双曲线知识点总结例题

1、（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支Fi, F2为两定点，P为一动点，（1）若|PF iHPF 2|二2a02a|FE|则动点P的轨迹是2a=|FE|则动点P的轨迹是2a=0则动点P的轨迹是（2）若|P F i|-|PF 2|=2a02a|FiF2|则动点P的轨迹是2a=|FiF2|则动点P的轨迹是2a=0则动点P的轨迹是3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点

2、 焦点 对称轴 对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距(1)焦点在y轴上的双曲线离心率e=范围 e 越大双曲线白开口越 e 越小双曲线 的开口越_渐近线 焦半径公式|PFi|=1, F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围 e 越大双曲线白开口越 e 越小双曲线 的开口越准线 渐近线 焦半径公式|PFi|二1PF2|= (F 1, F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭 圆上的一点).等轴双曲线：亡支三亚包特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直出二扫离心率为.共腕双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的

3、双曲线叫原双曲线 的共腕双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线m,一I的共腕双曲线是6.双曲线系(1)共焦点的双曲线的方程为|上“一1(0kc2,c为半焦距)(2)共渐近线的双曲线的方程为3b 例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”， 弄清是指 整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1： (x+4)2 + y2 = 2外切，与圆C2: (x 4)2 + y2 = 2内与双曲线 8一标叫有相同的隹点R, Fz, P是两条曲线的一个交点，则 |PF1| |PF2|的值是()切，求动圆圆心M的轨迹方程【例2】若椭圆【例3】已知双曲线L?红I与

4、点M (5, 3), F为右焦点，若双曲线上有一点P,使P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线a2b2=i有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2b2=t(tw0)； TOC o 1-5 h z _bx2 y2若双曲线的渐近线万程是y= ax,则双曲线的万程可表示为a2 b2 = t(twx2 y2x2 y20);与双曲线a2b2=1共焦点的万程可表示为a2kb2+k=1( bka);x2 y2过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m+ n =1(mnb0

5、)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2-入+b2-入=1( b2 入 a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2(1)与双曲线916=1有共同的渐近线，且过点(一3, 2);(2)与双曲线x6臂=1有公共焦点，且过点(3, 2).在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：m汉+ny2=1(mn0, b0)的右顶点为A, x轴上有一点Q2a, 0),若C上存在一点P,使平0,求此双曲线离心率的取值范围.x2 y2例6、【活学活用】3.（201

6、2北京期末检测）若双曲线a2 b2=1（a0, b0）的两个焦点分别为Fi、F2, P为双曲线 的离心率e的取值范围是.【例7】直线电双曲线导 声的右焦点,斜率上，则双曲线的离心率 e的范围是（） 斗 JA.eR3 B.1eIZU/回L L【例8】设题为双曲线点，且|PF| =3|PE| ,则该双曲线k=2.若皆与双曲线的两个交点分别在左右两支1 C.1 = 2x-3| D = 2x+3A.口.C.D.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以 用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：

7、【例12】在双曲线上，是否存在被点 M （1,1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法:练习1. （2011安徽高考）双曲线2x2y2=8的实轴长是（）A. 2D. 42. （2011山东高考）已知双曲线 既一b2=1（a0, b0）的两条渐近线均和圆C： x2+y26x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 （）x2 y2A. 5 - 4 = 1B.x2 y2 4-5=1C.x2 y23-6 = 1x2 y2D. 6 - 3 = 13.（2012嘉兴测试）如图，P是双曲线x24 一 y2=1右支

8、（在第一象限内）上的任意一点，A,A分别是左、右顶点， O是坐标原点，直线 之积kk2k3的取值范围是（）PA, PO PA的斜率分别为 k1, k2, k3,则斜率1A. (0,1) B .(0,8) C1 .(0,4)1D. (0, 2)4.（金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知 ABCW顶点A（ -5,0）和Q5,0）,顶点B在双曲线x2 y2sin B16- 9 =1 上，则 |sin A -sin C|3 A.2B.3C.4D.5x2 y25. P为双曲线916=1的右支上一点,M N分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x5)2+y2A. + 1 B. + 1 CA. 6 B .

