从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路

1、从应用题到数量关系：小学数学问题解决能力培养的新思路问题解决是数学学习的核心。许多数学教育专家都把问题解决能力的培养作为数学教育的核心目标之一。从波利亚（G.Polya）的怎样解题到克鲁捷茨基的中小学生数学能力心理学，从哈尔莫斯（P.Halmos）提出“问题数学的心脏”到国际数学教育改把问题解决作为重要议题来研究，许多和地区的课程标准都把解决问题或问题解决能力作为重要的培养目标。问题解决成为近几十年来数学课程改中的重点。义务教育数学课程标准（2011年版）（以下简称标准（2011）指出“：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”

2、数学教育的根本任务在于帮助学生用数学的眼光发现问题，用数学的思维思考问题，用数学的方法解决问题。问题解决能力是学生的重要核心素养，问题解决能力的培养是数学教育的重要任务。回顾我国小学数学教育的发展，一直把培养学生的问题解决能力作为重要的目标之一。几十年来，对于培养学生问题解决能力进行了不懈的探索和实践。但是，在具体的设计与实施的过程中经历了曲折的历程，问题解决能力的培养并未得到很好的落实。小学数学教学中如何培养学生的数学问题解决能力是一个需要重点关注的问题。本文旨在探寻数学问题解决的设计与落实，从而引起小学数学教师对其足够的重视。一、从过度模式化到去“应用题”：数学问题解决能力从形式化到虚化“

3、应用题”作为小学数学内容的一个领域，在我国的小学数学教学大纲中设置了多年，是小学数学课程与教学的重要组成部分，形成了一个较为完整的课程与教学体系。小学数学教学中，应用题教学作为培养学生解决问题能力的重要载体，积累了丰富的经验。从20世纪50年代到90年代末，小学数学教育界持续对应用题教学进行了研究与实践，形成了一套较为完整的结构体系和教学方法。应用题教学是数学与实际问题相结合的一种形式，在一定程度上培养了学生解决问题的能力。然而，在几十年的演变过程中，应用题教学的理念与价值不断转变，逐渐形成了一套固定的思考模式和解题模式。以至于将应用题的类型机械地归结为11种，解题模式从一步应用题，到两步应用

4、题（复合应用题），再到典型应用题，形成了一种“程式化”的解题套路。面对复杂的现实问题和真实问题时，学生提出问题和解决问题的能力没有真正得到发展，使应用题的教学陷入困境，学生的问题解决能力没有得到切实的培养。数学问题解决更强调真实情境，需要借助生活经验，考虑生活情境或数学情境的因素，培养发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。数学问题解决能力的培养可以帮助学生理解现实生活中的数学，让学生获得与自己生活息息相关的数学知识，激发学生学习数学的兴趣。应用题教学的过度模式化，导致学生接受更多的是经过简化的模式化的“应用题”，与学生的生活相去甚远。一些教材和教学方法也不乏出现模式化的、简化处理的“应

5、用题”，学生在解决这样的问题时，往往可以根据所给的数与条件，用相对固定的模式去分析，将其转化为数学运算加以解决，从而导致学生形成一种简化的甚至僵化的数学观。例如，数学就是数字、公式、法则、计算，与具体的生活或数学情境无关；数学题中所有的条件和数必须全部使用才能解决一个问题。学生经过一定时期此类解题规训之后，在利用数学知识解决实际问题中，依然追求解题步骤与“正确”答案的获得，对其并无益处。应用题的教学慢慢脱离了数学解决问题的本质，片面强调答案的唯一性，不再服务于学生数学思维的提升与问题解决能力的培养，抑制了学生的创新能力与应用意识。针对应用题教学存在的弊端，2001年颁布的义务教育数学课程标准（

6、实验稿）（以下简称标准（实验稿）将应用题这一领域取消，试图将解决问题融入小学数学“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域的教学之中，如在概念教学、计算教学中强调问题情境的引入，使学生在学习概念、运算等问题时提高分析解决问题的能力。数学问题解决能力依然是小学数学教育的重要目标。然而，这种处理方式是否可以保障学生解决问题能力的培养目标，始终是一个值得研究的问题。事实上，这种去模式化的处理在一定程度上也去掉了解决问题能力培养的载体。某一个内容的教学只能重点关注这一内容的核心知识的数学本质，以及与其相应的思维方法和关键能力，不能赋予一个内容更多的核心目标。例如，学习数的运算时，重

7、点在于理解算理和算法，蕴含着推理能力的培养，而不能把引入运算时的问题情境作为培养学生问题解决能力的载体。因此，标准（实验稿）推行的10年里，解决问题这一目标的落实效果不尽如人意。2005年讨论标准（实验稿）时曾提出这样的问题，有学者也提出“通过一轮的课改实验，解决问题的成果已初见成效，当然还存在不少有待研究的问题”。也有相关的文章论述，但并没有引起人们的注意，也没有采取有效的措施和方法。标准（2011）将目标中的“解决问题”改为“问题解决”，意在更加强调问题解决在小学数学课程教学中的重要地位，数学问题解决能力也成为新课程标准中的亮点之一。在课程内容的设计上，增加了常见数量关系的内容，把路程=速

