小样本DW统计量的分布特征

1、小样本DW统计量的分布特征张晓峒1 赵初晓2(1.南开大学国际经济研究所，天津 300071)(2.天津大学管理学院，天津300072)摘要：本文用模特卡罗模拟方法研究了样本容量在54以下的DW统计量的分布特征， 并给出小样本DW检验临界值表。同时用DW检验提出了一个判别最小二乘估计中是 否存在虚假回归的有效方法。关键词：模特卡罗模拟，DW分布，非平稳性，协整Distribution of Small Sample DW StatisticZhang Xiaotong1 Zhao ChuxiaoDW统计量的极限分布给定如下随机数据生成系统，兀=兀-1 +气，七=0,(1. Institute

2、of International Economics, Nankai University, Tianjin 300071)(2. Management School, Tianjin University, Tianjin 300072)Abstract In this paper we investigated the DW distribution with sample size under 54 by Monte Carlo simulation method and gave a critical table for small sample DW test. Based on t

3、hat we proposed a method for recognizing spurious regression in ordinary least squares estimation.Keywords: Monte Carlo simulation, DW distribution, nonstationary, cointegration概述八十年代以来，Engle-Granger (1987), Engle-Yoo (1987)和 Sargan-Bhargava (1983)都曾 提及用DW统计量检验非平稳变量间的协整性问题。在Sargan-Bhargava (1983)中还专

4、门给 出一个DW协整检验用表。但在这些论文中均未对小样本DW统计量的分布特征给与研究。本文采用蒙特卡罗模拟方法对小样本DW统计量的分布特征进行了充分、详细的研究。 样本容量分别取为10，20，30，40和50。变量的设定分为三种情形：一.所涉及的两个变 量都取自I(1)过程；二.所涉及的两个变量中一个取自I(1)过程，一个取自I(0)过程；三.所 涉及的两个变量都取自I(0)过程。在有些国家以年为单位的时间序列的最大可观测值个数并不是很大，所以对小样本DW 统计量分布特征的研究有着非常重要的理论与现实意义。本文结构如下。第二节推导两个I(1)变量进行最小二乘回归后，由残差计算的DW统计 量的极

5、限分布表达式，第三节介绍蒙特卡罗模拟结果及其分析，第四节给出实例，第五节给 出结论。x =气-1 + v，X1 = 0，(2)其中u, vtI(0), E(u) = E(v尸0; E(u. uj) = 0, i丰j,V i, j。则J?和气为相互独立的两个I(1)过程。 建立如下回归模型：(3)当对上式进行最小二乘估计时，会产生虚假回归问题。用随机误差吧的最小二乘估计值叫构 造DW统计量， (W W )2DW = t=2 v W 2tT -1 t=2.(y - y )邛(x -x)2tt-11 tt-1T -1 s 2t=1T-1 t (u -p v )2t 1 t(4)T -1 s 2w因为

6、当T 时，&必然接近于零，上式中分子为Op(1)，而分母T也是0(1),所以 DW统计量是Op(T-1)的。当T 次 时，有DW n 0.即当用两个1(1 )变量进行如模型(3)形式的回归时，DW统计量的极限分布为零。小样本DW分布的蒙特卡罗模拟及其结果分析当样本为有限样本，特别是小样本时，DW统计量的分布与其极限分布有着很大不同。 由于上述条件下的DW统计量的分布无法用解析的方法求解，本文用蒙特卡罗模拟方法对 DW统计量的小样本分布特征进行了研究。以模型(3)为基础，除了以yt，气1(1)为条件对DW分布(记为DW(1,1)进行模拟外， 还分别以y1(1)，气1(0)和yt，气1(0)为条件

7、进行了模拟(分别记为DW(1,0)和DW(0,0)。由于Dw(0,0)就是通常意义的DW统计量，所以只模拟样本容量T = 10, 40两种情形。 对于DW(1,1)和DW(1,0)，分别取T = 10, 20, 30, 40和50进行了模拟。在每个样本容量条件 下各模拟1000次。所得结果见表一。首先见表一的第三部分，先分析DW(0,0)的分布特征。由于DW(0,0)就是通常意义的 DW统计量，所以模拟结果表明，一.DW(0,0)分布的均值为2，不受样本容量大小的影响； 二.分布是对称的，相应JB值(表中最后一列)说明小样本DW(0,0)统计量的分布与正态分 布相当近似。三.随着样本容量的增大

8、，分布的标准差逐步减小。见表一的第一、二部分。小样本DW(1,1)和DW(1,0)统计量有着相似的分布特征。一.分 布均为右偏态，分布左侧有端点，端点为零；二.随着样本容量的增大，DW(1,1)和DW(1,0) 分布的右偏倚程度越来越大，分布均值逐步相左移动，90、95、99百分位数也逐步向左移 动，同时分布的标准差逐步减小，分布的峰值越来越大，DW取值向零集中；三.在样本容量相同的条件下，DW(1,0)分布总是位于DW(1,1)分布的左侧，即DW(1,0)分布的均值、百 分位数以及方差都比DW(1,1)分布的相应量小。T = 50模拟1000次的DW(1,1)和 DW(1,0) 分布的结果分

