线性代数国际商学院主席团课件5

1、第五章矩阵的特征值与特征向量引言特征值与特征向量是线性代数乃至若干分支的基本而重要的概念。其在经济理论与实践中有着广泛的应用。例如化矩阵为对角阵等。第五章矩阵的特征值与特征向量 5.1 5.2 5.3方阵的特征值和特征向量相似矩阵与矩阵可对角化条件实对称矩阵的对角化5.1方阵的特征值和特征向量教学纲目一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的计算方法三、特征值和特征向量的性质四、矩阵的特征值与特征多项式系数的关系教学要求1、理解与掌握特征值与特征向量的定义;2、掌握特征值与特征向量的计算方法;3、理解与掌握相关矩阵间特征值和特征向量的关系;4、理解与掌握矩阵特征值与特征多项式系数的关系。

2、引言设A是方阵，可以求Am吗？如果有可逆矩阵P，使P-1AP=B，并且Bm容易计算，则Am=(PBP-1)m=(PBP-1)(PBP-1)(PBP-1)=PBmP-1，于是Am也就比较容易计算了。为了寻求简单的矩阵B(Bm容易计算)，就需要研究形如P-1AP的矩阵。然而如果P-1AP=kE，则A=P(kE)P-1=kE。说明数量矩阵只与自己有这种关系P-1(kE)AP=kE。下面再可考虑的简单矩阵就是对角矩阵了。对于数域K上的n阶矩阵A，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=diag(1, , n)AP=P，令P=1, 2, n 1A( , , )=( , , )=( , , )1n1n1n(A1

3、, A2, An)=(11, 22, nn)，n Kn中有n个线性无关的列向量1, 2, n，使得A1=11, A2=22, An=nn，其中1, 2, nK。一、特征值与特征向量的定义与性质定义1 设A是数域F上的n阶方阵，如果对于数域F的数0，存在非零n维列向量，使得A=0，则称0是方阵A的一个特征值(eigenvalue)，为方阵A的属于特征值0的一个特征向量(eigenvector)。 ac bc a例如A ba ，满足 cb ac 11bc a ba 1 (a b c) 1, cb 11 1所以(a+b+c)为A一个特征值，1为相应的特征向量。1 由定义，(1)若是方阵A的属于特征值

4、的特征向量，k为任意非零常数，则k也为A的属于特征值的特征向量。【证】由题设, O, A=,故对kR,k0,kO，于是 A(k)=k(A)=k()=(k)表明非零向量k也为A的属于特征值的特征向量。【注】矩阵的属于同一特征值的特征向量有无穷多个。(2)若1, 2是方阵A的属于特征值的特征向量，且1+2O，则1+2也为A的属于特征值的特征向量。2O, A1=1，A2=2，【证】由题设, 1O,A(1+2)=(A1)+(A2)=(1+2)。于是【注】A的属于特征值的特征向量1, 2, , m的非零线性组合k11+k22+kmm也是A的属于特征值的特征向量。(3) 一个特征向量只能属于一个特征值。【

5、证】设O满足 ，A=1，A=2，则(1-2)=O，又 O，则1=2。(4)设1与2为A的分别属于不同特征值1, 2的特征向量，则1+2不是A的特征向量。【证】假设1+2是A的特征向量，其对应的特征值为，则有A(1+2)=(1+2)，又A1=11, A2=22，A(1+2)=A1+A2=11+22，11+22=(1+2)，(1-)1+(2-)2=O,所以即因为12，所以1-与2-不同时为零，从而1与2线性相关，因此若1=k2，则1=k2也是2对应的特征向量,或者若2=l1，则2=l1也是1对应的特征向量,！【注】矩阵的属于不同特征值的特征向量的非零线性组合不再是A的特征向量。二、特征值与特征向量

6、的计算方法设A是数域F上的n阶方阵，如果0是方阵A的一个特征值，为方阵A的属于特征值0的特征向量，则A=0,(O)，(0E-A)=O,方程组(0EA)X=O的非零解，0E-A=0。因 O，即是则系数行列式反之，若数1，使1E-A=0，则(1E-A)X=O，有非零解，设为一非零解，则(1E-A)=O，线性方程组A=1，即说明1为A的特征值，为A属于特征值1的特征向量。定理5.1 设A是n阶矩阵，则0是A的特征值，是A的属于特征值0的特征向量的充分必要条件是0是方程|E-A|=0的根，线性方程组(0E-A)X=O的非零解。是【注】定理5.1提供了求特征值与特征向量的方法。一般地，设是一个未知量，A

