自动控制原理课件第六讲

1、第三章控制系统的时域分析李杰3-5控制系统的稳定性分析稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。自动控制理论的基本任务(之一)分析系统的稳定性问题提出保证系统稳定的措施 一、 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。充要条件lim c(t) 0闭环特征方程式的全部位于S的左半平面系统稳定t 对于一个系统的阶跃响应 c(t) L1C(s)qr k )ik 不同特征根所对应的时间响应分量

2、如图所示。稳 定不 稳 定理 论实 际 0.404ts 系统稳定、实际稳定以及稳定问题系统稳定性与输入信号无关，是系统的固有特性3-5-3代数稳定性判据线性定常系统稳定的充分必要条件，只要求解闭环系统特征方程就可以判断系统稳定与否。对于线性定常系统，由于它的特征方程为多项式代数方程，特征根与它的系数之间存在密切的关系。因此，可以根据多项式方程各次项的系数来判别系统稳定与否。这样的方法称为代数稳定性判据。1、代数稳定性判据-(Routh)判据已知线性定常系统的特征方程为sn1D(s) aa a s a 0snn1n10构造表sn sn-1 sn-2 sn-3an an-1 b1 c1an-2 a

3、n-3 b2 c2an-4 an-5 b3 c3an-6 an-7 b4 c4s1 s0f1 g1.b1 (anan3 b2cc an2an1 ) /) /) / b) /其中,稳定性判据:线性定常系统稳定的充分必要条件是表中第一列元素全部大于零。例3-6 (P98)s 4已知系统的闭环特征方程为 2s3 3s 2 4s 5 0试用稳定判据判别系统的稳定性。解：作121-65表如下5s4 s3 s2 s1 s03452 3 4 12 5 0 1b1 1,b2 522因为第一列中有负值出现，不全部大于零，所以系统不稳定。a1s a0a1 a0 0特征方程为一阶系统：s1 s0作表如下，有a10,

4、 a0 0一阶系统稳定的充分必要条件是a s2 a s a 0二阶系统特征方程：210s2 s1 s0a2 a1 a0a0 0表a2 0, a10, a0 0二阶系统稳定充要条件a s2a s a 0三阶系统特征方程： a s33210作表s3 s2 s1 s0a3 a2 b1 a0a1 a0 0a a a ab1 1230a2三阶系统稳定充要条件是a3 0, a2 0, a10, a0 0, a1a2 a0a3在计算中，可能会有以下几种情况出现：(1) 第一列元素有零值出现，且该行元素不全为零用一个很小的正数代替0，继续计算。若计算结果仍表明系统是稳定的，但仅是临界稳定的，即系统存在在虚轴上

5、的特征根。(2)第一列元素改变符号的次数等于不稳定根的个数(3) 出现全零行，表明系统存在大小相等，方向相反的根2、3、(Hurwitz)判据-奇(nard-Chipard)判据4、代数稳定性判据的应用(1) 判别自动控制系统的稳定性(2) 分析系统参数变化对系统稳定性的影响(3)确定系统的相对稳定性例：闭环系统稳定时开环增益K范围。如果所有闭环特征根的实部均小于0.1，K的取值范围变化如何。解：系统的闭环特征方程为s3 6s2 5s K 0判据，稳定时开环增益K的取由值范围为0 K 30如所有的闭环特征根的实部均小于0.1，作变量代换z s 0.1s z 0.1 5.7z2 3.83z (K

6、 0.441) 0z3代入原方程，0.441 K 21.39稳定时开环增益K的取值范围为3-6控制系统的稳态误差分析控制系统的稳态误差就是系统达到稳态后，输出量的期望值与稳态值之间的误差。系统的误差e(t)一般定义为希望值与实际值之差e(t) r(t) c(t)稳态误差的数学描述为 lim e(t)esst工程上认为，调节时间ts之后的误差为稳态误差。考查系统的稳态误差是根据系统所要的信号为参考基准的。因此，系统不同形式的稳态误差是由输入信号和系统结构决定的。3-6-2误差的数学模型开环传递函数为Go (s) G(s)H (s)G(s)H (s)G (s) 闭环传递函数为c1 G(s)H (s