9、别见图一和图二。表一 DW分布的蒙特卡罗模拟结果类型样本容量百分位数_均值标准差偏度JB统计量1909599100.222.182.452.811.280.620.5048.74DW(1,1)200.111.281.491.800.750.390.6877.61300.090.901.041.390.510.291.07293.73400.060.770.881.160.410.251.06250.10500.050.590.710.980.330.201.16341.31100.181.732.022.380.980.530.7389.59200.091.021.211.590.560.34

10、1.22369.61DW(1,0)300.060.700.831.180.380.241.27430.43400.040.540.660.910.300.191.25383.68500.040.450.540.710.240.151.12261.84DW(0,0)101.312.752.973.242.020.570.007.17400.722.412.532.702.000.310.034.06注：1. DW(1,1)表示由两个1(1)变量进行回归，计算得到的DW值。DW(1,0)表示由一个1(1)变量和一个1(0)变量进行回归，计算得到的DW值。DW(0,0)表示由两个I(0)变量进行回归

11、，计算得到的DW值。在每个样本容量条件下各模拟1000次。图一 T = 50模拟1000次的DW(1,1)分布直方图图二T = 50模拟1000次的DW(1,0)分布直方图在相同样本容量条件下，DW(1,0)分布之所以位于DW(1,1)分布左侧，可作如下解释。 随着TT氐，DW(1,0)和 DW(1,1)的分布都趋近于零。由于DW(1,0)来自于一个1(1)变量和 一个1(0)变量之间的回归，所以残差序列叫1(1)。由于DW(1,1)来自于两个1(1)变量之间的 回归，一般来说残差序列w广1(1)，但也有可能在兀和气之间存在协整关系，从而使叫1(0)。 所以DW(1,0)分布必位于DW(1,1

12、)分布的左侧。用DW(1,1)统计量可以检验相应两个1(1)变量和xt是否存在协整关系。同时DW(1,1)统计量也可用来判断普通最小二乘回归中是否存在虚假回归。这与协整检验是一致的。若两 个1(1)变量存在协整关系，则回归是有意义的，否则为虚假回归。用表一中关于DW(1,1)的模拟结果，即用表一中第一部分DW(1,1)分布的第90、95、99 百分位数，均值和标准差分别对样本容量的到数(1/T)进行回归。结果见表二。表二 DW(1,1)分布第90、95、99百分位数，均值和标准差分别对1/T的回归函数(用表一中第一栏相应数据估计)i回归函数R2s.e.FDW1P90 = 0.2561 + 19

13、.4438 (1/T)(6.4)(26.3)0.99570.05691.22.352P95 = 0.3338 + 21.4633 (1/T)(6.7)(23.2)0.99450.06538.82.373P99 = 0.6059 + 22.3828 (1/T)(10.8)(21.5)0.99360.07462.71.454Mean = 0.1182 + 11.7759 (1/T)(4.7)(25.6)0.99540.03656.12.185SD = 0.1167 + 5.1082 (1/T)(8.7)(20.6)0.99300.02462.31.90注：1. P90，P95和P99分别表示DW(

14、1,1)分布的第90、95和99百分位数。Mean和SD分别表示DW(1,1)分布的均值和标准差；1/T表示样本容量的倒数。R2表示拟合优度，s.e.表示回归函数的标准差。通过拟合优度R2的值可以看到DW(1,1)分布的第90、95、99百分位数，均值和标准差 与1/T高度相关。所以完全有理由以表二中的前三个回归函数作为响应面函数，编制小样本 DW检验临界值表(见表三)。表三可用来检验两个原变量是否存在协整关系，同时也就是 检验原最小二乘回归式中是否存在严重的虚假回归。如果两个原变量是平稳的或者两个变量 都是非平稳的但存在协整关系，则最小二乘回归后用残差计算的DW统计量一定服从均值 为2的近似

15、正态的分布，其第90、95和99百分位数一定会大于表三中所给出的相应临界值。 而只有当咯非平稳时，DW统计量的值才会以相应概率小于表三给出的相应临界值。表二 中的第4和5回归式表明小样本DW(1,1)分布的均值和标准差都随着样本容量的增大而极有 规律地减小。表三 小样本DW检验临界值表样本容量 T DW分布第90百分位数 第95百分位数 第99百分位数102.202.482.84141.641.872.20181.341.531.85221.141.311.62261.001.161.47300.901.051.35340.830.971.26380.770.901.19420.720.841

16、.14460.680.801.09500.640.761.05540.620.731.024 .实例分析为研究我国国际贸易与国民经济的关系，以我国进出口贸易总额气，亿元人民币)和 社会总产值(*,亿元人民币)为变量(数据见中国统计年鉴，1983，第26页和591页， 1950-1983)得如下估计模型：人,、Yt = - 64.4061 + 0.0734Xt(5)(-3.2)(17.5)R2 = 0.91, s.e. = 66.9, DW = 0.27用DW = 0.27与表三中检验水平为0.05的相应临界值(0.97)相比较，因为0.27 0.97，结 论是上述回归为虚假回归，模型误差项存在

