k(D)63.C是直线OA,O为原点，A为2+i,则Re=c(A).0.(B()1+i)/2.(C).2+i.(D).以上都不对.4设fC)=sint，则乂/t)=V3丿(A)1,3s2+s2（B）希（C）芯e号（D）以上 #n=g # #n=g #都不对计算题1求在指定圆环域内的Laurent级数fz)=竺,0z.z2设函数fQ与

31、分别以z=a为m级与n级极点，那么函数.在z=a极点如何？3求fc）=EC5;傅氏变换。“0,其他4.求拉氏变换fQ=e，2tsin6t-证明题2 n=g #1若冋1,I,1,求证1P12若F6)=沪fC)，证明：cos模拟试卷四答案一填空题1.兀.cosisin22.y2x2T2xyc3.否4.155.略二.选择题1(B)2.(C)3.(C)4(C)三.计算题1-f(zQ(1)(nn时,当mWn时，Z2n(2n+1)!z=a为牟的m-n级极点g(Z)z=a为f(z)的可去奇点2 #n=g #2 #n=g #32Ee卞jsin竺 #4 4 #4s,2)2,36证明题1.略2.略模拟试卷五填空题

32、z24iz-(4-9i)=0根为，2!dz和：dz是否相等zl=2z|z=4Z叙述傅氏积分定理拉氏变换的主要性质二选择题1已知c=hc=巴,C=1,1,+1.则艺c(Z-2的收敛圆环为onn-n2nnn=s(A)；|z4.(B)l|zeJC)1|z1|2.(D)无法确定1W=-将Z平面上x2,y2=4映射成W平面上的(A).直线(B)u+v=1(C)u2,v2=1(D)以上都不对3z=0是fz)，z2e；什么奇点(A)可去(B)本性奇点(C)2级极点(D)以上都不对4.孔_t)的傅氏变换为0(A)1(B)e-叫(C)e叫(D)以上都不对三.计算题1.解方程e；+i，0.2利用留数计算定积分：卜上字dx3利用能量积分求卜怛dx_gX24求F(S)，2r的拉氏逆变换.s2ks+1)证明题试证argz在原点与负实轴上不连续.下列推导是否正确？若不正确，把它改正，2兀i.z，1模拟试卷五答案.填空题1+2-3血:i和3