因式分解讲义(十字相乘、分组分解)

1、1-戈尹因式分解十字相乘法与分组分解法【学习要求】理解十字相乘法与分组分解法；会运用十字相乘法与分组分解法分解因式。【知识内容】十字相乘法分解因式：（1）首项系数是1的二次三项式的因式分解，我们学习了多项式的乘法，即得到了因式分解的一种方法一一十字相乘法，用这种方法来分解因式的关键在于确定上式中的a和b,例如，为了分解因式x2+px+q，就需要找到满足下列条件的a、b；a+b=pab=q（2）二次项系数不为1的二次三项式的因式分解二次三项式ax2+bx+c中，当a丰1时，如何用十字相乘法分解呢？分解思路可归纳为“分两头，凑中间”，例如，分解因式2x2-7x+6，首先要把二次项系数2分成1X2,

2、（-2）x（-3）常数项6分成2丿XV3丿，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数。右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1X（-3）+2x（-2）=-7，正好是一次项方鼎rri曰2x27x,6lx2丿12x3丿系数，从而得。（3）含有两个字母的二次三项式的因式分解如果是形如2a2b2-7ab+6的形式，则把ab看作一个整体，相当于x,如果是形如2x2-7xy+6y2，则先写成2x2-7yx+6y2，把y看作已知数，写成十字相乘的形式2f所以2x2-7xy+6y2x2y)Cx3y),即右边十字上都要带上字母y,分解的结果也是含有两个字母的两个因式的积。分组分解法分解因式：我们把被分解的多项式

3、分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等,从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每

4、组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。【典型例题】例1.分解因式:分析：当系数有分数或小数时，应先化为整数系数，便于下一步十字相乘。解:1（X，7）x+3）3因式分解十字相乘法与分组分解法例2.分解因式：x229xy100y2分析：含两个字母的二次三项式，把其中一个字母如y看成是常数。解.x229xy100y2=x229yx100y2=(x4y)(x25y)因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组

5、分解法例3.分解因式：3x211x+10分析：首项系数为3应分解为1X3,常数项为10是正数，分解成的两个因式同号且应与一次项系数-11的符号相同，用十字相乘法尝试如下：因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组分解法TOC o 1-5 h z1-1 HYPERLINK l bookmark103-103(-1)+1(-10)=-131-23-51(一5)+3(-2)=-111-103-11(-1)+3(-10)=-311-53-21(-2)+3(-5)=-17因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组分解法其中符合对角两数之积的和为-11的只有第三个。解3x211x+

6、10=(x2)(3x5)例4.因式分解：x2+6x一7分析：这个二次三项不符合完全平方公式的特点，首先，二次项与常数项不同号，其次，常数项的绝对值不是一次项系数一半的平方，所以不能直接用公式分解，但经过适当的变形后，便可用公式分解。另外，这样的二次三项式可用十字相乘法分解。解：方法一x2+6x一7=x2+6x+9一9一7，Cx+3)2一16，(x+3+4)(x+3-4)，(x+力(x-1)方法二：(x+7)(x-1)因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组分解法x+7x一1小结：方法一叫配方法。用配方法分解二次三项式时，其前提是二次项系数为1（如果二次项系数不是1，则提取这个系数

7、，使二次项系数转化为1）；其关键是，加上紧接着减去一次项系数绝对值一半的平方，这样便达到配方的目的。在用十字相乘法分解二次三项式时，主要考虑的是十字相乘后的代数和应是一次项。例5.分解因式：2x2+2xy一3x一3ya2一b2+4a一4b(3)4x2一9y2一24yz-16z2（4）x3x2x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式3,分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。解(一)：2x2+2xy一3x一3y，Gx2+2xy)(3x+3y)，2x(x+y)3(x+y)，Cx+y)(2x3)2x

8、2+2xy一3x一3y，x(2x3)+y(2x3)，(2x3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。（2）分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组分解法再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。解：a2b2+4a4bQ2一b2/+J4a一4b丿(a+b)(a一b)+4(ab)（ab,（a+b+4）（3）若将此题应用（2）题方法分组将4x2一9y2一组应用平方差

9、公式，或者将4x216z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题一、三分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解：4x29y224yz16z24x2（9y2+24yz+16z2）(2x)2一(3y+4z)2因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组分解法（4）分析：此题按照系数比为1或者为1，可以有不同的分组方法法（一）：x3x2x+1C3XCx1)(x+1)(x1,(x+1)(x1)2=(xl)(x-I)(x-1)，x1)(x-l)2说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步

10、分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例5(1)题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例5的(2)题、(4)题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例5中的(3)题。例6.分解因式：d2cda2分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解分析：要证明一个多项式的值为零，通常是将此多项式分解因式。若分解后的因式中有一个值