17、严重的自相关。这种情况下应该对模型进行修正 或用其他方法建立与估计该两个变量之间的关系。下面用单整和协整检验的方法验证虚假回归的存在。经ADF检验，结论是Yt1(2)， XtI(2)。用叱表示与上式相应的残差序列。对叱进行ADF检验，得ADF = -1.9；对叱的 一阶差分序列dR进行ADF检验，得ADF = -3.4：所以wtI(1)。这说明Y(和Xt都是二阶 非平稳的，且不存在协整关系。则回归式(5)必然为虚假回归。5.结论本文对小样本DW统计量的分布特征进行了充分研究。小样本DW统计量的基本分布 特征是左侧以零为端点，右侧拖尾。样本越小，DW分布的离散程度越大，右尾部越“胖” 偏度越小。

18、它与DW统计量的极限分布有着很大不同。当回归函数所涉及的变量为平稳变 量或为非平稳变量但存在协整关系时，用最小二乘法得到的估计式才是有意义的。当回归函 数所涉及的变量为非平稳变量，且不存在协整关系时，用最小二乘法得到的估计式为虚假回 归式。本文用DW统计量提出了一个判别有意义回归和虚假回归的有效方法。参考文献Engle, R. F. and Granger, C. W. J. (1987), Cointegration and error correction representation, estimation and testing,Econometrica, 55: 251-76.Eng

19、le, R. F. and Yoo, B. S. (1987), Forcasting and testing in cointegrated system journal ofEconometrics, 35: 143-59.Fuller, W. A. (1976), Introduction to statistical time series, John Wiley, New York.MacKinnon, J. G. (1991), Critical values for co-integration test, in R. F. Engle and C. W. Granger(eds

20、), Long-run Economic Relationships, Oxford University Press, 267-76.Sagran, J. T. and Bhargava, A. (1983), Testing residuals from least squares regression for being generated by the Gaussian random walk,Econometrica, 51: 153-74.Phillips, P. C. B. (1986), Understanding spurious regression in economet

21、ricsJournal of Econometrics, 33: 311-40.张晓峒，大川勉，张世英.小样本DF统计量的分布特征.系统工程理论与实践.1999 (3)：31 37固定持有成本的资产定价影响：一个上界Alam D.viard计算表明我们必须假定用巨大的持有成本来解释与无摩擦的CAPM模型的重大偏离。 Department of Economics, Ohio State University ,Columbus . OH 43210-1172 ,作者在此非常感谢 N. Gregory Mankiw, Benjamin M.Friedman ,JFQA Reference Geo

22、rge Constantinides ,j 以及哈佛大学研究生班参加的有帮摘要资本资产定价模型预言投资者会持有多样化的投资组合，但是许多家庭实际上持有很少 种类的资产。本文要对这种现象的一个可能的解释（固定持有成本）对资产定价含义作一考 察。虽然早期的作者们在单期模型里发现了这种成本对精确的资产定价的影响，但我导出了 一个这种影响的一个上界，它在连续时间状态下同样有效。例证性的计算揭示了我们必须假 定巨大的持有成本会对资产定价产生明显的影响。一、引言资本资产定价模型和其它投资组合选择与资产定价的经济学模型都预言投资者会持有 高度多样化的投资组合，一般而言在所有可获得的资产中不会有持有量为零的资

23、产。然而， 经验证据表明许多家庭持有一个非常有限的资产组合。这一证据表明持有资产有大量成本存 在。经济学家们已经认识到这些成本能够影响用CAPM模型进行资产定价的预测结果。在 这篇文章中，我将考察固定持有成本的影响（不依赖于所持有资产数量变化的成本）。虽然 早期的作者们在高度严格的假设条件下求解了这种成本精确的影响，但我在十分一般的假设 条件下导出了这些影响可能值的一个上界。特别地，我没有限定各种不同资产的收益率之间 的相关性，并且我也没限定资产收益、价格和数量那几个是内生变量那几个是外生变量。能在这样一般的条件下导出这个上界是因为这是最优化行为直接暗含的。在存在持有成 本的条件下，只要相关资

24、产的持有成本超过改进后的均值一一方差组合能够提供的预期效用 增加，投资者是不会持有这项资产的。我证明了改进后的均值一一方差组合的预期效用的增 加是CAPM偏差的一个函数，CAPM偏差在该资产不持有时会上升。实际上预期效用的增 加不会超过持有成本，因此表明CAPM偏差在数值上存在一个上界。这一界的计算揭示了对于一项特定的资产最大可能的CAPM偏差与它的持有成本的平 方根成比例，并且与它们个别风险正相关。潜在的离差也依赖与投资者的财富和风险厌恶程 度。早期的作者们在严格的假设条件下导出的结果是这一上界的一些特殊情况。通过作一些特定的辅助假设，我也证明了这一上界能够扩展到不含无风险资产的情况与 连续

25、时间框架的情况。后一扩展特别重要，因为现存的单期CAPM模型学术上讨论成果很 难应用于实际的经济中。我用连续时间的上界改进了持有成本可能影响的例证性计算。这些 助的讨论和sloan基金的财务支持。二、含有无风险资产的单期CAPM模型中的持有成本（一）、问题的动机CAPM模型表明了任何资产的收益与其收益率和总体财富（市场）收益率之间的线性 关系。这种关系是在一个无摩擦的模型中导出的，即没有摩擦来阻止投资者在自己的预算约 束下选择各种投资组合。这种缺乏摩擦的言外之意是投资者们将会完全多样化投资。典型的 是每一种可获得的资产持有量不为零。不幸的是，经验证据强烈地与这种多样化预言相矛盾。一些数据资料表

