(完整版)圆的证明与计算(精编版)

1、圆的证明与计算专题讲解圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。的有关证明中的重要定理:圆的定义:主要是用来证明四点共圆.垂径定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等.三者之间的关系定理:主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等.圆周角性质定理及其推轮:主要是用来证明直角、角相等、弧相等.切线的性质定理:主要是用来证明垂直关系.切线的判定定理:主要是用来证明直线是圆的切线切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等2.中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计

2、算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。知识点一：判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及

3、彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：方法一：若直线l过。0上某一点A,证明I是00的切线，只需连OA,证明OA丄I就行了，简称“连半径，证垂直”难点在于如何证明两线垂直.C例1如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的00交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交0D延长线于F.求证：EF与00相切.例2如图，AD是ZBAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA与00相切.证明一：作直径AE,连结EC.TAD是ZBAC的平分线,/ZDAB=ZDAC./PA=PD,/.Z2=Z1+ZDAC./Z2=ZB+ZDAB,/Z1=ZB.又VZB=ZE,/.Z1=ZETAE是00的直径，

4、AC丄EC,ZE+ZEAC=9Oo.Z1+ZEAC=9Oo.即0A丄PA.PA与00相切.证明二:延长AD交00于E,连结0A,ETAD是ZBAC的平分线，0E丄BC.ZE+ZBDE=9Oo./0A=0E,ZE=Z1./PA=PD,ZPAD二ZPDA.又TZPDA二ZBDE,/.Z1+ZPAD=90o即OA丄PA./.PA与0O相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.例3如图，AB=AC，AB是00的直径，00交BC于D,DM丄AC于M求证：DM与00相切.例4如图，已知：AB是00的直径，点C在00上，且ZCAB=30o,BD=OB,D在AB的延长线上.求证

5、：DC是。0的切线CA例5如图，AB是00的直径，CD丄AB,且0A2=0D0P.求证：PC是0O的切线.例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：0己与4CFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出CFG的外接圆，但CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O,连结OC，证明CE丄0C即可得解.证明：取FG中点0,连结0C.TABCD是正方形，BC丄CD，ACFG是RtAV0是FG的中点，0是RtACFG的夕卜心./OC=OG,/.Z3=ZG,TADBC,/ZG=Z4.TAD二CD,DE二DE,ZADE=ZCDE=45o,ADE今A

6、CDE(SAS)/.Z4=Z1,Z1=Z3./Z1+Z2=90o.即CE丄OC.TZ2+Z3=9Oo,AC丄OA,BD丄OB.CE与厶CFG的外接圆相切又TOA丄AC,OE丄CD,/AC,BD与30相切,方法二：若直线I与。0没有已知的公共点，又要证明I是。0的切线，只需作0A丄I,A为垂足，证明0A是。0的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”（一般用于函数与几何综合题）例仁如图，AB=AC,D为BC中点，0D与AB切于E点.求证：AC与（3D相切.分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.例2：已知：如图，

7、AC,BD与30切于A、B,且ACBD，若ZCOD=9Oo.求证：CD是30的切线.证明一：连结0A,0B,作0E丄CD,E为垂足.TACBD,/.Z1+Z2+Z3+Z4=18Oo./ZCOD=9Oo,/Z2+Z3=9Oo,Z1+Z4=9Oo./Z4+Z5=9Oo.Z1=Z5./RtAAOCRtABDO.ACOCOBOD/OA=OB,ACOCOAOD又-/ZCAO=ZCOD=9Oo,/.AAOCAODC,Z1=Z2.又/OA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E点在O上.CD是0的切线.证明二：连结OA,0B，作0E丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.BD/AC,BD与0相切,AC丄OA,BD丄

8、0B./ACBD,ZF=ZBDO.又/OA=OB,AOF今ABOD(AAS)OF=OD./ZCOD=9Oo,CF=CD,Z1=Z2.OE=OA.E点在O上.CD是0的切线.证明三：连结A0并延长，作0E丄CD于E,取CD中点F,连结OF.AC与0相切，AC丄A0.ACBD,AO丄BD.BD与0相切于B,A0的延长线必经过点B.AB是0的直径.TACBD,0A=0B,CF=DF,0FAC,Z1=ZC0F./ZC0D=90o,CF=DF,1OF二一CD二CF-2/Z2=ZCOF./Z1=Z2.TOA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E点在O上.CD是O的切线说明：证明一是利用相似三角形证明Z1=Z2

9、,证明二是利用等腰三角形三线合一证明Z1二Z2证明三是利用梯形的性质证明Z1二Z2,这种方法必需先证明A、O、B三点共线.课后练习：(1)如图，AB是0的直径，BC丄AB,证：CD为0的切线;B如图，以RtAABC的直角边AB为直径作O,交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE,求证：DE是的切线.AEB如图，以等腰AABC的一腰为直径作O,交底边BC于D,交另一腰于F,若DE丄AC于E(或E为CF中点)，求证:DeO是闵勺切线EBDC如图，AB是的直径，AE平分ZBAF,交于点旦过点E作直线ED丄AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点羽肃证:CD是的切线./丿f知识点二：与有关的计

10、算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长)；射影定理：所谓射影，就是正投影。其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投