7、为n阶方阵，则称E-A为A的特征矩阵(eigenmatrix)， a11a12 a22an 2a1n a2na21an1(E - A) 。 ann |E-A|为A的特征多项式(eigenpolynomial)， a11 a21an1a12 a22an2a1n a2n annE - A =(-a11)(-a22)(-ann)-a12a21(-a33)(-ann)+【注】A的特征多项式E-A是关于的n次多项式。E-A=0为A的特征方程。 a11 a21an1a12 a22an 2a1n a2n annE - A 0，其根为矩阵A的全部特征值，即E-A=n-(a11+a22+ann)n-1+=0。定

8、理5.1设A是数域K上的n级矩阵，则(1)0是A的一个特征值当且仅当0是A的特征多项式E-A在数域K中的根；(2)是A的属于0的一个特征向量当且仅当是性方程组(0E-A)X=O的一个非零解。线 110 求矩阵 A 40 的特征值与特征向量。30例12 1【解】矩阵A的特征多项式为 (1) 411 3000 2 ( 2)( 1)2，E - A 所以A的全部特征值为1=2,2=3=1。对应特征值1=2,线性方程组 (2E-A)X=O，解对系数矩阵施以初等行变换，11 0 30 10 0102E A 40 00 , 10 00 0 得基础解系 =20A，所以属于特征值的全部11 1 0k10，(k1

9、为任意非零常数).1特征向量为k1 1对应特征值2=3=1,线性方程组 (E-A)X=O,解对系数矩阵施以初等行变换，12 0 20 11 010E-A 40 02 , 11 00 1 -2 ,得基础解系所以A的属于特征值 = =1的223 1 1 k2 2全部特征向量为k，(k 为任意非零常数)。2221【注】(1)对应特征值为2=3=1,其线性无关的特征向量仅1个，A的对应特征值2=3=1的线性无关的特征向量的个数小于其重数个。(2)显然属于不同特征值的特征向量1, 2是线性无关的，数小于其重数个: 1 0 0 , 2 .12 1 1 求数域K上矩阵A的特征值和特征向量的步骤:计算A的特征

10、多项式 |E-A|；令|E-A|=0, 求出A在数域K中的全部特征值1, ,m，(3) 对于A的每一个特征值i，求解(iE-A)X=O,得一基础解系1, 2, n-r，则A的属于特征值i的全部特征向量为k11+k22+kn-rn-r,其中k1, k2, kn-r是数域K上的不全为零任意常数。线性方程组 211210，设A 0例2 43求A的特征值与特征向量；求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。【解】(1)矩阵A的特征多项式为 2041 211 0 3 ( 1) 22，E A 得A的全部特征值为1=-1, 2=3=2，对应特征值1=-1,线性方程组(-E-A)X=O，解对系数矩阵施以行变换,

11、13111 1 1010E A 00 00 , 44 00 1得基础解系0的属于特征值 =-1，所以A的11 1 1 0 全部特征向量为 k k，(k 为任意非零常数)。1 111 1 对应特征值2=3=2, 解方程组(2E-A)X=O, 对系数矩阵1 0111 001 4 4施以行变换2E A 00 00 , 41 00 得基础解系为： 1 0 , 0 123 1 4 所以A的属于特征值2=3=2的全部特征向量为 0 1 1 k0(k2, k3为任意常数且不全为零。)k k k2 322331 4【注】(1)可知对应于特征值2=3=2的特征向量2, 3是 线性无关的，即A的对应重数为2的特征

12、值的线性无关的特征向量的个数等于其重数个。(2)可以证明特征向量1, 2, 3是线性无关的，即A有3个线性无关的特征向量: 1 0 1 0 ， 1 , 0 .123 1 1 4 【解】(2)因3阶矩阵A有3个线性无关的特征向量，即A1=11，A2=22，A3=33，令P=(1 2 3)，则P可逆， 1) ,A()=( )=(2123112233123 13 1AP=P ，即P1AP .223 3 【注】若A有3个线性无关的特征向量, 则A可化为对角阵。一般地，若n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A1=11，A2=22，, An=nn，则令P=(1 2 n)，则P可逆， 1) ,A( )=(

13、 )=( 12n11nn12nn 1 1AP=P ， 即P1AP .nn 【注】若A有n个线性无关的特征向量, 则A可化为对角阵。1,A 1例3 设11 如果把A看成实数域R上的矩阵，A有没有特征值？如果把A看成复数域C上的矩阵，求A的全部特征值。【解】A的特征多项式为 E A 11 2 2 2, 11由于判别式=(-2)2-412=-40, 因此2-2+2没有实根，从而实数域上的矩阵A没有特征值。复数域C上矩阵A的全部特征值为1+i, 1-i。三、特征值与特征向量的性质设为A的一个特征值, 为A的属于的特征向量，则10 k(kK)是kA的一个特征值, 为特征向量。【证】 (kA)=k(A)=

