商区ms网点的优化设计

1、商区 MS 网点的优化设计，摘要本问题是一育馆周边超市（MS）网的优化设计问题。首先对问卷结果进行科学的统计，发现了观众出行、餐饮和购物的稳定性规律，给出了反映该规律的百分比矩阵。按最短路原则，构建了观众的出行矩阵，既而导出了场馆各通道人流分布的人流矩阵，再结合百分比矩阵，在等概率假设的基础上，给出了各商区不同档次的人流量分布，如下表所示：A17.80%A24.04%A34.21%A44.74%A55.26%A610.02%A74.90%A84.38%A94.21%A104.40%B14.97%B24.44%B35.84%B44.44%B54.97%B68.47%C12.41%C22.59%C

2、35.42%C42.49%在探讨 MS 网如何设置时，用偏系数法构造了能够综合反映MS 网经济效益、潜在效益和就业效益的综合效益函数： j6i20i20F k ( n c x c y c) k (1 ecj /r ) k S (x c y d )ij jiiii123i1j1i1并以该函数的最大为目标，建立了一个单目标非线性规划模型。用计算机分析与实际情况相结合的方法调试模型中的参数，当 a=2000,b=12000, k1 1 ，k2 0 ， k3 1， c 10000, c 200000，c=20，d=100，S=100， 0.1， I =1024，t=2， b1 1， b2 10 ，对应

3、的最优解如下表所示：随后建立了包含 6 个定义、6 个引理及其推论的商区 MS 网规划理论体系，并以引理 5 和引理 6 作为理论依据，建造了商区布局规划模型，并用有的模拟退火算法，通过编程得到了近似最优解。又将该模型与球装箱进行比较，给出可对模型进行方便求解的磁性球装箱理论。最后从“ 值对顾客的影响”、“消费档次的稳定性”、“商区的后期利用”、“商区内 MS 数量与商区内流量的关系”等几个方面对模型做了进一步的讨论，并提出了以后的研究方向，还对的方法和模型进行了科学性分析，并做了与实际情形的对比，此外还对模型进行了优缺点分析，并给出了模型的使用说A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10小

4、MS大 MS4530334040324040333064445185444B1B2B3B4B5B6C1C 2C3C 4小 MS大 MS303032303039303037203343383352明。一、问题的提出1. 背景2008 年奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（Mini Supermarket, 以下记做 MS）网，以满足观众、游客、等在奥运会期间的购物需求，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。在比赛主场馆周边地区设置这种 MS，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：

5、满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。2. 问题已知比赛主场馆的规划简图，如图 1 所示，作为保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路、图的简化，在图中仅车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有 A1-A10、B1-B6、C1-C4 的区域是规定的设计 MS 网点的 20 个商区。为简化起见，假定国家体育场（鸟巢）容量为 10 万人，国家体育馆容量为 6 万人，国家游泳中心（水立方）容量为 4 万人。三个场馆的每个看台容量均为 1 万人，出口对准一个商区，各商区面积相同。图 1比赛主场馆的规划简图为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场通

6、过对预演的运动会的问卷，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物。假设在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查了相关数据。现在需要按以下步骤对图 1 的 20 个商区设计 MS 网点：1根据问卷数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。2假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据 1 的结果，测算图 2 中 20个商区的人流量分布（用百分比表示）。如果有两种大小不同规模的 MS 类型供选择，给出图 2 中 20 个商区内 MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型 MS 的个数），以满足上述三个基本要求。阐

7、明方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。二、问题的基本假设、名词约定及符号说明1. 基本假设（amption）各个场馆相互独立，它们的看台馆都爆满。一个观众某一天出行的路径为“车站场馆餐厅或商场场馆车站”，所以从车站到场馆之间的人流总量是从车站到场馆之间的总人数的两倍，从场馆到餐厅或商场之间的人流总量是从场馆到餐厅或商场的总人数的两倍。同时也是出口，并且奥运会期间各场（3）对预演运动会的问卷及其消费水平。能够反映运动会期间人流的实际分布情况MS 分布均衡是指各商区的 MS 的数量相等或近似相等。这是由于各商区的面积相等，顾客量近似相等，且 MS 分布均衡在整体上有助于体育馆的美观。每个商区内设

8、有“大小”两种规则的 MS，并且相同型号的 MS 造价相同。各商区的 MS 的利率均相等，这是由市场宏观调控决定的。（7）人们的消费2. 符号说明与其心理消费档次和当前 MS 的利率有关。为了便于描述问题的表达和研究用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表 1.所示。其他的一些变量将在文中陆续说明。表 1符号说明一览表符号意义xii商区内小MS的个数个yia bc jc cNii商区内大MS的个数小 MS 的标准容量大 MS 的标准容量j档的平均消费额小 MS 的造价大 MS 的造价 MS 的利率i商区一天内的总顾客数个人人元元元百分比人次3. 名词约定MS 的标准容量：通常情况下 MS

