光学谐振腔与激光模式

1、光学谐振腔与激光模式第1页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3.1 光学谐振腔的构成和分类 （a）闭腔； （b）开腔； （c）气体波导腔（半导体腔）3.1.1 光学谐振腔的构成和分类 如果固体激光材料长度远小于腔长，可视为开腔。第2页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一分类： 按照腔镜的形状和结构球面腔和非球面腔 腔内是否插入透镜之类的光学元件， 或者是否考虑腔镜以外的反射表面简单腔和复合腔 根据腔中辐射场的特点驻波腔和行波腔 根据反馈机理的不同端面反馈腔和分布反馈腔 根据构成谐振腔反射镜的个数两镜腔和多镜腔第3页，共103页，2022年，5月20

2、日，17点28分，星期一3.1.2 典型开放式光学谐振腔 1.平行平面腔:两块互相平行且垂直于激光器光轴的平面镜 激光技术发展历史上最早提出的光学谐振腔，这种装置在光学上称为法布里 珀罗干涉仪，简记为FP腔。 这种腔的特点是可以充分利用激活介质，使光束在整个激活介质体积内振荡。缺点是衍射损耗大，对准精度要求高。前提：无源腔，即腔内无激活介质。第4页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一2. 对称共焦腔组成：两块相距为L，曲率半径分别为 和 的凹面反射镜，且 。即两凹面镜，曲率半径相同且焦点在腔中心处重合。这种结构的谐振腔在腔中心对光束有弱聚焦作用； 对准灵敏度低，易于装调；

3、衍射损耗低。介质利用率低。一般共焦腔： 共焦腔：第5页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一2.共心腔组成：两块相距为L，曲率半径分别为 和 的凹面反射镜，且 。即两凹面镜曲率半径相同且焦点在腔内重合。 若两反射镜曲率半径相等，则两凹面镜曲率中心在腔中心重合，为对称共心腔。特点：对准精度要求低，装调容易；衍射损耗低。不能充分利用激光介质；容易损害腔内器件非对称 对称第6页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一第三章 光学谐振腔与激光模式2.平凹腔组成：相距为L的一块平面反射镜和一块曲率半径为R的 凹面反射镜当 ，称为半共焦腔特点：衍射损耗低，易于装调，成

4、本低，大多数氦氖激光器采用这种腔型。对于固体激光器，可直接在晶体端面镀膜，成为平面镜。 此外，还有双凸腔、平凸腔、凹凸腔等，以及由多个反射镜构成的折叠腔、环形腔等。第7页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一模式：谐振腔内可能存在的电磁场本征状态 （振荡频率和空间分布）纵模：沿光轴方向的光强分布；横模：垂直于光轴的横截面上的光强分布。腔的结构确定模式特征3.2 激光模式 3.2.1 驻波与谐振频率 当激光器处于振荡状态，激光器内部两个方向传播的光叠加成为满足一定相位条件的驻波。 第8页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一第三章 光学谐振腔与激光模式频率

5、、振幅、振动方向均相同的两列波在同一直线上沿相反方向传播时，相干形成驻波。驻波条件：谐振条件：对于腔内介质分段均匀的情况，例如腔内除激光介质外其余部分为空气，则有腔长为半波长的整数倍。第9页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一整数 所表征的腔内纵向稳定场分布纵模间隔：3.2.2 纵模 由整数 q所表征的腔内纵向的稳定场分布称为激光的纵模。q称为纵模的序数，不同纵模相应于不同的q值，对应不同的谐振频率。对于腔内介质分段均匀的情况， 纵模在频率尺度上是等距离的，腔长越小，纵模间隔越大。第10页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一 理想情况下，一个纵模对应

6、一个谐振频率值，实际上由于腔的损耗， 每一个纵模都具有一定宽度: 满足谐振条件的谐振频率很多，但由于粒子发光的荧光谱线宽度有限，必须落在荧光线宽内而且满足谐振条件的纵模才能形成激光输出。 由于波长很小，腔长相对很大，整数q值很大，即腔内波腹数很多，达数万到数十万个波腹。书中P36，例题3-1，例题3-2第11页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一例：HeNe激光器， ，当 和 时， 激光器中分别可能出现几种频率的激光？ （已知Ne原子自发辐射的中心频率 ， 荧光光谱增益线宽 ）解：一种频率（单纵模）三种频率（多纵模）结论：1.工作原子（分子、离子）自发辐射的荧光线宽 越大

