函数的数值逼近

1、函数的数值逼近2022/9/3电子工程学院1第1页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院2问题的提出函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值问题1：根据实验观测数据，即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。问题2：求出函数，使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。插值问题曲线拟合问题第2页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院3函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代替它，使得 p(xi)= yi (i=0,1,2,n) 函数p(xi)称为插值函数。 x0

2、,x1, xn称为插值节点或简称节点。 插值节点所界的区间称为插值区间。 p(xi)= yi 称为插值条件。插值问题：第3页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院4构造n次多项式Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+ anxn使满足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,n)，讨论的主要内容：如何求出插值函数；插值函数的存在性；收敛性和误差估计。4.1 多项式的插值问题第4页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院5P1(x)= a0 + a1x例：第5页，共99页，2022年，5月20日，9点38

3、分，星期一2022/9/3电子工程学院6P1(x)= a0 + a1x + a2x2例：第6页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院7 拉格朗日插值插值多项式的存在唯一性：第7页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院8判断系数矩阵的奇异性Vandermonde矩阵第8页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院9结论：通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。第9页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院10例：一次和二次插值

4、一次插值：第10页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院11由直线的点斜式公式可知：a0a1问题?第11页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院12直线公式：思路已知（不变）的先算 ，未知（变化）的后算。基函数第12页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院13一次插值基函数基函数的特性xkxk+1lk(x)10lk+1(x)01第13页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院14例：已知lg10=1,lg20=1.3010

5、,利用一次多项式插值计算 lg12的近似值。解：f(X)=lg(x),f(10)=1,f(20)=1.3010设 第14页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院15第15页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院16二次插值第16页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院17二次插值的基函数：构造三个插值基函数，使其满足： （1） 基函数为二次多项式。 （2） 函数值满足：xk-1xkxk+1lk1(x)100lk(x)010lk+1(x)001第17页，共99页，2

6、022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院18由插值基函数的要求：第18页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院19插值公式第19页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院20例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用二次多项式插值计算 lg12的近似值。解：f(X)=lg(x),f(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010设 第20页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院21第21页，

7、共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院22拉格朗日插值多项式的一般形式问题的提出： 已知函数y=f(x)在n +1个不同的点x0,x1,xn上的函数值y0,y1,yn,求一个次数不超过n的多项式Pn(x),使： Pn(xi)=yi (i=0,1,n)第22页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院23插值基函数第23页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院24插值公式：第24页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院25第25

8、页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院264.2 插值的误差分析定理：第26页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院27证明 (略)第27页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院28线性插值和二次插值的截断误差为：第28页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院29思考：是否插值的节点越多，多项式插值越精确？是否多项式的阶数越高，多项式插值越精确？第29页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9

9、/3电子工程学院30演示：多项式插值的Runge现象第30页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院31过程：第31页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院32%lagrangen.mfunction y=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=

10、s;endy; Lagrange插值多项式求插值的Matlab程序.第32页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院33%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2);plot(x,z,k,x,y,r)axis(-5 5 -1.5 2);pause,hold onfor n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pauseendy2=1./(1+x0.2);y=in

11、terp1(x0,y2,x);plot (x,y,k),hold offgtext(n=2),gtext(n=4),gtext(n=6)gtext(n=8),gtext(n=10)gtext(f(x)=1/(1+x2)比较不同的插值多项式次数对插值的影响第33页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院34不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象第34页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院35x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:.05:5;y0=1./(1+t.2);p=pol

12、yfit(x,y,10);y1=polyval(p,t);plot(t,y0,x,y,o,t,y1,.)Range现象演示（利用matlab函数）第35页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院36高阶多项式插值不好！ 怎样获得高精度的插值方法？第36页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院374. 3 分段低次插值第37页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院38随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既

13、要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，我们可以采用分段插值的办法。第38页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院39x0 x1 xi+1xix-x0分段线性插值第39页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院40分段插值第40页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院41由定义可知：Ih(x)在每个小区间xk,xk+1可表示为：第41页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程

14、学院42收敛性：证明：第42页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院43第43页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院44 在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求它的导数值也相等。 埃尔米特插值第44页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院45求解的思路： 这里给出了2 n +2 个条件，可唯一确定一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x). 其形式为 根据上面的条件来确定 2n +2 个系数，显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值