9、 在一天内可以宽松接待的顾客总人次。潜在效益：建立 MS 网点潜在或长远的收益。就业效益：建立 MS 网点在缓解社会就业压力方面而产生的社会效益。商圈1 ：商圈也称商势圈，它是指MS 吸引游客的范围，如某店能吸引多远距离的游客来店购物，这一顾客到MS 的距离范围，就称为该 MS 的商圈。因此，现代市场把商圈定义为：在现代市场中，零售企业进行销售活动的空间范围，它是由消费者的行为和零售企业的经营能力所决定的。（5）观众：在体育馆比赛的所有人群。三、问题的分析与模型的准备通过对问题的分析发现确定每个商区内不同规模的 MS 的个数是研究的重点问题，而 MS 的设置应满足奥运会期间的购物要求，分布基本

10、均衡和商业上赢利三个基本条件，但事实上除了要满足以上三个基本条件，还要考虑一些其他方面的，如潜在的社会效益和这些 MS 在解决失业带来的社会效益等。分析至再就业问题而此就可感觉到这道问题可以用目标规划方法来建立问题求解的数学模型。进一步分析可知建立规划模型需要知道 20 个商区的人流量分布，而人流量分布又可根据问卷反映的观众在出行、用餐和购物等方面反映的规律得到，于是就找到了求解问题的思路。1. 基本思路（1）根据问卷结果，分类统计出观众出行、用餐和消费档次的规律，这主要包括经过每个点的观众在总观众中的比率及这些观众中各消费档次的人群在总人群中所占的比率。在满足最短路原则的条件下，根据得到的规

11、律，按比例计算不同规模体育馆周围各点的人流量分布，确定经过各商区的观众人次及其平均消费档次。建立以 xi ， yi 为规划变量的目标规划模型，并求解之。分析模型求解的结果与实际情况的差别，如发现不妥，则进一步改进模型，以使其现实意义更大。有了以上的思路，现在来集中分析如何建立这个规划模型。2. 基本数学表达式的构建（1）购物要求各商区首先应该满足奥运会期间的购物需求，即一方面为观众提供方便的购物环境，另一方面增加商区的收益。用下式来描述购物需求关系：Ni xia yib tNii 1, 2, 20式中， a 为小 MS 的标准容量， b 为大 MS 的标准容量， t 表示一限制因子。该式的意义

12、是各商区的大小 MS 所能接纳的标准顾客总和应大于等于该商区的总顾客数，同时也不能太大，以免资源浪费，对商区造成 影响，故用限制因子t 乘以 Ni 来限制。t 的值依据经验来确定，（2）分布均衡要求认为t =2。这里的分布均衡指各商区的 MS 的个数近似相等，也就是要求 20 个商区的个数的方差尽可能小，其数学表达式为：i20i20min : x y (x y ) / 202iiiii1i1（3）经济效益以各商区所有 MS 的总利润为研究对象，利润应与总销售额与利率有关，此外，还应考虑各 MS 的折旧费用，应尽量让利润最大，以提高 MS 的经济效益，于是得到利润最大化的数学表达式：j6i20M

13、ax : profit (nijc jxic yic)i1j1式中表示率， c,c表示小和大两种规模 MS 的折旧费用。（4）潜在效益建立任何商业设施都应考虑当前的收益和潜在的收益，包括顾客对该项服务的满意程度和因此而引起的潜在收益。这里用潜在效益来描述 MS 这些方面的社会效益，且这主要由顾客的满意程度决定。顾客的满意度主要与 MS 的利率 有关，并认为当 =0 时，满意度最大，其值为 1，为此结合顾客的平均消费水平，及顾客的消费心理特征构建了如下的潜在效益的数学表达式： underlyingbenefit 2 ecj / r其中， cj picj 为（5）就业效益当前就业问题已是比较严重的

14、社会问题，如果多设一个 MS，就会相应地增加就业机会，从而有助于缓解紧张的就业压力，单从这个角度讲应该是多设置一些 MS 点。 用下式来表达所有 MS 的就业效益。20平均消费水平， r 为修正因子。obtainemploymentbenefit s (xic yid )i1式中 s 为一个人就业的社会效益值， c ， d 分别为的个数。3. 商区内 MS 布局的原则MS 可提供的就业岗位商区内 MS 布局的设计可以参照零售引力法则。零售引力法则也称则，是由总结的，其中心观点是：“具有零售中心的两个城市，从位于它们中间的某一分界点处，所吸引的交易量与各自城市的而与分界点到市场距离的自乘成反比例

15、。”其数学表达式如下：比例，DxyD yP1 xPy式中， Dy 表示 x, y 两城市间的分界点 D 区距 y 市的距离， Dxy 为两城市之间的距离， Px 为 x 城市（数， Py 为 y 城市（多的城市）的少的城市）的数。研究与研究不是完全相同，但有相似的地方。通过比较发现，多的城市相当于大 MS，其数相当于大 MS 的标准容量，少的城市相当MS，其数相当于小 MS 的标准容量。对上式进行改进，得到适用于本题的则：DxyD yb 1 a 此时， Dy 表示小 MS 的商圈半径。以上表达式纯粹是从空间距离上理解商圈的概念，这对于确定商区内各MS 的选址和布局是有利的，但也可以把商圈理解为