7、，可能出现的纵模数越多。2. 激光器腔长 越大，相邻纵模的频率间隔 越小，因而同样的荧光谱线宽度内可容纳的纵模数越多。第12页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一mx方向节线数ny方向节线数 谐振腔内的光波在垂直于光轴的横截面内的电磁场分布。每一种横模对应一种横向的稳定场分布，用 标记，q很大，通常不写出来。3.2.3 横模对于轴对称：轴对称：旋转对称：对于旋转对称：m径向节线数n角向节线数实际出现的是多种模式的叠加。两种模式叠加第13页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一基模：最好的模式第14页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星

8、期一自再现模（横模）：在腔反射镜面上经过一次往返传播后能“自再现”的稳定场分布，相对分布不受衍射影响。镜边缘的衍射效应：损失能量，引起能量分布的变化。横模的形成第15页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一 纵模和横模各从一个侧面反映了谐振腔内稳定的光场分布，只有同时运用纵模和横模概念，才能全面反映腔内光场分布。 不同纵模和不同横模都各自对应着不同的光场分布和频率，但不同纵模光场分布之间差异很小，不能用肉眼观察到，只能从频率的差异区分它们；不同的横模，由于其光场分布差异较大，很容易从光斑图形来区分。应当注意，不同横模之间，也有频率差异，这一点常被人们忽视。 第16页，共10

9、3页，2022年，5月20日，17点28分，星期一选择性损耗（因横模而异）几何损耗：腔的类型，几何尺寸，横模阶次衍射损耗：腔镜边缘的衍射效应非选择性损耗（与模式无关）腔镜反射不完全引起的损耗：透射输出损耗非激活吸收散射：镜的吸收、散射、透射3.3 光学谐振腔的损耗3.3.1 光腔的损耗 1.损耗的种类 2. 平均单程损耗因子总损耗因子为腔内各损耗因子之和。第17页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3. 损耗举例 （1）腔镜倾斜引起的损耗-可以减小或避免 由于光往返m次后逸处腔外，所以往返一次损耗为1/m，可求得单程损耗因子为：第18页，共103页，2022年，5月20日

10、，17点28分，星期一红色是暗环第19页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一（3）透射损耗 设两个反射镜的反射率分别为 和 ，则初始光强为 的光在腔内往返一周，经两个镜面反射后，光强变为： 当 ， 时，有： 在实际使用中，一个反射镜为全反射镜，另一个为输出镜，则第20页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一（4）吸收损耗 一般常用吸收系数来定量描述介质对光的吸收作用。其定义为通过单位长度介质后光强衰减的百分数： 介质中不同位置处的光强为： 若吸收系数是均匀的，则光在腔内往返一次后光强衰减为： 由此可得，由介质吸收引起的单程损耗因子为： 第21页，共10

11、3页，2022年，5月20日，17点28分，星期一初始光强；往返m次后的光强时刻往返次数：3.3.2 腔的时间常数和光子的平均寿命 第22页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一腔内光子数密度衰减到初始值的 所用的时间。腔损耗越小 越大 腔内光子的平均寿命越长第23页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一品质因数储存在腔内的总能量单位时间内损耗的能量腔内振荡光束体积损耗越小，光子寿命越长，Q值越高。3.3.3 无源腔的品质因数Q值 第24页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一1. 光线传播矩阵 3.4 光学谐振腔的稳定性条件3.4.

12、1 腔内光线往返传播的矩阵表示 2. 光线变换矩阵 用矩阵表达式来表示近轴光线通过一个光学系统后光线参数的变换规律光线变换矩阵列矩阵 称为光线在某一截面处的光线矩阵， 有正负之分。 第25页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一(1) 均匀介质层的光线变换矩阵(2) 球面反射镜的光线变换矩阵凹面镜：凸面镜：第26页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一(3) 薄透镜的光线变换矩阵会聚透镜：发散透镜：第27页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一常用光学元件的光线变换矩阵第28页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一

13、反射：反射：3. 光学谐振腔内光线往返传播矩阵 第29页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一一次往返总变换矩阵：光线在腔内经n次往返，变换矩阵为：第30页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一稳定性条件(1) 稳定腔：近轴光线在腔内往返任意多次而不横向逸处腔外为有限值 为实数稳定性条件3.4.2 共轴球面腔的稳定性条件 两镜腔适用第31页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一（2） 非稳腔：光线在腔内有限次往返后必然从侧面逸出腔外即或：即（3） 临界腔： 即或：即稳定腔：光束在腔内多次往返后，其位置仍紧靠光轴；非稳定腔：光束在腔内多