9、 7 C . 8 D . 9=1上的点，则| PM | PN的最大值为（）.（2012南宁模拟）已知点E,F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PFFz为等腰直角三角形，则该双曲线的 离心率为（）D. 2.方程2x2m+|my2- 3=1表示双曲线.那么 m的取值范围是 . （2012大连测试）在双曲线 4x2-y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA - I OB=15,其中O为双曲线的中心，则 AB中点的轨迹方程是 .x2 y2b2 + 1.双曲线a2-b2=1（a0, b0）的离心率是2,则 3a的最小值是10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F

10、i( 3,0), 一条渐近线的 方程是x-2y= 0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(kw0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点 M N,且线段MN勺垂81直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2 ,求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：y = kx+m(kw0,亦0)与双曲线 C交于不同的两点 M N,且线段 MN的垂 直平分线过点 A(0 , 1),求实数m的取值范围.12已知中心在原点,顶点a、A在x轴上，离心率e的双曲线过点P(6,6)o (1)求双曲线方程目动直线l经过4APA

11、的重心G与双曲线交于不同的两点 M N问灯 是否存在直线l ,使G平分线段MN 证明你的结论7问过点A (1,1)能否作直线13.已知双曲线I!使U与双曲Z交于P、Q两点，并且线段PQ的中点？若存在，求出直线 片的方程，若不存在，说明理由14已知点N （1, 2）,过点N的直线交双曲线于A B两点，且(1)求,那么A B、G D四点直ZAB的方程；（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且田（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定

12、点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1, F2为两定点，P为一动点，（1）若|PF 1-|PF 2|二2a02a|FE|则动点P的轨迹是2a=|FE|则动点P的轨迹是2a=0则动点P的轨迹是（2）若|P F 1|-|PF 2|=2a02a|FF2|则动点P的轨迹是2a=尸正2|则动点P的轨迹是2a=0则动点P的轨迹是.双曲线的标准方程.双曲线的性质(1)焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围 e 越大双曲线白开口越 e 越小双曲线I: 准线 渐近线 焦半径公式|PFi|二 |PF2|= (F 1, F2分别为双曲线

13、的左右两焦点，P为椭圆上的(2)焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点 焦点 对称轴 对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围 e越大双曲线白开口越_e_ 越小双曲线的开口越准线 渐近线 焦半径公式|PFi|二1PF2|= (F 1, E分别为双曲线的下上两焦点，P为椭 圆上的一点).等轴双曲线：亡支二当包特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直匕上引离心率为.共腕双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线 的共腕双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线的共腕双曲线是6.双曲线系(3)共焦点的双曲线的方程为(0kc2,c为半焦距)(4)共渐近线的双曲线的方程为考

14、点1。双曲线的定义及应用在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”， 弄清是指 整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆Ci： (x+4)2 + y2 = 2外切，与圆C2: (x 4)2 + y2 = 2内切，求动圆圆心M的轨迹方程【自主解答】设动圆M的半径为r,则由已知|Mq=r + , 1Mq=r Fi, F2, P是两条曲线的一个交点，则 |PFi| |PF2|的值是)又 C( 4,0), G(4,0) , . | GG| =8, . .2). =l(jn 卜 n A【例1】若椭圆有相同的焦点m 郭I与双曲线I解析】椭圆的长半轴为匹二网十随卜

15、痴0)双曲线的实半轴为而二阀|-陷| = 2肾- (W金网喀I = 4( * G =四卜愿F【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键,故选A.【例2】已知双曲线y27与点M (5, 3), F为右焦点，若双曲线上有一点P,使最小，则P点的坐标为【分析】待求式中的?是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义【解析】双曲线的右焦点 F (6, 0),离心率|g = 2,右准线为.作MIfU于N,交双曲线右支于 P,附=用网=2冲曰网=附 2.止匕时连FP,则产比 | /打|= |MM|= 为最小.1,Z1 = 1927中，令，得/ = 12nx=致岳心口，二|取卜二

16、地点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应 a、b、c即可求得方程.待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法x2 y2与双曲线a2 b2= 1x2 y2有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 b2 = t (t W0)；若双曲线的渐近线方程是bx2 y2y=ax,则双曲线的方程可表示为a2 b2 = t(twx2 y20)；与双曲线a2b2x2 y222=1共焦点的方程可表示为a2kb2+k=l( bka)；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为x2 y2 m+ n = 1( mnb0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 x2入