16、 MS 在人群中的覆盖范围，这反映了 MS 对人们的，这种既包括距离（空间商圈），又包太多，问题的复杂度括消费者对 MS 的倾向性和认同感。因为这样考虑涉及变大，而又对研究 MS 的选址和布局的意义不大，所以这里不再具体考圈的意义，事实上给出的 MS 的标准容量也在一定程度上反映了虑人群商圈这层次的含义。MS 的选址和布局除了根据MS 分布不宜过度集中。销售异型商品的 MS 可以则以外，还要考虑一些其他方面的：，这种MS 间不会产生竞争，而回对 MS带来更强的市场。3）有补充关系的 MS 可以，所谓补充关系是指两个以上的 MS 经营的商品互相补充，以满足消费者的要求作为目的。这是种多功能的，有

17、利于产生放大的效应，从而有效地扩大该商区的购物与服务商圈。四、各商区人流量分布规律的研究1. 观众出行、用餐、购物的规律为了研究问题的方便，称，如下所述：为各个车站、餐厅、商场以及场馆赋予了新的名a.东站记为站 1，西站记为站 2，私车站记为站 3，地铁东站记为站 4，地铁西站记为站 5，出租车站记为站 6，站 8；南站记为站 7，北站记为b.西餐厅记为厅 1，中餐厅记为厅 2，商场（餐饮）记为厅 3；c.A 区国家体育场（鸟巢）记为场 1，B 区国家体育馆记为场 2，C 区国家游泳中心（水立方）记为场 3，A 区的北通道记为道 1，A 区的南通道记为道2，B 区的北通道记为道 3，B 区的南

18、通道记为道 4，C 区的北通道记为道 5，C 区的南通道记为道 6。问题一主要要求统计题目中给出的问卷数据，从而找出能够反映观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。在此过程中，下两条结论：首先总结出了以结论 1（互斥性）：从数据库表格中，发现一个观众只能选择多种用餐方式中的一种用餐方式，多种出行方式中的一种出行方式和多种消费档次中的一种消费档次。互斥性虽然对问题的解决没有帮助，但是它却能够检验数据的正确性，因为互斥事物的百分数之和一般为 100%，这个结论查询得到，不需要证明。可以通过数据的结论 2（稳定性）：从数据库表格中，还发现一条重要的规律，那就是数据所占比例的稳定性，稳定性的存在并不

19、是偶然的，虽然无法证明，但是它早已成为一种经验理论了。在题目的数据库中发现了很多类似现象的存在，它的存在使比例系数。下面性的研究大大简化，因为解决稳定性问题的最终目标就是找到那些首先来研究这些数据的稳定性，然后再来寻找那些比例系数。稳定主要采取的是图象比较法。一般情况下，这类问题比例系数的寻找是采用均值法，所以也采取均值法。（1）从场馆到各个车站的观众数量/场馆观众的数量=恒定值。对数据库中表示观众出行的数据进行统计得到如表 2 所示的结果，它们对应的图象如图 2 所示。表 2 从场馆到各个车站的观众数量和其占场馆观众数量的百分比（三次）第一次数量 6125986803086456573500

20、百分比第二次数量 5385585952946056103200百分比第三次数量 6246727353567567573900百分比南北）东西）出租私车地铁（东）地铁（西）汇总17.4857%17.0857%19.4286%8.8%18.4286%18.7714%100%16.8125%17.4375%18.5938%9.1875%18.9063%19.0625%100%16.0000%17.2308%18.8462%9.1282%19.3846%19.4103%100%图 2 从场馆到各个车站的观众数量占场馆观众数量的百分比图（三次）通过对图 2 的观察，发现三次的百分比基本是重合的，所以认为

21、“从场馆到各个车站的观众数量/场馆观众的数量=恒定值”。通过均值法求解的百分比矩阵如下：k0,01,0k0,11,19.04%18.91%19.08%18.96%k0,21,2kkk 9.04%9.04% k 18.91%18.91%19.08%19.08%18.96%18.96%kkk6,06,16,2k7,0k7,1 17.25%k7,2其中 k0,0 k1,0 k0,1 k1,1 k0,2 k1,2j 1到站i 1 的， k 的含义是从场ki , jk k k kk 16.77%6,07,06,17,16,27,2观众数量占场 j 1观众总量的百分比。（2）从场馆到各个餐厅或商场的观众数

22、量/场馆观众的数量=恒定值的情况。 对数据库中表示观众餐饮或和购物的数据进行统计得到如表 3 所示的结果，它们对应的图象如图 3 所示。表 3 从场馆到各个餐厅或商场的观众数量和其占场馆观众数量的百分比（三次）25.00%25.00%20.00%20.00%15.00%15.00%10.00%10.00%5.00%5.00%0.00%0.00%123456出行方式第一次第二次第三次第一次数量 78318378803500百分比第二次数量 72416728043200百分比第三次数量 87520589673900百分比中餐西餐商场（餐饮）汇总22.3714286%52.4857143%25.14

23、28571%100%22.625%52.25%25.125%100%22.4358974%52.7692308%24.7948718%100%图 3 从场馆到各个餐厅或商场的观众数量占场馆观众数量的百分比图（三次调查）通过对图 3 的观察发现，三次的百分比基本是相同的，所以认为“从场馆到各个餐厅或商场的观众数量/场馆观众的数量=恒定值”。通过均值法求解的百分比矩阵如下：52.50%52.50%52.50%p 22.48%22.48%22.48%25.02%25.02%25.02%j 1到厅 k 1 的观众数量占场 j 1观众总量的百分比。其中 pk , j 表示从场（3）从场馆到各个车站、餐厅