11、影。由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式RtAABC中，ZBAC=90,AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)(AD)2；=BDDC,(2)(AB)2；=BDBC,(3)(AC)2；=CDBC。等积式（4）ABXAC二BCXAD（可用面积来证明）构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型（已知线段长度）；构造三角函数（已知有角度的情况）；找不到，找相似（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：

12、昔助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。典型基本图型：图形1：如图1：AB是（30的直径，点E、C是（30上的两点，基本结论有：（1）在“AC平分ZBAE”；“AD丄CD”；“DC是30的切线”三个论断中，知二推一。ABCE的半弦正图1BA；图4图2图3（2）如图2、3,DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形在中的条件、中任选两个条件，当BG丄CD于E时（如图5）,则:DE=GB；DC二CG；AD+BG二ABADBG=1DG2二DC24图形2：如图：RtZABC中，

13、ZACB=9O。点O是AC上点，以OC在“BO平分ZCBA”；“BODE”；“AB是00的切线”；“BD二BC”四个论断中，知一推三。(2)G是/BCD的内=心D；/BCOs/CDE=B0DE二COCE=1CE2；2在图(1)中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。如图(3),若BC=CE,则：兰=1二tanZADE；BC：AC：AD2AB=3：4：5；(在、中知一推二)设BE、CD交于点H,则BH=2EH图形3如图：RtZABC中，ZABC=9O，以AB为直径作00交AC于D,基本结论有：如右图：(1)DE切00。E是BC的中点;若DE切00,则：DE=BE=CE；D、0、B、E四点共圆

14、=ZCED=2ZACDCA=4BE，decdbcRBDBA图1图2图3图形特殊化：在（1）的条件下如图1：DEABoZABC、ZCDE是等腰直角三角形;如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB二BF，则:DE=1；BE二丄EF3RJ2AoBBo图形4：如图，么ABC中，AB二AC,以AB为直径作O,交BC于点D,交AC于点F,基本结论有：图1(1)DE丄ACoDE切O；在DE丄AC或DE切0下，有：ZDFC是等腰三角形；BFEF=EC；D是的中点。与基本图形1的结论重合。连AD，产生母子三角形。图形5：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于E,基本结论有：如图1：AD+BC=CD

15、；ZCOD=ZAEB=9O；0D平分ZADC(或0C平分ZBCD)；(注：在、及“CD是00的切线”四个论断中，知一推三)ADBC=1ab2=R2；4如图2,连AE、CO,则有:COAE,COAE=2R2(与基本图形2重合)如图3,若EF丄AB于F,交AC于G,则：EG=FG.图形6：如图：直线PR丄00的半径0B于E,PQ切00于Q,BQ交直线PQ于R。基本结论有：(1)PQ=PRQPQR是等腰三角形);图2BZAIB=90+1ZACB；2图形8：已知，AB是0的直径，C是CD、AC中点，CD丄AB于D。BG交在“PR丄OB”、“PQ切00”、“PQ二PR”中，知二推一2PRRE二BRRQ二

16、BE2R二AB2图形7：如图，么ABC内接于0,IABC的内心。基本结论有:(1)如图1,BD二CD=ID；Dl2=DEDA；D如图2,若ZBAC=60，则:BD+CE=BC.图iBBC=CG=AG于E、F。基本结论有：CD=1BG；BE=EF=CE；GF=2DE2BG(反之，由CD二1BG或BE=EF可得：C是中点)20E=1AF,0EAC；/0DEs/AGF2BEBG二BDBA若D是0B的中点，则：2CEF是等边三角形；范例讲解:例题1：ABP中，ZABP=9O，以AB为直径作交AP于C点,弧CF=CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.求EFAFb求证：CD为00的切线

17、；连BF交AP于E,若BE=6,EF=2,例题2直角梯形ABCD中，ZBCD=9O,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连0C、BD交于F.求证：CD为00的切线若些=3，求竺的值AB5DF例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在00上，AC0P。求证:PC为00的切线。过D点作DE丄AB,E为垂足，连AD交BC于G,CG=3,DE=4,求DG的值。DB0E例题4(2009调考)：如图，已知AABC中，以边BC为直径的00与边AB交于点D,点E为的中点，AF为AABC的角平分线，且AF丄EC。(1)求证：AC与00相切；若AC=6,BC=8，求EC的长家庭练习:CBD=DE1如图，

18、RtABC,以AB为直径作00交AC于点D,过D作AE的垂线，F为垂足.求证:DF为00的切线;若DF=3,00的半径为5,求tanBAC的值.AD=DC，尹B(1)求证:EF为的切线;若AC=6,BD=5,求sinE的值2如图，AB为的直径，C、D为上的两点,D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.3.如图，AB为的直径，半径0C丄AB,D为AB延长线上一点,过D作00的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.(1)求证:DE=DF；连结AE,若0F=1,BF=3，求tan4如图，RtAABC中，ZC=9O,BD平分ZABC,以AB上一点0为圆心过B、D两点作O,0交AB于点一点E,EF丄AC于点F.求证：。0与AC相切；若EF=3,BC=4,求tanza的值.5如图，等腰AABC中，AB=AC,以AB为直径作0交BC于点D,DE丄AC于E.(1