26、明相对来说极少 有个人持有所有公司的股票。Mankiw和Zeldes（1991）从1984年的收入动态研究小组引 用的数据表明仅有28%的家庭报告回答拥有各种股票。类似的，在1991年归档的1150万个 人所得税统计表中，只有230万人报告有股利收入（Gross（1993）,pp.8,16）。即使在拥有 股票的个人投资者中，多样化的范围也是很小的。Blame和Friend（1975）考察了 1991年 税收统计的一个样本，这些税收统计表报告了股利收入超过$100那些人的税收状况，他们 发现持有股票的中间数为2均值要小于4。当把其它资产也考虑进来时，这种有限的多样化形式仍然存在。King和Lea

27、pe（1984） 详述了 1987年6010户美国家庭的资产持有状况的调查，他们为此区分了 36种截然不同的 资产和负债。在这一样本中，没有一个家庭持有的资产超过23种，持有资产数目的中间值 和众数都是8。这种家庭持有多样化的不足强烈地表明在资本市场中存在着摩擦。许多作者已经考察了 一些特定的市场摩擦，这些市场摩擦也许能解释这种多样化的缺乏情况，并且研究了它们对 CAPM资产定价结果的影响。在这篇文章中我分析了一种特殊类型的摩擦：有且只有当某 一项资产持有时所发生的固定成本1，它与持有资产的数量相独立。其它在学术上研究的市 场摩擦包括与资产持有量成正比的成本、短期出售约束和非市场化资产（在多阶

28、段或连续时 间模型里，成本依赖于交易的频率是另一种可能性）。无可否认这些其它的市场摩擦的潜在 影响，但阐述固定持有成本受三个主要的原因的影响。第一，如Leape（1987）争论的，许多与资产购买和持有相关的成本满足固定成本的描 述。例如，佣金通常是一个固定的组成部分，信息和购买资产时的决策成本很可能是很大的 一个固定组成部分。第二，这些成本比那些与资产持有量成正比的成本遇到更大的分解挑战。后者不需要另 外的分析就可以很容易地包含在标准的CAPM框架之中，因为这些成本仅减少了净收益率。第三，固定成本对观察到的现象提供了一个简单合理的解释，许多投资者对大多数可获 得的资产持有量完全为零，虽然那些与

29、资产持有量成正比的成本会改变投资者对某种特定资 产的持有数量，它们一般来说不会使持有量为零2。1虽然早期的作者把这些成本称为“交易成本”，我用“固定持有成本”来表示。后更具有描述性并且 可以避免与其它类型的称为交易成本的成本相混淆。2如果购买和短期出售都是属于成比例成本，那么收益率在0持有量附近是不连续的，可能在那一点 出现角解。然而，固定成本仍是0持有量的最简单的解释因此我检验了固定持有成本对资产定价的影响。Brennan（1975），Goldsmith（1976）， Levy（1978）,Mayshar（1979）,（1981），和 Leape（1987）都曾处理过这个问题，但是在高度严格

30、的假 设条件下。特别地，这些作者通常假设所有的不同资产收益的协方差都是由于一个共同的原 因引起的，并且他们作了有关资产价格、数量和收益是外生变量的假定。他们做出这些假定，使他们得出了持有成本所引起的CAPM偏差的精确结果。在这篇 文章中，我证明了，当放宽这些假定时，可导出由交易成本引起的CAPM偏差的一个上界。虽然不可能在这个一般的框架中确定这些偏差的实际值，但能够把它们限定在一个界中而不 需要很强的假设条件。以前的作者们所得出的定性结果，在这更加一般的环境中，作一些调 整后仍然成立。、模型的框架在单期的CAPM模型中，投资者在期初投资在期末收回投资并消费收益。用W(i)表示 投资者i的财富数

31、量，P(i)表示投资者i选择持有的风险资产组合。在存在持有成本的条 件下，P(i)可能是经济中所交易的风险资产的真子集，并且在各个投资者之间各不相同。我坚持一些标准的假设：投资者对于资产收益的概率分布有相同的预期。每一个风险资 产有一个随机的收益率(包括本金)用R.给出。用弓表示资产J的平均收益率(包括本金)， 。；表示资产j的收益率的方差，。诉表示资产j的收益率与资产k的收益率的协方差。用w.(i) 表示投资者i投资于风险资产j的财富份额。我最初假定存在一种无风险资产，收益率(包括本金)为R，还假定这种资产没有持有 成本或者持有成本充分低以至于所有投资者都选择持有它。(下面我放宽了这一假定。

32、)用 w(i)表示投资者i投资于风险资产s的财富份额。用w(i)表示投资者i的财富的平均收益率，咯(i)表示投资者i的财富收益率的方差。aw(i) 表示投资者，财富的收益率与资产(投资者可能持有也可能不持有)收益率的协方差。”用 H(P(i)表示投资者i (在期末时)持有的资产组合P(i)的持有成本。这些成本在投资者之间 可以各不相同且资产是可以任意组合的，各项资产间也不必是可分离的。每一个投资者使他在期末的消费的均值与方差的线性组合达到最大。在存在持有成本 时，投资者的目标函数为：(1)max U (i) = W (i). (i)-鲍 b 2 (ij H (P(i).I w 2 w J这个表