24、或商场的观众数量中各种消费档次的观众所占的比例是恒定值它的数据库查询结果和百分比计算结果如附录一（表 1表 6）所示。附录表 2、4、6 的图形化如图 4 所示。统计的次数中餐百分比西餐百分比商场百分比图 4 从场馆到各个车站、餐厅或商场的观众数量中各种消费档次的观众所占的比例（三次）通过对图 4 的观察发现，三次的百分比图基本是相同的，所以认为“从场馆到各个车站、餐厅或商场的观众数量中各种消费档次的观众所占的比例是恒定值”。通过均值法求解的系数表如表 4 所示。表 4 从场馆到各个车站、餐厅或商场的观众数量中各种消费档次的观众所占的百分比系数表档次 12.9723%3.2757%3.5374

25、%1.7434%3.9149%4.0063%4.8739%8.9016%5.6745%档次 23.8522%4.6591%4.5692%2.1502%4.7695%4.8093%6.6435%11.994%6.1720%档次 37.3061%7.1151%8.2982%4.0205%8.6664%8.6468%9.3024%24.892%9.8585%档次 41.6556%1.6906%2.1886%0.9899%1.3288%1.3666%1.4772%5.5831%2.1501%档次 50.5630%0.3532%0.2203%0.0588%0.1595%0.1451%0.1215%0.8

26、040%0.5745%档次 60.4169%0.1577%0.1425%0.0854%0.0674%0.1073%0.0589%0.3267%0.5915%汇总(南北)(东西)出租私车 地铁(东)地铁(西)中餐 西餐商场(餐饮)100%100%2. 商区的人流量分布首先对题目中的“出行均采取最短路径”给出自己的理解，这个理解同时也是以后在计算 20 个商区的人流量分布时进行“等概率假设”的原因。观众在运动会期间某一天的行走路径为“车站场馆餐厅或商场场馆车站”，其中观众在场馆的行走路径为“场馆通道商区场馆看台商区场馆通道”，那么为了使总路径最短，须使观众在场馆的行走路径与“车站场馆餐厅或商场场馆

27、车站”路径之和最短。但是经过对题目中给出的奥运场馆平面图的比例分析，发现观众在场馆的行走路径相对于“车站场馆餐厅或商场场馆车站”来说是比较小的，所以可以只先考虑观众在场馆外部的行走路径的长度。经过上面对最短路径的描述通过对人行道距离的换算比较找到了各个车站、餐厅或商场到各个场馆的最短路径，具体情况如下所述：丙（A 区）甲（C 区）区）图 5 各个车站、餐厅以及商场距离场馆的最短路径简化图乙（Ba.各个车站、餐厅以及商场距离国家体育场（鸟巢）的最短距离如图 5（丙）中红线所示，具体陈述如下：从东站、西站、私车站、出租车站下车的观众从 A 区的北通道进入；从地铁东站、地铁西站、入；南站、北站下车的

28、观众从 A 区的南通道进观众通过 A 区的北通道去中餐厅，通过 A 区的南通道去西餐厅，而去商场的观众有可能通过 A 区的北通道，也有可能通过A 区的南通道。b.各个车站、餐厅以及商场距离国家体育馆的最短距离如图 5（乙）中红线所示，具体陈述如下：从东站、西站、私车站、出租车站下车的观众从 B 区的北通道进入；从地铁东站、地铁西站、入；南站、北站下车的观众从 B 区的南通道进观众通过 B 区的北通道去中餐厅，通过B 区的南通道去西餐厅或商场。c.各个车站、餐厅以及商场距离国家游泳中心（水立方）的最短距离如图 5（甲）中红线所示，具体陈述如下：从东站、西站、出租车站下车的观众从C 区的北通道进入

29、，而从私车站下车的观众有可能从 C 区的北通道进入，也有可能从 C 区的南通道进入；从地铁东站、地铁西站、入；南站、北站下车的观众从 C 区的南通道进所有的观众都通过 C 区的南通道去中餐厅、西餐厅或商场。在上面描述最短路径的三点中，可以发现“去商场的观众有可能通过 A区的北通道，也有可能通过 A 区的南通道”和“从私车站下车的观众有可能从 C区的北通道进入，也有可能从 C 区的南通道进入”两条“可能”“也有可能”之类的语句，这两句话都是在选择最短路径的过程中产生的，产生的根本原因是场馆观众的行走路径对最短路径的选择产生了影响，不可忽略。具体说来就是当观众处于场馆内不同的看台位置时，他们的最短

30、路径是不同的。如果暂时撇开上述两句“可能”“也有可能”的话，那么就可以做出“从某个场馆通道进入的观众进入场馆各个看台的概率是相同的”的假设，因为，无论观众进入哪个看台，其总路径都是最短的。经过上述的分析建立了观众从车站到场馆的出行矩阵：111000013 50111110010000011011111 2 00100001 211011a 25100其中 ai, j 表示从站i +1 下车转移到道 j +1 的观众占从站i +1 下车转移到场( j 1) 2 的观众的比例。比如说， a0,0 =1 表示所有从站 1 下车的观众都是通过道 1 进入到场 1 的。其中 a4,0 =2/5， a4,