14、次往返后，从横向逸出腔外；临界腔：属于极限情况。 往返矩阵的计算与顺序、参考面的选取无关非稳腔并不意味腔不能稳定工作，只是几何损耗大，在高功率激光器中经常采用。第32页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一2. 稳区图 腔的参数确定后，在稳区图上有唯一的对应点；稳区图上的一点，并不能单值确定腔的参数。第33页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一第34页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一第35页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一共焦腔：两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔对称共焦腔：两个反射镜曲率半径相等的共焦

15、腔简并：稳定腔内光束有限次往返后可形成闭合光路3.4.3 临界腔 属于极限情况 1. 对称共焦腔 特点：任意近轴光线可无限多次往返而不逸出腔外，是最重要和最有代表性的一种稳定腔。第36页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一轴向光线：闭合非轴向光线：逸出介稳腔2. 平行平面腔 实共心腔虚共心腔对称共心腔3. 共心腔 过公共中心的光线：闭合不过公共中心的光线：逸出介稳腔第37页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一双调Q双波长Nd:YAG/Cr:YAG激光器双波长和频-593nm黄光第38页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一Nd:Y

16、AG激光器腔内倍频自锁模飞秒激光器第39页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一几何光学光线在光腔中的传播、腔的稳定性 物理光学模式的形成、光场的振幅和相位分布、 衍射损耗谐振腔模式理论的基础 菲涅耳基尔霍夫衍射积分 模式自再现概念 光的衍射理论 自再现模所满足的积分方程 任意谐振腔的性质（场的振幅分布、相位分布、 衍射损耗、附加相移） 基本步骤：3.5 光学谐振腔的衍射理论基础第40页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3.5.1 自再现模 自再现模（横模）：经过足够多次的往返传播之后，光场的相对分布不再受衍射的影响。自再现模经过一次往返传播后能“自

17、再现”，即各点振幅按同样比例衰减，各点相对产生同样滞后。镜边缘的衍射效应：损失能量，引起能量分布的变化。第41页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一开腔中自再现模的形成 理想开腔孔阑传输线第42页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一经j次渡越后（单程）：3.5.2 菲涅耳基尔霍夫衍射积分 P处的场 可看作是S上各子波源发出的非均匀球面子波在P点的叠加 应用到谐振腔：第43页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3.5.3 自再现模积分方程 自再现：相对稳定（镜面上各点场振幅按同样比例衰减， 相位发生同样大小的滞后） j足够大， 是

18、与坐标无关的常数。第44页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一以 表示稳态场分布：开腔自再现模应满足的积分方程简化的积分方程（本征方程）：近似处理：来回振荡不改变函数形式，仅被衰减或放大，或产生相移。分子去掉k（3-71）第45页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3.5.4 自再现模积分方程解的物理意义 单程损耗：单次渡越相移：本征方程解（不连续）本征函数本征值模：镜面上光场振幅分布模：单程损耗幅角：单程相移幅角：镜面上光场相位分布复常数 的物理意义包括几何损耗和衍射损耗，以衍射损耗为主。第46页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，

19、星期一谐振条件： 自再现模积分方程的本征函数决定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布。 本征值决定不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。 下面：求解积分方程（第二类弗里德霍姆方程）平行平面腔：迭代法求近似解对称共焦腔：解析法求精确解一般方法：根据具体问题引入适当坐标系，简化积分方程第一项是几何相移，第二项是波振面畸变引起的附加相移，使得谐振频率偏离驻波条件决定的频率。第47页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3.6.1 平行平面镜腔的自再现模积分方程 将 按 , 的幂级数展开：3.6 平行平面镜腔的自再现模第48页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，

20、星期一此方程对x，y两个坐标是对称的，故可分离变量：第49页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一3.6.2 平行平面腔的数值迭代解法 1. FOXLi数值迭代法 迭代公式：若 已知:j足够大时:自再现模本征函数本征值第50页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一2. 自再现模形成过程实例: 设条状腔的具体尺寸： 均匀平面波以一列均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波： 第51页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一经过1次和300次渡越后所得到的振幅的相对分布：特点：对于基模，在镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅逐渐减小，整个镜面

