线性代数5第五章矩阵的特征值与特征向量

1、第五章 矩阵的特征值与特征向量5.1 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量定义及求解方法 5.2 相似矩阵与矩阵可相似对角化的条件 利用矩阵的特征值和特征向量使矩阵变为对角形5.3 实对称矩阵的对角化 探讨实对称矩阵的特征值和特征向量的特点 及化对角形的状况5.1 矩阵的特征值和特征向量一、定义与性质定义1 设A是数域F上的n阶矩阵，如果存在 ， n维非零向量 ，使得 成立，则称 为A的特征值， 为A的属于特征值 的特征向量.例如 矩阵 ,有 使得使得【思考】A非方阵能否做到?【注】1定义1中的A必为n阶方阵;2要求 ，是因为如果 ，对任意A与 都有 ，没有研究价值.特征向量的性质（

2、1）如果 为A的属于特征值 的特征向量，则 也是.（2） 为A的属于特征值 的特征向量，则 也是.属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量二、特征值与特征向量的计算方法 定义2 称 为 的特征矩阵； 为A的特征多项式；为A的特征方程. n阶矩阵A的特征多项式是齐次线性方程组 的非零解 . 是A 的特征值, 是 A的属于特征值 的特征向量 定理是特征方程 的根；【说明】n阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的值，即满足的都是方阵的特征值解第一步: 写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例1 求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程

3、组求非零解.齐次线性方程组为当 时，系数矩阵自由未知量:令 得基础解系:常数)是对应于的全部特征向量.保证特征向量为非零向量齐次线性方程组为当 时，得基础解系常数)是对应于的全部特征向量.例2（1）求 的特征值和特征向量.解A的属于 的全部特征向量为（二重根）A的属于 的全部特征向量为 （ 不同时为0）【思考】 线性相关否?线性无关!【结论2】矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.【注】特征值可以是多重根, 对应的齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数不超过重数.【结论1】矩阵A的各特征值对应的齐次线性方程组的基础解系构成的向量组线性无关.例2（2）求 的特征值和特征向量.【说明1】矩阵

4、的特征值的状况会因数域不同而不同,但是在复数域中,n阶矩阵一定有n个特征值(包括重数).则A的属于特征值2i的全部特征向量为(k1为非零复数)则A的属于特征值-2i的全部特征向量为(k2为非零复数)求A的特征值和特征向量的步骤:1.求特征方程 全部根，即全部特征值；2.对每一个特征值 ，求齐次方程组 的基础解系 ，则属于 的全部特征向量为 【说明2】 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言，一个特征值对应的特征向量有无穷多个;但一个特征向量只能属于一个的特征值事实上,例3 求常用矩阵的特征值（1）n阶零阵，单位阵，对角阵的特征值n阶零阵特征值全为0；单位阵特征值全为1；对角阵的特征值为对角线

5、上元素.特征向量特征值非零n维向量均为零阵和单位阵的特征向量!（2）设A的特征值为 ,A的属于特征值 的特征向量为 ，分析 ( 为非负整数), , 的特征值.（3）A与AT有相同的特征值.(但同一特征值所属的特征向量却不一定相同.)例4 当 ，称A为幂等阵.（1）A的特征值只能为 0 或 1；（2）若A非O非E，则0和1都是特征值.三、特征值与矩阵A的关系（复数域上讨论）以二阶矩阵 为例分析特征多项式系数的规律为 的n次多项式 项系数为1；项系数为 ；常数项系数n阶矩阵A的特征多项式在复数域上，n阶矩阵A有n个特征值（含重数）项系数为 ；常数项系数为 .称为矩阵的迹，记作 ，则 n阶矩阵A的主

6、对角线元素之和在实数域上,必须将A的所有n个特征值(包括重根)都找到才成立!矩阵迹的性质（1）（2）（3）（4）可乘，方阵【说明】(4)尽管矩阵乘法不满足交换律,即但是它们的迹却相等.【说明】 性质(4)推广到三个矩阵乘积并不是可以任意交换的,仅当分解为两个因式乘积时,交换后才有迹相等.性质(4)的应用例5 证明: n阶矩阵A可逆 A的任一特征值都不为零.例6 若 是A的特征值, 为 的特征向量,证明: 若A可逆,则 是 的特征值.例7 设三阶可逆矩阵A的特征值为1, 2, 3,求由例3(2)结论知的特征值是基本概念 特征值、特征向量、 特征矩阵、特征多项式、特征方程基本结论基本方法 求矩阵的特征值、特征向量； 判断是否为特征值、特征向量.特征向量的性质 是 的特征值 是 的属于特