31、1 =3/5 等非 0 且非 1 值都是应证了“可能”（概率为 2/5）“有可能（概率为 3/5）”的语句。接着，建立了观众从餐厅或商场到场馆的出行矩阵：0103 50101010001b 112 51其中bk , j 表示从厅 k +1 出来转移到道 j +1 的观众占从厅k +1 出来转移到场( j 1) 2 的观众的比例。比如说， b0,0 =0 表示没有从厅 1 出来通过道 1 从而到达场 1 的观众。其中， b2,0 =2/5 等非 0 且非 1 值也是同样的应证了“可能”“有可能”的语句。再进一步的来建立人流总量矩阵：CA k0,0CB k0,1CC k0,2 CkC kC kC1

32、,2 A1,0B1,1CA k2,0CB k2,1CC k2,2 C pC pC pCkC kC kA0,0B0,1C0,2 c A3,0B3,1C3,2e C pC pC pCkC kC kA1,0B1,1C1,2CA4,0B4,1C4,2 pC pC pC2,2 C kC kC kA2,0B2,1A5,0B5,1C5,2CkC kC kC6,2 A6,0B6,1CA k7,0CB k7,1CC k7,2 其中， ci, j 表示从站i +1 转移到场 j +1 的人数， ek , j 表示从厅 k +1 转移到场 j +1把上述 c 矩阵扩充成ci ,2 ，把上述e 矩阵扩充成的人数。由于

33、解题需要，d ci ,0ci ,0ci ,1ci ,1ci ,2f ek ,0ek,0ek,1ek,1ek ,2ek ,2 建立的这两个扩充流量矩阵没特殊的意义，所以也就不需要为了解题的方便。大费周章的去解释什么，它的建立，只是纯粹的上述矩阵的建立是解决第二个问题的基石，有了基石模型就不会，所以现在首先根据就来建立第二题的模型。建立的矩阵来计算进入各个通道人数的表达式为：7n入，j (ai, j di, j )i 0式中 n入，j 表示进入道 j +1 的人数， ai, j 表示从站i +1.车转移到道 j +1 的观众占从站 i +1 下车转移到场 ( j 1) 2 的观众的比例， di,

34、j 表示从站 i +1 转移到场( j 1)2 的人数，其中 表示向上取整。n入，1 CA (k0,0 k1,0 k2,0 2 5 k4,0 k5,0 )n C (k 3 5 kkk)入，2A3,04,06,07,0n C (k k k k )具体为B0,11,12,15,1入，3n C (k k k k)入，4B3,14,16,17,1n C (k k1 2 kk)入，5C0,21,22,25,2n入，6 CC (12 k2,2 k3,2 k4,2 k6,2 k7,2 )走出各个通道的人数计算的表达式为：2n出，j (bk , j fk , j )k 0式中 n出，j 表示走出道 j +1

35、的人数， bk , j 表示从厅 k +1 出来转移到道 j +1 的观众占从厅 k +1 出来转移到场 ( j 1) 2 的观众的比例， fk , j 表示从厅k +1 转移到场 ( j 1) 2 的人数。 CA ( p1,0 2 5 p2,0 )n出，1n C ( p 3 5 p)出，2A0,02,0n C p具体为出，3B1,1n C ( p p )B0,12,1出，4n 0 CC ( p0,2 p1,2 p2,2 )出，5n出，6虽然已经能够计算出 n入，j 和 n出，j 了，但是经过各个通道的总人数并没有被完全求解出来，能够被完全求解出来的只有 B 区。这是因为，观众可以连续的经过几

36、个通道，譬如图 5（甲）中，观众连续的经过了通道 2，通道 1 和通道 6，正是因为这种情况的存在，才导致了其它区通道的总人数没有被完全求解出来。所以就应该再列出路过各个通道的人数计算的表达式：n路，1 CC (k3,2 k6,2 k7,2 )n C (kkk)路，2C3,26,27,2n 2 5C (kp) 路，3A4,02,0n 2 0 05 C (kp)路，4A4,02,0n路，5n路，6于是便得到了计算经过各个通道总人数的表达式n总，j = n入，j n出，j n路，j 。研究了通过各个场馆南、北通道的总观众人数以后，接下来是“游客是怎样从南北通道经过各个商区从而进入对应看台的需要分析

37、的的”。为此，做出“从某个场馆通道进入的观众进入场馆各个看台的概率是相同的”的假设（文已经分析过它的局限性，只要稍加分类，利用这个假设，是的）其中下文中的 pA 1 10 ， pB 1 6 ， pC 1 4 。能够很好的解决下面为了简化例：，做出了几条更重要的假设，陈述如下，以 C 区为a.游客从C 区北通道进入时，如果游客进入 C1 看台，那么游客必经过C1，C2 商区。如果游客进入 C2 看台，那么游客必经过 C2 商区。如果游客进入 C3 看台，那么游客必经过 C2，C3 商区，如果游客进入C4 看台，那么游客要么经过 C2、C1、C4 商区，要么经过 C2、C3、C4 商区。b.游客从