21、上振幅分布具有偶对称性 第52页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一经过1次和300次渡越后所得到的相位的相对分布：特点：基模的相位分布曲线不是直线，而是有起伏的曲线，说明镜面不是等相面，在镜面边缘处相位产生滞后。因此，严格说来，基模已不仅不是均匀平面波，而且已经不再是平面波了。 如果初始场分布不同，得到的稳定自再现模也不同，即得到不同模式。第53页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一1. 单程衍射损耗 无论是条形腔或圆形镜平行平面腔，其单程功率损耗的大小都是菲涅耳数的函数。 条形镜平面腔的 N曲线 （1）对于同一横模， 唯一地由N值决定，且随N的增

22、大而减小； 3.6.3 单程衍射损耗、单程相移与谐振频率 （2）菲涅耳数相同时（对于同一N值）， 随横模阶次的增大而增大，基模的损耗最低。第54页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一2. 单程相移 单程总相移为:腔模的 N曲线 （1）对于同一横模， 唯一地由N值决定，且随N的增大而减小； （2）菲涅耳数相同时（对于同一N值）， 随模阶次的增大而增大，基模的 最低。 第55页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一条状腔自再现模的谐振频率： 可以忽略不计。 因此，对于条状腔，自再现模的谐振频率采用公式： 3. 谐振频率第56页，共103页，2022年，5月

23、20日，17点28分，星期一对称共焦腔方形镜共焦腔圆形镜共焦腔解析解自再现模的特征行波场的特征3.7 对称共焦腔的自再现模1. 自再现模所满足的积分方程式及其解析解积分方程的核：3.7.1 方形镜对称共焦腔：尺寸 积分方程：第57页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一无量纲变换令：分离变量后的积分方程：角向长椭球函数精确解第58页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一m，n取一系列不连续的整数一系列本征函数一系列相应本征值（自再现模） 用厄米高斯函数近似代替本征方程的精确解（条件C或N很大，该条件是满足的）:常系数;m阶多项式第59页，共103页，20

24、22年，5月20日，17点28分，星期一最初几阶厄米多项式将X，Y换成镜面上直角坐标x，y，本征函数为：3-106式第60页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一高斯型分布：模的振幅从镜中心（x=y=0）向镜边缘平滑减小。（1）镜面上光场分布特征2. 方形镜共焦腔自再现模的特征 振幅分布(a) 基模：基模光斑半径： 基模在镜面上是个圆形亮班，中心部分最亮，向外逐渐减弱，无清晰的锐边。光强分布：振幅降至最大值的 ，或光强下降到最大值的 第61页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一半功率点处光斑尺寸：基模的总功率为：包含在“光斑尺寸”内的功率为：可见，在光

25、斑半径内，集中了总功率的86.5%。重要特征：（1）共焦腔的光斑半径与反射镜的横向几何尺寸无关，只决定于腔长；（2）共焦腔的光斑半径很小，模场主要集中在镜面中心附近。第62页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一(b) 高阶横模 模沿x方向有m条节线，沿y方向有n条节线。第63页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一高阶模光斑半径（沿不同坐标分别计算）基模光斑半径高阶模光斑半径 相位分布由自再现模本征函数 的幅角决定长椭球函数为实函数为实函数镜面上各点位相相同第64页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一1.均匀平面波损耗 平行平面腔

26、损耗 共焦腔损耗。2.共焦腔损耗随横模阶数m和n而增加3.通常尺寸的共焦腔激光器，基模衍射损耗小到可以忽略，当菲涅耳数很小（N1，衍射损耗不起重要作用，采用几何光学分析方法;易获得单横模（基模）振荡;2.14.非稳定谐振腔1 非稳腔的基本结构（1）双凸非稳腔所有双凸腔都是非稳腔第93页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一（2）平凸腔一个平面镜和一个凸面镜按任意间距组成平凸腔腔长为其二倍的对称双凸腔（3）平凹非稳腔一个平面镜和一个凹面镜组成若第94页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一（4）双凹非稳腔两个曲率半径不同的凹面镜组成第95页，共103页，2022年，5月20日，17点28分，星期一负支望远镜型非稳腔（实共焦型非稳腔）（5）凹凸非稳腔正支望远镜型非稳腔（虚共焦型非稳腔）第96页，共103页，2022年，5月20日，17点