北师大版数学高一必修1练习 4.2实际问题的函数建模

1、2实际问题的函数建模课后篇巩固提升1.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为( )A.60安 B.240安 C.75安 D.135安解析:设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k=5,所以I=5r3,则当r=3时,I=533=135(安).答案:D2.某种动物繁殖数量y(单位:只)与繁殖时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一

2、年有100只,则第七年它们发展到( )A.300只 B.400只 C.500只 D.600只解析:由题意知,当x=1时,y=100,即100=alog22,a=100.y=100log2(x+1).当x=7时,y=100log28=300(只).答案:A3.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t时的距离,下列图像中能大致表示s=f(t)的函数关系的为( )解析:由题中所述,只有C符合题意.答案:C4.某公司

3、招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=其中x代表拟录用人数,y代表面试人数,若应聘的面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )A.15 B.40 C.25 D.130解析:令y=60,若4x=60,则x=1510,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40100,不合题意.故拟录用人数为25.答案:C5.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台 B.120台

4、C.150台 D.180台解析:由题意知即解之,得150 x240且xN.不亏本时的最低产量为150台.答案:C6.某种商品投放市场以来,曾经过三次降价,其价格由a元降至b元,那么该商品每次平均降价的百分数是 .解析:此题是一个平均增长率的数学模型,要用到M=N(1p%)a这一关系.设每次平均降价为x,则由题意,得a(1-x)3=b,解得x=1-.故该产品每次平均降价的百分数为100%.答案:100%7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是 (lg 20.301 0).解析:设至少要清洗x次,则,x3.322,所以需4次.答案:48.有一长为24 m

5、的篱笆,一面利用墙(墙最大长度是10 m)围成一个矩形花圃,设该花圃的一边AB为x m,面积是y m2.(1)求出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;(2)当花圃一边AB为多少米时,花圃面积最大?并求出这个最大面积.解:(1)024-2x10,7x12,y=x(24-2x)=-2x2+24x(7x12).(2)由(1)得y=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,当AB=7 m时,y最大为70 m2.9.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg 20.301 0,lg

6、30.477 1)解:依题意,得2%0.1%,即.则n(lg 2-lg 3)-(1+lg 2),故n7.4,考虑到 nN+,即至少要过滤8次才能使产品达到市场要求.10.某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40),试求f(x)和g(x);(2)问:选择哪家比较合算?为什么?解:(1)f(x)=5x,15x40;g(x)=(2)当5x=90时,x=18,即当15x18时,f(x)g(x);当x=18时,f(x)=g(x);当18g(x);当15x18时,选甲家比较合算;当x=18时,两家一样合算;当180.1时,函数解析式为y=,而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入得:1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t0.1时,y=.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)