38、C 区南大门进入时，如果游客进入 C1 看台，那么游客必经过C1，C4 商区。如果游客进入C2 看台，那么游客要么经过C4，C1，C2商区，要么经过 C4，C3，C2 商区。如果游客进入C3 看台，那么游客必经过 C4，C3 商区。如果游客进入C4 看台，那么游客必经过C4 商区。同理 A 区和 C 区也如此假设。由以上的整个推导过程可以给出以下计算各个商区人数的表达式： 3 2 pB n总 5 2 pB n总，4 5 2 p n 3 2 p nB总pB n总，4B总，4 n总B 区各个商区经过的人数为 5 2 p n 3 2 p nB总B总，4 3 2 pB n总 5 2 pB n总，4 p

39、B n总，3 n总，4C 区各个商区经过的人数为2 pC (n总，5 C1 3 C k2,2C2 n总，5 pC C k2,2C3 3 2 pC (n总，5 C k2,2C np n1 2 Ck (1 p )4总，6C总，5C2,2CA 区各个商区经过的人数为 A1 npA A (k4,0 p2,0 )总，1 A2 9 p n 3 2 pA A (k4,0 p2,0 )2 A总，1 A 7 2 p n 5 2 p (kp)3AAA4,02,0总，1总， A 5 2 p n 7 2 p (kp)AAA4,02,04总，1 A5 3 2 pA n 9 总，12 pA A (k4,0 p2,0 )

40、A p n(kp)6AA4,02,0总，1总， A 3 2 p n 9 2 p (kp)7AAA4,02,0总，1 A 5 2 p n 7 2 p (k p)8AAA4,02,0总，1总， A9 9 2 pA n 3 2 pA A (k4,0 p2,0 )A (k4,0 p2,0 )能够计算出各个商区的总人流量（总总，1A 9 2 pA n 3 2 pA 10总，1得到各个商区经过的总人数以后，人流量是总人数的 2 倍），再根据在问题一中得到的两个结论，尤其是稳定性结论，就能用表 7 所示。计算出各个商区不同档次的人流量，如表 5，表 6，表 5 A 场馆周围各个商区 6 种不同消费水平的人流

41、量分布（百分比）A场 馆 商区 12345678910档次 1档次 2档次 3档次 4档次 5档次 6汇总1.56330%0.78792%0.80718%0.90543%1.00360%1.89450%0.92465%0.82640%0.80718%0.86691%2.0255%1.0319%1.0531%1.1638%1.2746%2.3952%1.1850%1.0742%1.0531%1.1215%3.3346%1.7586%1.8575%2.1075%2.3575%4.5274%2.2065%1.9565%1.8575%1.9096%0.71232%0.37636%0.39447%0.4

42、4131%0.48811%0.93285%0.45943%0.41259%0.39447%0.40504%0.099801%0.054593%0.060917%0.073076%0.085276%0.168310%0.079400%0.067200%0.060917%0.060468%0.067282%0.033539%0.036518%0.045208%0.053899%0.105590%0.048228%0.039496%0.036518%0.039251%7.80%4.04%4.21%4.74%5.26%10.02%4.90%4.38%4.21%4.40%表 6 B 场馆周围各个商区 6

43、 种不同消费水平的人流量分布（百分比）B场 馆 商区 123456123456汇总1.00000%0.90176%1.18140%0.90176%1.00000%1.67260%1.2236%1.1129%1.4987%1.1129%1.2236%2.0526%2.1670%1.9170%2.4955%1.9170%2.1670%3.7454%0.43899%0.39219%0.52414%0.39219%0.43899%0.75826%0.078543%0.066344%0.078747%0.066344%0.078543%0.139620%0.059040%0.050349%0.05687

44、8%0.050349%0.059040%0.100370%4.97%4.44%5.84%4.44%4.97%8.47%表 7 C 场馆周围各个商区 6 种不同消费水平的人流量分布（百分比）C场 档次 1档次 2档次 3档次 4档次 5档次 6汇总馆 商区 12340.46906%0.49847%1.06030%0.48326%0.5986%0.64838%1.34110%0.61615%1.0621%1.1291%2.4002%1.0949%0.22155%0.25346%0.48240%0.22963%0.036477%0.039006%0.082460%0.036966%0.023583%

45、0.023991%0.054348%0.024277%2.41%2.59%5.42%2.49%五、设置MS 网点数学模型的建立与求解1. 模型的建立通过以上的分析知道对商区内 MS 网点的设计有多个目标和多个限制条件，为便于建立一个规划模型，现在首先来确定问题所涉及的几个目标函数。在对问题的分析中，已构建了几个描述问题目标和限制条件的数学表达式，很容易发现设置 MS 网点的经济效益、潜在效益和就业效益可以作为目标函数，而且三个目标函数都要求最大化，即目标函数分别为：j6i20Max : profit ( nijc j xicyic )i1j120Max : obtainemploymentbe

46、nefit S (xic yid )i1先用偏系数多目标不利于问题的求解，于是化为单目标问题，其表达式为：法将多目标问题转 j6i20i20max : F k ( n c x c y c) k (1 ecj / r ) k S (x c y d )ij jiiii123i1j1i1这里目标函数 F 综合体现了经济效益、潜在效益和就业效益，称之为综合效益。这里 k1, k2和k3 有两方面的含义，一是作为偏系数，同时它们也充当系数的作用，以保证经济效益、潜在效益和就业效益三个目标函数的量化值在数值上近似相等。至此建立了以下的单目标规划模型：关于约束条件的说明：1）条件（1）（2）是为了分别满足观