7、)E(s) R(s) C(s) 1 Gc (s)R(s)误差G ( s ) E( s ) 11误差传递函数E1 G( s )H( s )1 G ( s )R( s )o1e lim e(t) lim sE(s) lim sR(s)ss1 G(s)H (s)tt0t0稳态误差与哪些有关？可以将系统的开环传递函数Go(s)用零、极点形式表示为Go (s) G(s)H (s)m1m 2K (s sk ) (s s ) 222lllk 1l 1n1n 2(s s ) (s2 2 s )s2ijjji 1j 1用零、极点因子的环节增益归一形式将Go(s)表示为m1m 2s 2 l l s 1)s 1)2

8、2(klKGo (s) k 1l 1osn1n 2 2(T s 1)T s 1)2 s2(Tijjji 1j 1令m1m 2s 1) ( 2 s 1)2 s 2klll(s) k 1l 1Gnn1n 2(Ts 2 j Tj s 1)(T s 1)22iji 1j 1KG (s) G (s)oosnKo系统的开环增益KGo (s) Gn (s)osKo lim s Go (s)s0-前向通路积分环节的个数，定义：00型系统1I型系统2-系统通常增加，系统的准确度会提高，但稳定性却变差。当前向通路包含两个以上积分环节时，使系统稳定一般是很的。稳态误差三要素：输入信号；系统的开环增益Ko；系统的无差

9、度。3-6-3稳态误差分析系统开环传递函数KG (s) G (s) K G (s)osonon 0由拉氏变换的终值定理1e lim e( t ) lim s E( s ) lim s R( s )ss1 G ( s )ts0s0o1、阶跃信号 R(s)=1/s1 1 11e lim s ss1 G ( s )s1 lim G ( s )1 Ks0oops0Kp lim Go (s)定义系统的静态位置误差系数Kp为s0 1 1eK limG ( s ) K0型系统ss1 K1 Kpoos0poKp Ko1Koe 0Kp lim Gn (s) 型系统ss1 Kss0pK p 1 0ess当1 K1

10、 K ppK p 0型系统对阶跃信号是有差型及以上系统可准确阶跃信号，无稳态误差。2、斜坡R(s)=1/s21111e lim s ss1 G ( s )lim s G ( s )s2Ks0oos0Kv lim s Go (s)静态速度误差系数Kvs01 K lim sGo ( s ) 0ess0型系统Kvs0K 0vK lim s Ko1 G ( s ) K型系统esspnoKss0o 0essK lim s G (s) voss00型系统对等速率信号不能型系统对等速率信号只能实现有差及以上的系统可以准确地等速率信号3、加速度信号R(s)=1/s31 111e lim s E( s ) li

11、m s ss1 G ( s ) G ( s )s3lim s2s0Ks0s0ooa系统的静态加速度误差系数Ka为 lim s 2 GK(s)aos0 essessKa 0Ka 00型系统型系统1 Ko系统eK lim s2 G ( s ) Kanosss2Ks0o0型、型系统不能加速度信号系统可以实现对加速率信号的有差上面的分析可以汇集成表3-1综上所述，对于控制系统的稳态误差考查结果为：(1) 对于有定值误差的情况，开环增益Ko越大，定值误差就越小。(2) 对于信号的能力考查中，系统的类型越高，也就是系统的无差度越大，能够阶数就越高。的信号的但在系统稳定性分析中，结论与上述两条正好相反。也就

12、是说，系统的开环增益Ko越大，稳定性就越差，前向通路中的积分环节个数越多，稳定性就越差。12r(t) 1(t) t 2t例3-12PD控制系统，输入信号为Cs作稳定性分析及稳态误差分析。Rs Kms T s 12m解：(1)稳定性分析s K Ks2 K K 0s3T闭环特征方程m1m1m由判据，系统稳定就要满足Tm 0, K1Km 0, K1Km 0, K1Km K1KmTmK1 0, Km 0, 0,Tm 0, Tm即，稳定条件为PD控制器微分时间常数的大小，会影响稳定性。系统的K1s 1(2) 稳态误差分析系统的开环传递函数为K1Km (s 1)G (s) os2 (Ts 1)mKo K1