8、度时间，总价=单价数量这两类数量关系列在课程标准之中。一些教材中也编入解题策略等栏目。但这样的处理方式并没有从根本上解决对学生问题解决能力培养的问题，因为没有具体的系统的课程内容作为问题解决的支撑。二、数学核心内容作为数学能力培养的载体：数学课程教学改的新思路众所周知，学生数学能力的培养，乃至数学核心素养的发展离不开数学本体知识。而小学数学本体知识的结构是什么，本体知识与学生能力和素养的发展是怎样的关系，是需要认真研究的问题。2000年以前的教学大纲，小学数学内容基本上分为8个方面，其中包括应用题，如1992年的教学大纲，小学数学内容包括数与计算、量与计量、几何初步知识、统计初步知识、代数初步

9、知识、应用题、比和比例、实践活动等；2001年的课程标准将数学内容分为四个领域，经2011年修改后，四个领域为数与代数、图形与几何、统计与概率和综合与实践，每个领域内又分为若干内容。可是，这种划分过于笼统，没有突出数学内容及其认知方式的本质特征。因而，很难将某一部分的内容重点与培养学生哪方面的能力之间建立联系。按照数学核心内容重整数学学科的内容体系，为解决这一问题提供了一个新的思路。所谓数学核心内容，是数学学科中具有共同要素的主要内容或关键内容，这些内容是联系数学学科中各部分的中心和纽带。数学核心内容在学科本质上有共同性，在思维方式上有同一性，在学习方式上具有共同特征，在教学设计上具有一致的核

10、心要素。例如，“数的认识”是一类具有共同本质特征的内容，包括整数、小数、分数、有理数的认识等，这些内容在学科本质上都具有抽象的特征，自然数的认识是从数量抽象为数，分数和有理数是对具体的数量或关系的抽象表达。“数的运算”与“数的认识”在这些方面的特征有很大不同。因此，“数与计算”不适合作为一类内容呈现，“数与代数”也不是具有此核心要素的内容。2017年11月教育部印发的中小学幼儿园教师培训课程指导标准（义务教育数学学科教学）在标准（2011）中涉及的4个领域基础上，将小学数学核心内容归纳为8个方面，即数与符号的认识、数的运算、数量关系、图形的认识与测量、图形的运动与位置、数据收集、整理与表达、随

11、机事件与可能性、综合与实践等。这样对数学核心内容的整理，是对数学教师培训体系改的一次新尝试。这样的设计对我们思考小学数学课程的核心内容，进而将“数量关系”作为核心内容与问题解决能力的培养建立联系有很大启示。基于这样的思考，小学数学可以分为9个方面的核心内容：数的认识、数的运算、数量关系、图形的认识、图形的测量、图形的运动与位置、数据的收集与整理、可能性、综合与实践。每一组核心内容都具有相对独立的数学本质，以及与其相对应的数学思维方式或关键能力。例如“，数的认识”与“图形的认识”重点在于抽象“，数的运算”与“图形的测量”重点在于推理“，数量关系”作为核心内容，重点在于问题解决能力的培养。这样使核

12、心内容与关键能力之间的联系更加清晰，从而实现问题解决能力的落地。当然，内容与能力之间存在交叉。三、从应用题到数量关系：数学问题解决能力培养的新抓手基于上述分析，将“数量关系”作为小学数学核心内容之一，指向学生问题解决能力的培养，可能是小学阶段落实问题解决能力培养目标的有效出路。“数量关系”这一组核心内容应当包括哪些内容，它们具体的内涵是什么，是一个需要厘清的问题。综合分析小学阶段的内容结构，以及数量关系这一核心内容的数学本质和功能，这部分内容主要应包括常见的数量关系（加法关系，乘法关系，植树问题等）、比和比例、简易方程等。常见的数量关系是直接反映数量关系的内容，以往的应用题也是建立在一些常见的

13、和典型的数量关系基础之上，标准（2011）也将两类乘法数量关系作为常见的数量关系呈现在标准之中。比和比例本质上是反映数量之间的关系。比是两组数量之间倍数关系的一种表达方式，两组数量可以是同类的量，也可以是不同类的量，但它们的关系是确定的。例如，32表达的不只是两个数3和2的关系，而是具有32这样关系的两组数，如6和4，15和10，30和20都有这样的关系。比例是反映两组数量相等的关系，表示两个比相等，小学的正比例和反比例与中学的函数是相通的，是典型的数量关系。方程是从现实世界到数学世界的一个提炼过程，实现了数学从数量关系到等量关系的转变，其本质在于利用数学的符号表达等价关系，方程思想集中体现在

14、建模与化归两个方面。因此，方程的结构包含了等量关系、代数式的运算结构以及等式变形的结构，是指“从语言表达抽象出来的一种形式”。这些内容与数学模型思想有密切关系，用合理的数学表达解释现实世界的数量关系。小学阶段将数量关系作为核心内容，应当包括这样一些内容。一是常见的数量关系，包括加法关系模型，主要是部分和整体的关系，部分+部分=整体；乘法关系模型，主要是路程=速度时间，总价=单价数量；植树问题等。二是比和比例，包括比的意义和性质、比例的意义及其应用等。三是简易方程，包括用字母表示数、简易方程等。这些内容构成小学数学学科内容体系中数量关系内容系列，第一学段主要安排加法模型中的数学问题，第二学段逐步增加其他方面的内容。把数量关系作为数学课程标准单独的一个核心内容，在教材编