11、为零，则原多项式的值为零。经过分组分解，可知2x2+3xy+y2-x一y=(xy)(2xy-1),若xy或2xy-1为零，则原多项式的值为零。为达此目的，就要从条件入手。证明：因为4x24xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)22(2x+y)+1，0(2x,y-1)20又因为2x2,3xy,y2一x一y(x,y)(2x,y一1)所以2x2,3xy,y2一y0因式分解十字相乘法与分组分解法因式分解十字相乘法与分组分解法例8.已知3x24厂一7y2+13x一37y+m能分解成两个一次因式的乘积，求m的值。并将此多项式分解因式。分析：根据因式分解的概念和乘法法则可知，原多项式所分解得的两个

12、因式必然都是三项式，而原多项式的前三项可分解为（3x一7y）（x+y），于是可设原多项式分解为（3兀-7y+a）（x+y+b），再根据恒等式中的对应项系数相等，便能使问题得到解决。解.设3x24xy7y2,13x37y,m(3x-7y),a(x,因式分解十字相乘法与分组分解法3x24xy7y2,(a,3b)x,(a7b)y,aba,3b13a7b37对应项系数相等，所以abm由解得.a2，b5将a2，b5代入，得：m一10所以3x24xy7y2,13x37y,m3x24xy7y2,13x37y10(3x7y,a)(x,y,b)(3x-7y-2)(x,y,5)因式分解十字相乘法与分组分解法例9.

13、已知卜3y1+X2+4y2，4Xy，求x与y的值。分析：在通常情况下，由一个方程求两个未知数的值，条件是不够的，但在特殊条件下又是可行的，这“特殊条件”包括非负数的和等于零的性质。本题已有一个明显的非负数，即卜3yI而另一个非负数可由因式分解得到。于是问题能够解决。解：因为卜3y1+X2+4y2，4xy，所以|x一3y一1|+x2一4xy+4y2，0即x-3y-1+(x-2y，0 x-3y-1，0所以ix-2y=0解这个方程组，得：x，-2，y，-1模拟试题】(答题时间：40分钟).选择题。1.用分组分解法分解多项式x2-mx-nx+mn分组正确的是()(x2-mx-nx+mnA.(x2+mn

14、)-(mx+nxC.B.+mn2-mx-D.2-nx-mna2-b2+b-2.用分组分解法分解多项式4，分组正确的是(A.B.(b2-bC.D.3.将多项式a2b2一a2一b2+1分解因式，其中正确的是()(ab+1)(ab-1A.6.6.因式分解十字相乘法与分组分解法C2-1)b2-1)B.C2+1)b2+1)C.D(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)4.下列因式分解中，不正确的是（）x4-16y4（x-2y）（x+2+4y2A.B.ax+ay-bx-by(a-b)(x+y)C.1-a2-b2+2ab(1+a-b)(1-a+b)D.1-x2-2xy-y2(x+y+l)(x+y-1)5.把

15、多项式2xy一x2一y2+1分解因式的结果是（）A.(x-y+1)(y-x+1)B.(x+y，1)(y，x，1)C.(x+y-1)(x-y+1)D.(x-y+1)(x-y-1).填空题。x2-2xy-35y2(x-7yX1.2.2x27x15(x5)(3.)(4.x2-3xy-()(x+y)(x-4y)5.x2+)28y2(x+7y)(x-4y)kx2+5x610)因式分解十字相乘法与分组分解法，n718x2一19x+5(9x+m)(2x+n),则m三.分解因式。10)因式分解十字相乘法与分组分解法10)因式分解十字相乘法与分组分解法1)2x25x32)5x2一21x+183)a25ab24b

16、24)(x+y)2+2(x+y)2410)因式分解十字相乘法与分组分解法10)因式分解十字相乘法与分组分解法5)x2+2xy+y2一17)a2b2a2+2ab+18)x2+y2一z2+2xy(a+b)(a-b)+c(2b-c)(10)x3+5x6四.解答题。已知x22xy3y25，求整数x和y的值。已知A(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49(x为整数)，求证：A为一个完全平方数。10)因式分解十字相乘法与分组分解法【试题答案】一.选择题。1.D2.C二.填空题。3.D4.D5.A1.x22xy35y2=(x7y)(x5y)2.3.4.2x27x15=(x5)(2x3)，1y20y2=

17、Cjy1)4y1)x23xyCy2)=(xy)(x-4y)5.x23xy一28y2=(%7y)(x一4y)6.kx2+5x一6=(3x一2)(2x+3),k=67.18x2一19x5=(9xm)(2xm)贝ym=.分解因式。(2x1)(x-3)1)2)(5x一6)(x一3)3)(a3b)a-8b)10)因式分解十字相乘法与分组分解法4)5)(xy6)(xy-4)3C23)x1)(x-1)(xy1)(xy-1)10)因式分解十字相乘法与分组分解法10)因式分解十字相乘法与分组分解法7)(ab1a)(ab1，a)8)(xyz)(xy-z)10)因式分解十字相乘法与分组分解法(ab-c)(a-bc)(x-1)(x2x610)因式分解十字相乘法与分组分解法四