13、Km , 2Kp , Kv , Ka K1Km各静态误差系数为r(t) 1(t) t 1 t 2 r (t) r (t) r (t)输入信号为1232r1 (t) 1(t), ess1 0对于线性系统，应用叠加原理，有r2 (t) t, ess2 0111r (t) t , e23ss32KK Ka1m1e eee则，系统稳态误差为ssss1ss2ss3K K1m3-6-5扰动信号误差分析N(s)是扰动信号。在实际中，扰动信号可从 任何地方加入：输入端、输出端、中间环节等。但不管何种情况，都可以通过等价变换化下图所示系统结构。Ns+EsCsRsG2 s+ +G1 sE( s ) R( s )

14、C( s ) R( s ) CR ( s ) CN ( s )G2 ( s ) E( S ) N( s )R1 G ( s )G ( s )1 ER( S ) EN ( S )2ER(s) -给定输入信号作用下的误差；EN(s) -扰动信号作用下的误差Go (s)1E (s) N (s)E (s) R(s)N1 G (s)G (s)R1 G (s)G (s)1o1oEN (s) CN (s)所以扰动输出全部是误差研究扰动信号对系统的影响的目的，就是要设法克服或者减小扰动信号所产生的输出。例3-14 (P113) 有扰系统论稳态误差及克服方法。，设输入R(s)=1/s，扰动信号为N(s)=1/s

15、,讨NsCsEs+RsK2s+essR 0 =1，I型系统,当输入信号单独作用时,对阶跃信号无误差K2C(s) s 1 K2 1s扰动作用下的系统输出为N K2s K1K2s1 K1s lim s EN (s) lim s CN (s)e扰动稳态误差为s0s0 1 K 21 lim s s K1 K 2sK1s0增大前置增益K1的值可以减小扰动引起的稳态误差，但是不能消除它。K1(2) 求取扰动无差条件K1 G1 (s)设前置增益K1未知令扰动引起的稳态误差为零K2 1 lim s 1 1 0s lim s es G1 (s)K2sG1 (s)s0s0则G1(s)至少要包含一个积分环节，才能使

16、得上式为零。K若令前置环节为G (s) 11s 0则系统闭环特征方程为K Ks212系统稳定性被破坏，必须增加PD控制器加以镇定。s 1)K(G (s) 1增加PD控制器后，前置环节成为1sK K s K K 0s2系统闭环特征方程成为1212K1，K2，均大于零，系统稳定。扰动引起的稳态误差:K2 1 lim s K2 1 lim s es K1 (s 1) Ks G1(s)K2sss0s02s 0减小和消除稳态误差的措施增大开环增益或扰动作用点之前的系统的前向通道增益增加前向通道中积分环节数采用复合控制增大开环增益、增加积分环节必然导致降低系统的稳定性，因此衡稳定性、稳态精度与动态特性关系

17、3-6-6稳态精度补偿-复合控制当扰动信号的类型单一并且已知时，可以设法减小或者消除扰动信号对系统的影响。当扰动信号类型未知或存在多个扰动信号时，又如何改善系统的稳态精度呢？可以考虑采用补偿器输入补偿器扰动补偿器Gr s1、输入补偿器CsRsG sOE(s)Go ( s )R( s ) Go ( s )Gr ( s ) R( s ) Go ( s ) Go ( s )Gr ( s ) R( s )C( s ) 1 Go ( s )1 Go ( s )1 Go ( s )E(s) R(s) C(s) 1 Go (s)Gr (s) R(s)1 Go (s)1 Go (s)Gr (s)0令E(s)=

18、0则有输入补偿器Gr（s）全补偿条件：E(s)=0补偿器的传递函数应满足1G (s) rG(s)oNs2、扰动补偿器Cs+Rs+G2 ( s )+Es扰动信号作用下系统的输出为Go (s)N (s) Gn (s)G1 (s)Go (s) N (s)C(s) N1 G (s)G1 G (s)G (s)(s)1o1o Go (s) Gn (s)G1 (s)Go (s) N (s)1 G1(s)Go (s)EN (s) CN (s) 0扰动补偿器的全补偿条件：1扰动补偿通路的传递函数应为G (s) nG (s)1G1 ( s )Gn( s )上述两种补偿方法是理想情况下的全补偿。实际应用时，由于各种非理想的影响，并不能实现全补偿。但是，如果补偿后的误差能够限制在允许误差之内，就是很满意的了。所以，