17、+b2y2入=1( b2 入 0,4 + k0.将点(3, 2)代入得k = 4,且满足上面的不等式，所以双曲线方程为.在双曲线的标准方程中， 若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的, 那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.m)2+ ny2= 1( mn0, b0）的右顶点为A, x轴上有一点C（2a, 0）,若C上存在一点P,使空0,求此双曲线离心率的取值范围.【规范解答】设P点坐标为（x, y）,_AP PQ 则由f = 0,得 APXPQ即P点在以AQ为直径的圆上,3aax2 y2.(x2) +y=(2).又P点在双曲线上，得a2 b2 = 1.(a2+ b

18、2) x2 3a3x + 2 a4- a2b2= 0.即(a2+b2)x(2 a3 ab2)( x-a) =0.6 分当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去当2a3ab2 ,x= a2+b2时，满足题意的2a3 ab22222 c 6P点存在，需x= a2 + b2 a,化简得a 2b ,即3a 2c , a0, b 0）的两个焦点分别为F1、F2, P为双曲线上一点，且|PF|=3|PE|,则该双曲线 的离心率e的取值范围是./、曲口 |PF1| =3|PF2|解析：依题,苴、得|PF1| |PF2| =2a,c由此解得 | PF2| =ac a,即 c&2a, e= a2,即该双曲线的离

19、心率不超过2.又双曲线的离心率大于1,因此该双曲线的离心率e的取值范围是（1,2.【例5】直线小双曲线的右焦点，斜率k=2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支A.e上，则双曲线的离心率 e的范围是C.1RH【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握,但是和两条渐近线都有交点却很好掌握 .其二，因为已知直线的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与【解析】如图设直线的倾斜角为a ,双曲线渐近线I的倾斜角为0 .显然。当0 a时直线 国与双曲线的两之相交.故有如下妙解.个交点分别

20、在左右两支上月 。n tan 方 tan a n 2=,二双曲线中。a1.选D.【例6】设上的典为双曲线是该双曲线的两个焦点，若乡学国的面积为（C.12v5【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:.设;Yi畤上日居| = 4.v阕|R熙- S2 =侬=彳阳|-呢| =,漏*4 = 12七【例71过点（1, 3）且渐近线为的双曲线方程是史闻二讥忸闻二欢=F闻一愿| 二勿二工二二工故知 PFE是直角三角形，/ F1P F2=90 .B.【评注】解题中发现 PFF2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能 临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维 能

21、力，这正是命题人的高明之处渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有 .双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了 双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中【解析】设所求双曲线为.代入（1）:即为所求.【评注】在双曲线可以简洁地设待求双曲线为而无须考虑其实、虚轴的位置共羯双曲线一一虚、实易位的挛生弟兄9白的曲卜白】将双曲线h |的实、虚轴互易，所得双曲线方程为： 出 口 I.这两个双曲线就是互相共羯的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；

22、它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一 样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用 【例8两共羯双曲线的离心率分别为,证明:=1.【证明】双曲线的离心率考点5、直线与双曲线位置关系设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例:的一弦中点为(例9双曲线2,1),则此弦所在的直线方程为B.c.D.则有:二弦中点为(2, 1),：不工巧=4鼻二 2故直线的斜率【解析】设弦的两端分别为,一用=1旬 1年一区=1MT)一便一耳一无 X十忌,故选C.【例10】在双曲线则所求直线方程为:“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要

23、有可能，可以 用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子 .请看:上，是否存在被点 M (1,1)平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法:【错解】假定存在符合条件的弦AB,其两端分别为：A (X1, yO, B(X2, v2 .那么:jA =1二(天一丐)(3+丐)一不(M一事工)(此+当)=。(1)五氏二12. M (1, 1)为弦AB的中点,；:二代人仆2-i第2故存在符合条件的直线ab,其方程为：即 1y=2x-l这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了:其一

24、：将点M （1,1）代入方程2x3=2=2i3-4x+3 =0（2）这里-故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件此外，上述解法还疏忽了一点:只有当叫工巧 时才可能求出k=2.若/二马 必有.=% 二0说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件结论；不存在符合题设条件的直线练习（2011安徽高考）双曲线2x （2011山东高考）已知双曲线a2 b2=1（a0, b0）的两条渐近线均和圆C： x2+y26x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 （）y2=8的实轴长是（）A. 2B. 2C. 4D. 4解析：2x2y2=8化为标准形式:x2 y2 4-8=1,