47、众的购物需求和各商区 MS 分布均匀的要求，这里引入了一个限制方差上限的 I 以调节各商区 MS 分布的均匀程度， I 值越大，表明对 MS 分布均匀程度的限制越宽松， I 越小则对这种均匀程度要求越高，特殊的是当 I 为 0 时表明各商区的 MS 数必须相当。考虑实际情况，尽管各商区的面积都相等，但由于地理、交通等，各商区的商圈还是有点不同，正如题目要求的各商区的 MS 分布只是基本均衡。条件（5）（6）是为了给出各商区内大小两种 MS 数量的上限，以便于计算机求解。条件（7）给出了两种 MS 数量的比例关系，所以给出了它们比例的上下限。一般来讲，一个商区内的小 MS 的数量都要比大 MS

48、的数量大，所以让b1 1，同时这种比例也不宜太大，所以定这个上限b2 10 。2. 模型的求解（1）模型求解的理论分析该模型是一个多变量非线性单目标规划模型，模型是否有解主要取决于限制条件。分析模型的限制条件会发现（1）和（2）了两个方程多个解的二元方程组，而其他的一些约束条件则在一定程度上限定了一些解，再由目标函数则可很快找到最优解，基于这样的分析（2）问题中一些参数的确定k1, k2 , k3和S认为该模型有相对最优解。k1, k2 , k3 分别为经济效益、潜在效益和就业效益的因子，这三个子目标函数中经济效益最重要，而且它有明确意义的数值概念，即是以收入的货币（元）来衡量的，所以学表达式

49、可以发现当潜在效益和就业效益也转化为经济效益。由潜在效益的数率为定值时，潜在效益也为定值，潜在效益仅是率的函数，这样为了便于问题的求解，就令 k2 0 ，需要的说明的是这不是说对潜在效益不重视，只是仅为了便于问题的求解。个人的就业效益值可以他的工资来衡量，并认为一位100 元，即S=100 。此时可以简便地令 k1 k3 1。和r各商区各 MS 的率 应该相等， 值大 MS 的一天的工资为额就高，但 值过大效应，暂且规定 10% 。会产生很多 c / r根据已统计的结果可以很快计算出cj 202 ，当 1时令 2 e j 0 ，即可解得r=140。a,b,c和d基于对附近小 MS 每天人流量的

50、和体育馆周边商区的商圈大小，我们认为小 MS 的标准容量 a 1000 ，大 MS 的标准容量 b 8000 ，小 MS 可以提供的就业岗位c 20 ，大 MS 可以提供的就业岗位 d 100 。c和cMS 的天折旧费用，考虑实际情况，暂令 c 10000,这两个参数分别为c 200000。（3）模型求解的结果通过分析可以知道，该模型是一个非线性整数规划问题。其中，约束条件(3)、 (4)要求 a xi Ni 和b yi Ni ，这和约束条件(1) Ni a xi b yi 在一定程度上是的，导致大大缩小了解空间；约束条件(2)要求各商区 MS 总数的方差要在一定范围内，但是由于各商区的总人流

51、量不等，最大的是 278096，最小的仅 60000，因此要同时满足约束条件(1)、(2)，解空间就会变得很不规则，所以这个问题的求解是比较在实际求解中，找到最优解非常的。采用的是 LINGO，通过几次程序运行发现，要，有时需要连续计算一个以上，而找到可行解则花费的时间比较少，并且迭代一段时间之后，目标函数值仅在一个较小的区域内发生变化，并且和最优的目标函数值相差无几，通过中断求解过程发现这时的解和最优解差别也不大，所以认为采用得到可行解后迭代至目标函数变化不明显时的解来代替最优解是合理的，可以接受的。下面一小部分解及目标函数值就是在这种情况下得到的。k1 1 ， k3 1， c 10000,

52、首先在一组假设的初始条件：a=1000,b=8000,c 200000 ，c=20，d=100，S=100， 0.1， I =800，t=1.5， b 1， b 6 下12求得的最优解见表 8。表 8 MS 网点设计布局方案表为了给出一种比较好的 MS 网络设计方案，对几个重要参数t、cb、b2 ，分别赋予不同的值求解以进行比较，比较的结果见下图：图 6 目标函数值对不同参数的灵敏度图(注：虽然这几张图的趋势还在不断上升中，但出于符合实际情况的考虑，仅把参数限制在这样的范围内，不再扩大调整范围。)从上图可知，几种变化趋势大体上都是目标函数值随自变量增加而增加的。选择使目标函数最大的一组参数 a

53、=2000,b=12000, k1 1 ， k3 1 ，所以，A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10小 MS大 MS663842476047604742371289101029101098B1B2B3B4B5B6C1C 2C3C 4小 MS大 MS34354436346130305330768671455105c 10000, c 200000，c=20，d=100，S=100， 0.1， I =1024，t=2， b 1，1b2 10 ，对应的最优解见表 9。表 9 目标函数值最大时是对应的MS 设置方案六、MS 网点设置定义 1：以各商区的大小两种 MS 的数量A (xi , yi )