15、多项式的基函数方法。第45页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院46求解的思路：第46页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院47确定基函数：利用拉格朗日插值基函数。第47页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院48确定基函数：第48页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院49确定基函数：第49页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院50确定基函数：第50页，共99页，202

16、2年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院51Hermite插值的唯一性：反证法：第51页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院52Hermite插值的余项第52页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院53例：按下表求Hermite插值多项式Xj012f(x)011f(x)01第53页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院54分段Hermite插值：分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值 f k外还给出导数值f k=mk,，这

17、样就可构造一个导数连续的分段插值函数。第54页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院55第55页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院564.4 三次样条插值问题的提出： 上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学

18、上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。第56页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院57数学定义：第57页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院58讨论：由定义，要求出S(x), 在每个小区间,需要确定4个系数，共需要确定4n个系数。第58页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院59讨论：第59页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院60从理论上，还需要2个方程。通常，可以在a,b的两个端点

19、附加条件。（边界条件）第60页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院61三次样条函数的计算：(1) 利用分段三次Hermiter插值（三对角方程）。第61页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院62三次样条函数的计算：(2) 利用二阶导数值计算（三弯矩方程）第62页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院63积分两次得到：第63页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院64第64页，共99页，2022年，5月20日，9点38

20、分，星期一2022/9/3电子工程学院65一维插值: yi = interp1(x, y, xi, method ) methodnearest 最近点插值 linear 线性插值 spline 样条插值 cubic 立方插值 第65页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院66二维插值zi=interp2(x, y, z, xi, yi, method)三维插值vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi, method)第66页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院67插值方法的比较：x=-

21、5:2:5;y=1./(1+x.*x);xi=-5:0.2:5;Yi(:,1)=1./(1+xi.*xi);Yi(:,2)=interp1(x,y,xi);Yi(:,3)=interp1(x,y,xi, spline);Yi(:,4)=interp1(x,y,xi, cubic);plot(xi,Yi)第67页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院68第68页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院69问题的提出函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值根据实验观测数

22、据，即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。4.5 曲线拟合第69页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院70曲线拟合问题问题： 数据有误差解决思路：求一函数，使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。第70页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院71曲线拟合的最小二乘方法已知数据表 x x1 x2 xmf(x) y1 y2 ym残差拟合函数第71页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院72误差的表示方法:最小二乘拟合: 确定拟合函数使平方误差2-范数最小第72页，共

23、99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院73+(xk,yk)例：直线拟合的最小二乘方法线性函数误差函数误差最小第73页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院74例：直线拟合的最小二乘方法最优化问题求解第74页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院75一般情况：拟合函数的线性模型:给定数据表 x x1 x2 xmf(x) y1 y2 ym第75页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院76选择函数系: 确定使得记求二次函数I(a0

24、, a1, an) 的最小值点 第76页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院77计算：第77页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院78则方程组可写为记 k = 0, 1, ,n化简：法方程第78页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院79问题： 方程有解吗？第79页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院80( i=1,2,m )另一种分析思路：函数的向量表示由第80页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星

25、期一2022/9/3电子工程学院81第81页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院82多项式拟合方法n次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2 + + an x n 逼近f(x)( m n )第82页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院83第83页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院84已知实验数据x 1 2 3 4 5f(x) 4 4.5 6 8 9 试构造二次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2 逼近f(x)例：第84页，共99页，2022年，5月20日

26、，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院85解:将数据点代入, 得超定方程组a0+a1+a2 = 4a0 +2a1+4a2=4.5a0 +3a1+9a2=6a0 +4a1+16a2=8a0 +5a1+25a2=9第85页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院86记适定方程组求解,得 a0=3, a1=0.7071, a2=0.1071得 P(x)=3+0.7071x + 0.1071x2第86页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院87MATLAB中的多项式拟合函数P=polyfit(X,Y,n) 求出(最小二乘意义下)n次拟合多项式P(x)=a0 xn + a1xn-1 + + an-1x + an计算结果为系数: P= a0, a1, , an-1, an 函数的意义：第87页，共99页，2022年，5月20日，9点38分，星期一2022/9/3电子工程学院88y1=polyv