小行星轨迹问题

1、摘要要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，其中我们只知道5 个观测点。首先，我们先通过matlab做出这5个点的散点图（图 1）,发现是一个曲线的方程，并且由开普勒第一定律即椭圆定 律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在 椭圆的一个焦点中。因此得知小行星轨道为椭圆并且得知太阳 不是行星轨迹的中心，我们用matlab通过这5个点建立椭圆方程, 先用椭圆的一般方程形式：点+ Zaxy + y2 + 2a4x+2a5y+l = 0（式子 Do将五个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵，用Matlab 指令求解线性代数方程组得到方程： 0.0508x2-0.0702xy+0.0381y2-

2、0.4530 x+0.2642y+l=0,并且做出了 二维图（图2）其次，我们要求解近日点，远日点，我们通过二次曲线 理论将方程化成椭圆的标准方程（方程），并且利用matlab做出 方程的平面二维图（图3）。再次，我们根据标准方程，利用高等数学 中的微积分方法求解出椭圆周长LW7.11497关键词MATLAB线性代数椭圆方程二次曲线理论微积分一题目解读一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立了以 太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文观测单位。在5个不同的时间对 小行星作了 5次观察通过建立小行星运行的轨道方程并画出其图形；求出近日点 和远日点及轨道的中心并判断其轨道

3、中心是不是太阳，计算轨道的周长。并且由 开普勒第一定律即椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环 绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中。因此得知小行星轨道 为椭圆并且得知太阳不是行星轨迹的中心二问题假设（1）小行星轨道方程满足开普勒第一定律。（2）以上所测得数据真实有效。三符号说明a3 a4a5式子1的各个参数mc的行列式值A 2C的特征值分别a长半轴b短半轴c椭圆半焦距h近日点距离H远日点距离四建立模型通过画出散点图（图1）（程序见附录1）,我们可以大概了解其运动轨迹是曲线 （有可能是椭圆）图1由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，对此由数学知识知道椭圆的一 般方程为：x2 + 2a2xy

4、+ 2a4x+ 2a5y+1 = 0 （式子 1）所以代入所观测的5个数据，就会得到5个方程，组成一个方程组，并观察, 发现此线性方程组可以用matlab来求解，并且该方程组的矩阵是非奇异的矩阵。 下面的是未代入实数的矩阵式子：2* 2x2 2x3 2x42今（式子2）x； 2x2 y2 x； 2x3y3 x； 2x4y4 xj 2x5将上列矩阵经过变换得到下面的式子 厂M 2砌y： 2X 2y】-1b= -1-11 Jx2 x2y22x2 2y2A=x4 fy4 y； 2X5 2x3）3 买 2x3 2y3寸4 2x4 2y42y5（式子3）对于矩阵运算，我们代入测得的5个数据后得到椭圆的方

5、程式, 并且可以得到此时的椭圆的在matlab中的图形（图形2）（程序 见附录2）椭圆方程：0.0508x2.0.0702xy+0.0381y2.0.4530 x+0.2642y+l=0;（模型1）椭圆图形:图2为了知道小行星轨道的一些参数比如焦点、长半轴、短半轴，还 必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式：X /a2y。2=1（式子 4）；由于太阳的位置是小行星的一个焦点，这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L.根据二次曲线理论，可 得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下：0. |D|X +W+甘=（式子5）-a a.C=D= 32 33

6、a5 ,.为为C的特征值。d， d3L -La4 a5 1 J利用mat lab计算（见程序3 ）C的行列式值为m=7.0347e004C的特征值分别为4 =0.0088=0.0801又/D的行列式为n=0.0010= I ,扩-,所以由matlab （程序4）算得:|4料|用c|长半轴a =12.8320短半轴b =4.2532椭圆半焦距：c = 7a2-b2 =12.1066近日点距离h=a=0.8551远日点距离H=a+c =24.8089并且求得椭圆的标准方程为：（模型2）求得模型2的二维图（图3）（程序5）如下（图3）再次利用matlab对模型2求解，运用高等数学微积分原理求解模型二

7、的椭圆周长LW7. 11497 （附录程序6）五模型推广语评价附录程序1x=0,5.764,6.286,6.759,7.168,7.408;尸0,0.648,1.202,1.823,2.526,3.360; plot(x,y,*)% 画散点图Q Figure 1口 1 回 咨File Edit View Insert Tools Desktop Window HelpJD渗日鲁Q. f? W, 匡1 一 回口3.532.521.51050012345678程序2方程式的求解及图形(由式子3可知该矩阵为非奇异矩阵) x=5.764;6.286;6.759;7.168;7.408;尸0.648;1

8、.202;1.823;2.526;3.360;A=x./X2,2*x.*y,y./X2,2*x,2*y; Y=inv(A)*b%Y 是系数a1?a3,a3,a4?a5Y =0.0508-0.03510.0381-0.22650.1321将求得上述值代入方程式，求得椭圆方程为： 0.0507X2 -0.0702xy + 0.0381y2 0.4530 x + 0.2642y + l= 0 再次在matlab中输入以下程序，画出椭圆图形ezplotC0.0507*xA2-0.0702*x*y+0.0381*y/x2-0.4530*x+0.2642*y+r,3,8,1,4)程序3C=0.0508 -

9、0.0351;0.0351 0.0381;detC=det(C)detC =7.0347e-004 %求C的行列式值Cl,C2=eig(C)%求解4、兀的值Cl =-0.6411-0.7675-0.76750.6411C2 =0.0088000.0801D=0.0508 -0.0351 0.0381-0.0351 0.0381 0.1321;0.2265 0.13211； detD=det(D)detD =0.0010求得C的行列式值为7.0347e-004求得C的特征值分别为4=0.0088 =0.0801求得D的行列式为0.0010程序4a2=det(D)./(0.0088.* det(C

10、)a2 =164.6602a=sqrt(a2)a =12.8320b2=det(D)./(0.0801 .*det(C)b2 =18.0900 b=sqrt(b2)b =4.2532椭圆半焦距：c = Va2 -b2c=s qrt(a2-b 2)%求解椭圆半焦距c =12.1066h=a.c%求解小行星近日点距离h =0.8551H=a+c%求解小行星远日点距离H =24.8089最终结果汇总：长半轴a =12.8320短半轴b =4.2532椭圆半焦距：C = Va2-b3 =12.1066近日点距离h=a=0.8551远日点距离H=a+c =24.8089程序5绘画标准椭圆二维图t=0:0.1 :(2*pi+0.1);x=12.8320*cos(t); 尸4.2532