54、 i 1, 2, 20定义 2：以下条件统称为商区设置条件：Ni xia yib tNi的建立的集合称之为商区设置集合，即2i20(xi yi ) i10 xy i1 I ii20 i1 x , y 0ii定义 3：满足商区设置条件的商区设置集合称为商区设置的解集（解空间），即：s (xi , yi ),i 1, 2, 20 (xi , yi )满足商区设置条件解空间中使目标函数最大的解称为最优解集。引理 1：商区的人流密度与人们消费档次的密度态分布。引理 2：最优解集具有固定性，不具有对称性和轮换性，当且仅当各商区的所有，主要是人流密度相同时，此时的具有对称性和轮换性。证明：假设解集 x1，

55、y1 x2，y2 是以下规划函数的最优解：maxn1c x1c y1c n2c x2c y2cx1a y1b n1s.t x2a y2b n2n n 12对上述目标函数的解作轮换后，假如可行，那么目标函数值不变，则有：A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10小 MS大 MS4530334040324040333064445185444B1B2B3B4B5B6C1C 2C3C 4小 MS大 MS303032303039303037203343383352x1a y1b n1x a y b n222此时会有（a x2 x1） （b y2 y1） 0（a x1 x2） （b y1 y2） 0于是得

56、到x2 x1 ， y2 y1这就意味着原解集中的解都相等。所以当这些解不相等时，这种轮换是不合理的。引理 3：若小 MS 的标准容量为 a ，大商圈的标准容量为b ，则大小 MS 商圈的b半径之比为。a3 则知，小 MS 的商圈半径为证明：由DxyD xba1 则大 MS 的商圈半径为baD1xyD D（1 ）yxybaba1 1 则Dx Dyba根据 MS 职能及分布规律，可对 MS 进行性质上的分类。定义 4：全能 MS 是指那些经营商品类型齐全，品种多的 MS，用U 表示。定义 5：互补 MS 指 MS 具有互补性的两个或多个无竞争 MS，用V 表示。定义 6：互斥 MS 指商品相同或相

57、近的两个或多个具有竞争性的 MS，用W 表示。引理 4：设Ui ，Vi ，Wi ， i 1，2，分别表示一个商区内全能、互补、互斥 MS 的商圈半径， D（A，B）表示 A、B 两 MS 的圆心距。则合理的商圈布置的充要条件是：2Ui d Ui，Uj 2Vi d Vi，Vj d Wi，Wj 2WiUi Vi d Ui，Vi Ui d Ui，Wi WiV W d V，W iiii以上的引理是基于 MS 的布局原理而得到的，椐此引理还到以下几个推论。推论 1：同性 MS 必为互斥 MS。大 MS 一般经营商品的品种齐全，所以大 MS 都为全能 MS，为此得到推论2。推论 2：大 MS 必为互斥 M

58、S，大小 MS 必为互斥 MS，小 MS 间既可以是互补MS，也可以是互斥 MS。引理 5：商区内 MS 布局的最优方案应满足所有大 MS 的间距尽可能大，它们的商圈无重合；大 MS 和小 MS 的商圈无重合；小 MS 的商圈可以有一定程度的重合。引理 6：最优的布局中，各大 MS 的空间距离及圆心间的距离相等。证明：现设某商区的总商圈大小为 s ，由于大商圈的商圈规划在很大程度上体现了整个商圈的规划水平，所以忽略小 MS 的存在，假定商区各大 MS 的商圈为 si ，则有都是大 MS，设si由重要不等式得 sin当且仅当 s1 s2 sn 时等式才成立。由于几何平均值可以表示各 MS 的综合

59、效益，所以当各值相等，也就是各大 MS 的商圈效益最大，此时商区内任何两个大 MS 的圆心距都相等。相等时，各大 MS 的综合七、商区布局规划的数学模型1. 模型的建立基于以上的理论发现对商区内 MS 的布局也可以建立规划模型来求解。设长方形商区的长为l ，宽为l ，且以长方形的左下角为圆心建立坐标系，并记 MS 的圆心坐标为 （li，li），如图 7 所示。现在问题可简述为在如图 7 的长方形区域内，有 xi 个半径为 r 的小圆，有 yi个半径为 R 的大圆，现将这些圆放在长方形区域内，使各大圆之间的圆心距近似相等且尽可能地大，且使小圆与大圆之间无重合。图 7商区布局示意图定义：l2 il

60、 l l l 2 iil l l l 2 i222l l lg y1y2y1y2y1y3y1y3y2y3y2y3以 g 为目标函数的好处是既满足各大圆之间的圆心距近似相等也满足让它以 g 的最大为目标函数建立以下的规划模型：们都尽可能地大，所以max：gR lyi l RR l l Ryir l l rxis.t r lyi l rl l l l 2R，i j22yiyjyiyjl l l l R F22xiyjxiyj2. 模型的求解方案一：有的模拟退火算法在本方案中，为了简化问题，首先仅考虑大商圈的布局问题，之后可以根据小商店所经营的商品类型在与大商圈相切的进行安排，以满足适度的聚集放大效