33、达式是一个凹效用函数的预期值的一个二阶泰勒展式，其中A(i)是投资者i的(局部) 相对风险厌恶系数。由于和持有资产相联系的固定成本的存在，可能促使投资者不持有某些资产。然而，如 Levy(1978)所注意到的，如果一个投资者选择承担固定成本并持有一项特定的资产，他仍会 服从关于那项资产的著名的CAPM第一条件，(2) b(i) = , V j e P(i).jwA(i)考虑任意风险资产X，如果这一资产被经济中的所有投资者所持有，犹如没有持有成本那样，那么(2)对每一位投资者都是满足的， 乘上W(i)再把所有的投资者加总可得：日一 RxqXb (i )W (i)= W (i)i其中bXQw (i

34、)= W (i)/ A(i)i方程(3)是熟悉的CAPM资产定价关系的一种形式。左边是资产X收益率与总体财富 收益率的协方差。方程(3)说明资产的收益和该资产与总体财富收益率的协方差是互相成 比例的，比例系数为投资者的相对风险厌恶系数以财富为权重的调和平均值。方程(3)能 够用其它的形式表达，包括资产收益与它的市场“Beta”值相联系的形式，“Beta”值只是 它与总体所持有的风险资产收益率之间协方差的度量。认识到（3）式是第一条件应用于经济中的投资者所得出的一般均衡关系，是非常重要 的。我对于如何达到均衡没有作任何假定。如果资产都是一些具有固定价格和盈利分派的常数收益的生产机会（如Cox,I

35、ngersoll, 和Ross（1985）的模型中的所有非金融资产），那么收益率是外生，而财富的数量是内生的并 按（3）调整。或者，如果资产的自然数量和收益是固定的（如在一 个Lucas（1978）捐赠经济 中），那么资产价格是内生的并且价格的调整要改变各个资产收益率和投资价值而使的（3） 式成立。类似的，（3）式能在资产的数量、价格和收益都是内生的更为现实的模型中成立。（3）式之所以如此一般，是因为它是作为价格接受者的投资者的最优化行为所暗含着 的。我现在要考虑持有成本的存在怎样改变（3）式，并且形成可能的偏差范围上的一个上 界，这也是作为价格接受者的投资者的最优化行为所暗含着的。在存在持有

36、成本时，有些投资者可能选择不持有资产X。对于那些投资者来说，持有资 产X的数量严格为零，（2）式也只有在巧合时才能满足。如果（2）式对经济中一个或更多 的投资者的X资产不成立，那么（3）式也会对X不成立。CAPM资产定价关系必须按照持 有成本作出调整。我现在要证明最优化行为在（2）、（3）不满足的区域中存在一个上界的假 设。在所有以下的分析中，我考虑一个投资者，不持有资产X，也就是说，在满足均衡时， X不是P（i）的一个元素。如果这个投资者行为是理性的，那么当X不进入P（i）时，他的目标 函数（1）会减小。这是明显的，持有资产X会给投资者更多（至少一样）可选择的均值一 一方差组合，投资者从中可

37、以选出一个更好（至少一样好）的均值一一方差组合。如果投资 者选择不持有资产X，一定是因为它的收益没有超过持有X的相关成本。下面我考虑一个假想选择的世界，里面的投资者确实持有资产X，并且计算出效用变化 的结果。然后我用投资者拒绝这种选择的事实去推断效用变化是非正的并且在这个投资者对 这项资产不满足（2）式的区域中确定出一个上界。（三）、固定持有成本对投资者行为的影响为了确定出可以获得持有资产X时均值一一方差组合的改善程度，有必要确定出他会 选择的持有量以及无风险资产和P（i）中资产的相关变化。这些变化和它们的福利影响通过重 新构造这个问题会更容易理解。对该资产的随机收益率用P（i）中含有的风险资

38、产的随机收益 率再加上一个常数项后进行回归（用全体而不用样本）得出以下关系，（4） R = Z .R +a （i） + v （i）jcP （i）其中系数乃jX，截距aX和扰动项vX都是i的函数，因为回归方程所含的独立变量（现有的 投资组合所持有的风险资产）可能因投资者而变化。我们注意到这个回归方程对于资产X 的收益率与其它所持有资产收益率的相关程度是一个完全一般化的结论。资产X的收益率 可能与其它资产收益率的组合完全相关（以至扰动项一致为零），也可能与它们完全不相关 （以至所有的系数全为零），或者可能有任意中等程度的相关性。回归方程（4）有效地把资产X的收益率分成两个组成部分。一部分是已持有的

39、风险资 产收益率的特定组合（以乃jX（i）为权重），可以把它称为复制部分，因为它有效地复制了已 持有的风险资产。第二部分有截距和扰动项组成，可以把它称为互不相关部分，因为它与已 持有的风险资产（在结构上）不相关。这一分解将会在下面用到，既然持有资产后投资组合 的改善必须来自于互不相关部分，就不是来自于复制已持有资产的一个组合的那一部分。为了将来的参考，注意到下面两个方程也是有用的，这两个方程是由多变量线性回归理 论得出的。（5）。询（i）=旗。为.（i）b刑（i）,寸 P （i）c 2 X = P Xj （g jX +b2 v （9, X ）,jeP(i)其中O 2v(i,X)是资产X扰动项V