25、a2 = 4.a = 2.，实轴长 2a= 4.x2 y2A. 5 - 4 = 1x2 y245 = 1x2 y236 = 1D.x26 一x2 y2解析：由题意得，a2-b2=1（ a0,b0）的两条渐近线方程为b y= ax,即bx ay= 0,又圆C的标准方程为:(x-3)2+y2=4,半径为2,圆心坐标为（3,0）.x2 y2的方程为5-4=1.a2+ b2= 32= 9,且a+|b2=2,解得 a2=5, b2 = 4.，该双曲线x23.（2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4y2= 1右支（在第一象限内）上的任意一点，A, A分别是左、右顶点，Q是坐标原点，直线PA, PQ PA的斜

26、率分别为ki, k2, k3,则斜率之积kik2k3的取值范围是（）A. (0,1) B . (0 ,18) C1 .(0,4)1(0, 2)y .解析：设 P(x, y),则x (0 ,12),且y3 y，2，4=4y(x0, y0) , .，k2k3= x(x2 4= 4xC (0 ,4.（金榜预测）在平面直角坐标系xQy中，已知 ABC勺顶点A 5,0)和 C(5,0),顶点B在双曲线3A.2B.3C.44D.5解析：由题意得a=4, b=3,c=5.A C为双曲线的焦点，II BCIBAI =8, |AC= 10.sin B由正弦定理得|sin A -sin C| = |BC|1ACI

27、baii10 5= 8=4.x2 y25. P为双曲线916=1的右支上一点， MN分别是圆(x+5)2+y2= 4 和(x 5)2+ y2x2 y2sin B16 9 = 1 上，则 |sin A -sin C| 为()=1上的点，则| PM | PN的最大值为（）A. 6 B . 7 C . 8 D . 9解析：易知两圆圆心为 Fi（5,0） , F2（5,0）.由双曲线方程 知a=3, b=4,则c=5,故两圆心恰好为双曲线的两个焦点.| PM | PN的最大值为如图所示的情况,即 | PM | PN w | PF| 十 | FiM (| PE| T NE|) =| PF| +2一 |

28、PF +1 = 2a+3=2X3 + 3=9.6. （2012南宁模拟）已知点Fi, F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若PFE为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A. + 1 B. + 1C. 2D. 2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，则| PF| -| PF| =2a. PFF2是等腰直角三角形，只能是/ PEF = 90 ,| PE| =| F1F2| =2c,| PF| =2a+ | PF| = 2a+2c, . . (2 a+2c)2=2 - (2 c)2,即 c 2ac a = 0,两边叵I除以 a ,得 e 2e 1=0. - e 1,，e=+1.7.方程2x

29、2m+ |my-3=1表示双曲线.那么 m的取值范围是 2 no 0,解析：注意分两种情况.一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上.依题意有|m|30,2 m0,得 rr3 或3v rr0, b0)的离心率是2,则 3a的最小值是 c c2 22b2+1 3a2+1113解析：a=2? a2=4? a + b = 4a? 3a =b，贝U 3a = 3a =a+3a23=3,133当a = 3a,即a= 3时取最小值3.10(2012肇庆模拟)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是Fi( 3,0), 一条渐近线的方程是x-2y= 0.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(kw0)为斜率的直线l与双曲

30、线C相交于两个不同的点M N,且线段MN勺垂81直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2 ,求k的取值范围.x2 y2a2=4,解：(1)设双曲线C的方程为a2b2=1(a0, b0),由题设得5解得b2 = 5.所以双曲线C的方程为：x2 y2(2)设直线 l 的方程为：4 - 5=1. y=kx + m(kw0),y2 x2 (kx + m则点Mxi, y1) , N(x2, y2)的坐标满足方程组=1,得4 5=1,整理得(5 -4k2)x2-8kmx- 4m20 = 0.此方程有两个不等实根，于是 5 4k2w0,且 = ( 8kn)2 + 4(5 4k2)(4 m+20)0,整理得

31、M+5 4k20.x1 + x2 4km由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x(), y()满足x0=2 = 5-4k2, y()= kx05m5m 1 4km+ f5 4k2,从而线段 MN勺垂直平分线的方程为y- 5-4k2=- k(x-5-4k2).此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为9km9m 1 9km 9m 81(5 - 4k2, 0) , (0 , 5-4k2),由题设可得 2|5 4k2| | 5 4k2| = 2 ,2 (5 4k2(5 4k22整理得m=|k|, kw0.将上式代入式得|k|+5-4k 0,55整理得(4 k -5)(4 k - | k| -5) 0, kw0,解得 0V | k| 4.5555所以 k 的取值范围是(8, - 4) U(-2, 0) U (0 , 2) U(4, +8 ).(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0