14、(k)。20 m是Am(m为正整数)的一个特征值, 为特征向量。【证】 Am =Am-1(A)=Am-1=Am-2(A)= m。30 若A可逆, -1是A-1的一个特征值，为特征向量。【证】因A可逆，则0，否则=OA-1 =-1。【注】可逆矩阵的特征值都是非零数。！于是40 若A可逆，-1|A|是A*的一个特征值，为特征向量。【证】因A可逆，所以A*=|A|A-1，于是A*=|A|A-1=|A|(A-1)=|A|-1。50 设(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0,A的多项式(A)为(A)=amAm+am-1Am-1+a1A+a0E则()是(A)的一个特征值，为特征向量。【证】(A)

15、=(amAm+am-1Am-1+a1A+a0E)=am(Am) +am-1(Am-1)+a1(A)+a0(E)=am(m) +am-1(m-1)+a1()+a0()=(amm +am-1m-1+a1+a0)=()。60 矩阵AT与A有相同的特征多项式和特征值。|E-AT|=|(E-A)T|=|(E-A)|。【注】A和AT的特征向量未必相同。例3 设4阶方阵A满足：3E+A=0, AAT=2E, A0，求A的一个特征值。【解】由3E+A=0，即|-3E-A|=0，因此-3是A的一个特征值，则A的一个特征值为 A /-3。由AAT=2E知， |A|2=16，又A0，知|A|=-4，于是A的一个特征

16、值为 4/3 。【注】若A的行列式A=0=0E-A=0，则A有特征值0。例4幂等矩阵的特征值只能是0 或 1。【证】设A2=A，是A的特征值，是对应的特征向量，A= (O), A(A)=A()=(A)=2，即 A2=2,又 A2=A =,所以 2 =， (2-)=0，又O，所以2-=0,=0 或 =1。则【注】0, 1只是幂等矩阵特征值的取值范围。例如 00 10 10 0 ， 00 ， 0 01 都是幂等矩阵，但其特征值却分别为1=0, 2=0，1=1, 2=0，1=1, 2=1。【注】对角矩阵的全部特征值为主对角线的全部元素。设A= (O) ，则(A)=()，若(A)=O，则()=O，又O

17、,则 ()=0，即(A)=O ()=0.若A2-E=O(A为对合矩阵) ，即(A)=A2-E=O，故()=2-1=0 =1 或 =-1。又若Am=O(m为正整数, A为幂零矩阵)，故()=m=0 =0。【注】幂等/对合/幂零矩阵的特征值分别为1或0/1或-1/0。四、矩阵的特征值与特征多项式系数的关系例设二阶矩阵aa12A 11， a21a22 A的特征多项式为E A a11 a12 a22 a21 2 (a a) (aaaa)，112211221221即A的特征多项式为的二次多项式，设其为f ()，f()=|E-A|=2-(a11+a22)+(a11a22-a12a21)，设A在数域K上有两

18、个特征值1, 2，则1+2=a11+a22,12=a11a22-a12a21=A。对于n级矩阵A，任取k个行和同序号的k个列，位于交叉位置的元素组成的k阶子式称为A的k阶主子式，记作 A i1 , i2 , ik1kn。 i , i , i，其中 12k 命题1设A是数域K上的n级矩阵，则A的特征多项式E-A是的n次多项式，其中n的系数是1；n-1的系数等于-tr(A)(tr(A)是A主对角线上的元素和)；n-k的系数为A的所有k阶主子式的和乘以(-1)k, 1kn。常数项为(-1)nA。下面仅对n=3的情形写出证明, 至于一般情形, 证法同。【证】设A=(aij)是3级矩阵，则 a110 a

19、210 a310 a12 a220 a320 a130 a23 a33 E A ,依行列式的性质3，上述行列式可拆成8个行列式的和：000000a13a23a33a12a22a32a11a21a310000000000 ,0 ,0 ,它们的值依次是3,-a332,-a222,-a112，00a12a22a32a13a23a33a11a21a31a13a23a33a11a21a31a12a22a32a11a21a31a12a22a32a13a23a33000,0 ,它们的值依次是(1)2 A 2, 3 ,(1)2 A1, 3 ,(1)2 A1, 2 ,(1)3A , 2, 31, 31, 2 因此3的系数是1；2的系数等于-tr(A)；1, 2 2, 31, 3(21)AAA;的系数等于1, 2 2, 31, 3常数项为(-1)3A。矩阵A=(aij)nn的特征多项式：f()=|E-A|=n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)nA,代数学的基本定理：任何n次多项式有且仅有n个复根。如果A为n阶实矩阵，则它有n个复特征值。在数域K中的特征值的个数m应满足：0mn。数域K上矩阵A的特征值与特征多项式的系数的关系？3阶