40、(i)的方差。我们注意到这个方差是相对于投资者i已持有资 产组合，资产X的个别风险的一种度量。我现在来找出当资产X加入到他的投资组合里时，投资者i的最优反应。用下面这种方 法很容易解决这个问题：先解决X的互不相关部分的最优化问题(这部分与已持有资产缺 乏相关性所以简化了问题，再把问题解决的结果结果放回到X本身中。对于资产X的最优 化持有和其它资产的最优化改变，运用上面的步骤(详细资料可以向作者索取)得出以下结 果。(6)，讨(i)业X眼膈,XA(i)c 2 v (i, X), c 目 -R - A(i)G(i)Aw (i) = -P (i),V j e P(i),jjXA(i)5 2 v (i

41、, X)- R - A(i)o(i)X A(i)c2(i,XX),讨(i)=sjX，一 P j-1Il jeP (i)/这里w/表示在假设经济中一个投资组合的权重，在这个经济中投资者i持有资产X，用于和 实际经济中他不持有X相区分。运用上面描述分解的术语可以对(6)式中描述的投资组合的变化做一简单的解释。既 然(6)中的第二行给出了其它风险资产持有的变化抵消了新持有的X的复制部分，那么(6) 中的投资组合的变化可以描述为把特定量的X的互不相关部分增加到了投资组合里，这一 改变所用的资金来源无风险资产的变化。(6)中描述的投资组合的变化对于资产X也满足第一条件。很明显的有：b (i) =b (i

42、) + b Aw (i) + b 2 讨(i),XWXWXj jX X也等于 b XW (i) + (d：(- R - A(i )b (i)/(A(i )b 2 v (i, X )(b2 X- , ()P jX (i )b (i)代入(5)中的第二个方程，然后可证明得：b；w (i)=(旦x - R)/ A(i),这是关于资产X的简单的第一条件(2)。既然(6)中描述的投资组合的变化满足预算约束和 所有的第一条件，那么它们是最优值3。用这些投资组合的变化，现在能够计算出投资者目标函数(1)的变化量。直接求得(6) 中投资组合的变化是作为由于无风险证券引起的互不相关部分之间的一个漂移，通过观察这

43、 一变化很容易计算出)投资者收益率的均值和方差的变化如下：(旦-R - A(i)b(i)2AK = 7E：X, Ab 2 (i)=(四X R -A(i)b 2XW (i)2 WA(i)2b 2v (i, X)投资者目标函数的变化由以下方程该出:全最优的(参见Ingersoll(1987),pp.82- 85.)3可以验证第一条件是充分的，因为在均值一一方差组合问题中，满足第一条件组合分配是唯一的并且是完(8)(旦一R A(g (i )2睥=巧2A(gv (i,必-，这里Hx(i)是投资者i把资产X加入到他已有资产组合后额外持有成本。方程(8)右边的第一项表明了投资组合的改善值(优化的均值一一方

44、差组合)这一投 资组合改善是投资者i通过持有资产X所得到的。由投资组合改善所产生的福利净变化等于 投资组合的改善值减去持有成本。分析方程(8)第一项可揭示出决定投资组合改善值的因 素确实存在于经济上的直观行为之中。从该项可看出，如果Mx等于R+A(i)WX(i)，那么投资组合的改善值为零。这并不令人奇 怪，因为对于资产X当它不被持有时是满足第一条件(2)的。既然该资产的零持有量确实 是最优的，那么持有该资产不会使投资组合得到改善。我们把R+A(i)awx(i)称为投资者i对 资产X的影子预期收益率是恰当的，因为它是投资者不愿持有资产X时的预期收益率。更为一般地，方程(8)右边第一项表明了由持有

45、资产X所获得的投资组合的改善与其 实际收益率与影子收益率差的平方成正比。可用消费者剩余来解释说明投资组合的改善情 况。不能够持有某项资产在经济上等于该资产的影子收益率。因此，Harberger三角近似法 表明持有资产X所获得的福利可以由持有X的愿望(在(6)的第一行中给出)乘上影子预 期收益率与实际预期收益率的差再除以2得出。这一结果与(8)的第一项相符合；这种三 角近似法之所以是正确的是因为在均值一一方差问题中资产的需求曲线是线性的。影子预期 收益率和实际预期收益率的不一致是决定投资组合改善值大小的第二位原因，这个事实是包 络定理的一个隐含的结论。投资者i持有资产X后的投资组合的改善也与该资

46、产互不相关部分的方差a2(i,X)和投 资者的相对风险厌恶系数A(i)成反比，因为，如6)中第一行所示，投资者1要持有资产X 的数量都和这两者成反比。许多作者，包括Mankiw(1986),pp,80-81，和 Summers(1986) ,pp,598-599,都认为：如果一项资产的个别风险很高，那么投资者利用这项资产的 错误定价将获得较少的收益。方程(8)提供了这一见解的正式证明。对于任何给定的实际 预期收益率和影子预期收益率的偏差，利用这一偏差而持有该资产后投资组合的改善与该资 产的个别风险成反比。当a2v(i,X)为零的时候就会出现一个极端的情况。这种情况下，对于任何实际预期收益 率与

47、影子预期收益率的非零差，通过持有资产X可以获得一个无限价值的投资组合改善。 在此情况中，投资者面对一个纯粹的套利机会。个体风险的方差为零意味着资产X与已持 有资产的某一组合完全相关，因此可以用X与这些资产适当组合形成一项无风险资产，然 而影子预期收益率与实际预期收益率之间的差非零意味着这一项新的无风险资产的收益率 不等于R。当投资者可以获得两种收益率不同的无风险资产时，他可以做一项资产无限的多 头持有而另一项资产无限的空头来获取无限的收益。方程(8)也表明这一改善与投资者的风险厌恶程度成反向变动的关系，因为一个更加 厌恶风险的投资者会更不愿去承担任何给定数量的个别风险。最后，如我们预想的，投资

48、组 合的改善值与投资者的财富成正比。（四）、固定持有成本对资产定价影响的一个上界如上面所讨论的，持有资产X后的效用变化由投资组合改善值减去相关持有成本构成。 如果投资者i选择不持有资产X，那么必定有（8）小于等于零，因为持有成本必大于等于投资组合的改善值。强制要求（8）小于等于零，重新整理各项，再两边开方得:bXW(i)-A(i)b v (i, X)：W (i) A(i)我在更早的时候已注意到持有成本会使常规的CAPM定价结果（3）无效，因为那些不 持有一项资产的投资者通常不会满足（2）式。然而，在均衡时，没有一个投资者偏离（2） 式超过（9）式所允许的范围。如上面的推导所示，这一结果是投资者

49、的最优化行为所直接 暗含着的。若不持有资产X会产生与（2）式的一个很大的偏离，也就是说，如果不持有X 时（9）式将不成立，那么（8）中计算的福利变化对那个投资者来说是正的。这样这个投资 者将会选择持有资产X，并且会选择正好满足（2）4式的持有量。因此，不等式（9）是对 每一个投资者的潜在CAPM偏差的一个单独上界。这一结果与Lucas的一句名言相似：一个人不用期望着在路边的看到$500的纸币。他 曾明确地假定，如果得到的要超过为此所付出的相关成本，那么每一个人都会拾起这些纸币， 同时也假定拾起$500的成本要小于$500。推广一下，对于任何拾纸币的成本，可导出一个 上界为掉在地上的纸币的面值。

50、类似地，对于纠正资产错误定价的任何给定成本，可导出一 个上界为均衡时可承受的错误定价的数值。CAPM第一条件的可允许偏差值与持有成本（财富的一小部分）的平方根成正比。这 种关系阐明了 Akerlof和Yellen（1985）M包络定理导出的一般规则。这个定理说明由于偏离 最优行为导致的福利的损失，对偏离的数值影响是排第二位的。如Akerlof和Yellen所注意 到的，如果纠正这种偏离要支付一笔固定成本，那么最大的潜在偏离是与固定成本的平方根 成正比的。于是，一小笔成本会产生（相对）大的偏离。把同样的推理运用到这里，由于投 资组合改善值与CAPM偏差的平方成正比，那么最大潜在偏差与持有成本的平

51、方根成正比。 上界（9）也依赖于那些决定（8）式中持有X后投资组合改善值的因素。这个上界与资产 的个别标准差成正比，与投资者相对风险厌恶的平方根成反比。特别地，如果资产的个别标准差为零，那么对于任何有限的持有成本水平上界（9）都 为零，这表明不与（2）发生偏离是可能的。在这种情况下，如上面所注意到的，CAPM条 件任何背离会提供一个纯粹的套利机会，任何投资者都可以利用错误定价获取无限收益。因 此，无限水平的持有成本会会阻止投资者去纠正错误定价，在均衡时就观察不到偏差。更一 般地，对任一个何给定的持有成本水平来说，CAPM关系会倾向于更牢固地持有那些和已 经广泛持有的资产紧密相关的资产。4在投资

52、者的目标函数中实际获得可能会大一些，因为过多的持有X，投资者能够重新优化所持有的其它资 产的选择，并且可在期初选择投资财富与消费的比例。如果可以获得计算这些收益的信息，我们就可以导 出一个更紧的上界类似地，可允许的CAPM偏差值与投资者的相对风险厌恶的平方根成反比。如果投资 者们不太厌恶风险，那么他们更愿意接受面对持有一项新资产所带来的个别风险，并且会更 加有力地去纠正与（2）的背离。如果没有持有成本，CAPM定价关系（3）可以通过（2）乘上W（i）再把所有的投资者 加总得到。类似的，与（3）式最大可能的偏离可以通过（9）式乘上W（i）再把所有的投资者 加总得到，再应用和的绝对值小于等于绝对值

53、的和，就得到一个总体上界，(10)bXQ日-RxA*，际 X如上面所讨论的，在一个无持有成本的经济中，（3）的有效性与收益率、资产数量和盈 利分配这些内生变量相独立。上界（10）是类似一般的，因为它也是由作为价格接受者的投 资者们的最优化行为导出的。任何（10）的背离意味着一个或更多的投资者通过改变投资行 为可以而增加预期效用。应用（10）式所要求的信息显得有些严格。然而，甚至利用部分信息，就可用10）来 界定CAPM的可能偏差。例如，Hx（i）在各投资者间各不相同但都小于某一个值H，那么可 以用H替换Hx（i）来计算这个上界。类似地，a2v（i,X）典型的也是随投资者而变化的，但用一 个类似

54、的替换方法是可能的，因为它不会超过某个值%Maysher（1979）导出的结果是这所里导出结果的一个特殊情况。他强制地给资产收益率 概率分布加上了一个高度严格的形式。假定每个资产的收益率由一个简单的共同部分和一个 纯粹的个别部分（与别的资产的任何部分不相关）而组成。他还假定无风险资产收益率是外 生的（它的数量是内生地调整的）并且风险资产数量和盈利分配都是外生的（它们的价格内 生地调整）。在这些假设条件下，他导出了一个均衡定价关系（pp,692-694），在这个定价关 系中，每一位投资者对于每一项没有持有的资产满足带等号的单独上界（9）（撇开资产数目 的整体约束）。有关一个单独的共同因素的假定是

55、非常严格的。这在直觉上是不具有吸引力的，因为在 经济中好象有多于一个的共同因素的存在，并且这一假设也遭到了数据的拒绝。Roll和 Ross（1980）发现解释股票收益的四个共同因素的合理存在。对于其它资产可能要引入额外的 因素。因此，这篇文章的一个主要特征是证明了得出一个与Mayshar类似的结果，但可以在没 有这些严格的假设条件下得出。然而，Mayshar的结果的一个方面必须在这个更广一般的框 架中得到调整。撇开一个整体约束，单独上界（9）在Mayshar模型中一直带有等号，因为 一支股票的收益共同部分对每一个投资者来说特定的，并且所有的个别风险在均衡时可获得 同样的收益。这一资产间类似的特

56、性确保了对与投资者没有持有的资产上界（9）都带有等 号。在这个更为一般的模型中个别风险只是该资产收益率方差的一部分，该部分不能用对已 持有资产收益率的回归来解释。一项特定的资产可以和投资者已持有的某些资产高度相关， 但不是与所有已持有资产，并且对与某些投资者的个别风险要低于另外一些投资者的个别风 险。对于某些投资者资产的CAPM偏差可能紧密地接近与上界，而对于另外的投资者可能 远在上界的下方。总之，一旦单因素的假设放宽，对许多投资者而言，上界可能取严格的不 等号。若假设一个资产收益一般分布，那么对已持有的资产就会没有类似形式的解并且对于实 际的CAPM偏差5没有方程表示。然而（9）和（10）在

57、均衡时的潜在偏差上放置了一个上 界。三、上界的进一步扩展在第二部分中，我放宽了有关收益率外生性的假定和有关资产收益率之间相关性的本质 的假设，把以前这方面学术成果作了一下推广。然而，我还是继续假定存在一项无风险资产 并且所有的投资者都持有该项资产，同时我仍在单期CAPM框架中讨论问题。这一单期框 架犹其严格，因为上面得出的结论不能立即应用到一个实际的连续时间或多阶段的经济环境 中。现在我放宽这些假设，就会发现只需作稍微的调整，上面导出的上界就可扩展到连续时间或多阶段的经济环境中。虽然强的假设条件是确保上界的严格有效性所必须的，但是更弱 的假设可以支持它的大致有效性。导出连续时间CAPM上界后，

58、我会用它例证性地计算持有成本的潜在资产定价影响。（一）、缺少无风险资产的情形在缺少无风险资产时，从所周知，CAPM第一条件（2）必须按以下的形式作调整，(11)b(i) = j _ g +b 2 (i),jwA(i)g其中g（i）和O 2g（i）分别为投资者i的最小方差组合的均值与方差。对于投资者i来说所持有 的这一资产组合具有最低的方差。由于持有成本的影响，最小方差组合在投资者之间各不相 同，因为不同的投资者可以持有不同的资产组合。如果存在着这些资产的一个无风险组合， 那么（11）式可以简化为（2）式。这个第一条件可以应用下面两种情况：第一经济中没有 无风险资产可交易；第二经济中存在无风险资

59、产，但是由于固定持有成本投资者i没有持有 该资产。运用与文中其它地方相类似的技巧（详细的资料可以向作者索取），与上界（9）相对应， 在每个投资者与第一条件（11）个别偏离的上方导出上界是可能的，5Mayshar（1981）得到了一个有关交易成本影响的一般方程。他假定不持有资产X的投资者的。XW（i）（以财富 为权重）的平均值等于持有资产X的投资者的。XW（i）（以财富为权重）的平均值。后者在计算时只包括没 有投资于X的那部分财富。然而，与这里推出的上界不同，这个假设不是由最优化行为导出的，也就没有 理由期望它会成立。(12) xw (i)旦* _日“ (i)Y A(i)/-b 2 g(i)寺(

60、i，X)2+ j*(i)IjeP(i 广J2o 2 (i)gW (i) A(i)由于投资者的最小方差组合的方差现在影响了持有资产X后投资组合的改善，所以对 个别风险项进行了调整。特别地，即使资产X与已持有资产的某个组合完全相关，一个纯 粹的套利机会也是不会存在的，除非这一组合的权重和等于一个单位。当且仅当每一位投资者的最小方差组合的均值和方差都相同时，上界（12）可以利用（9） 式加总得到（10）式那样的方式进行加总。这在一个强假设条件下确实如此，即假设投资者 充分相似以至于在存在持有成本时选择持有相同的资产组合。然而，如果不同的投资者的最小方差组合的具有适度相似的均值和方差，那么上面得出 的