空间角(异面直线所成角,线面角,二面角)

1、C.60D.45小为（)A.90B.75C.60D.453.如图，在四棱锥PABCD中，ZABC=ZBAD=90,BC=2AD,PAB和APAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大第四讲空间角（异面直线所成角线面角二面角）A组题一、选择题1.下面正确的序号是两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.两异面直线夹角的范围是（0,900，直线与平面所成角的范围是0,900，二面角的范围是0，1800（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】对于，因为两异面直线夹角的范围是（0,90

2、0，而两直线的方向向量所成的角可能为钝角.所以错.对于，直线的方向向量和平面的法向量所成的角是直线与平面所成的角或其补角所以错.对于，两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角是这两个平面所成的角或其补角所以错.故选D.2.如图，在正方体ABCDABCD，中，AB的中点为M，DD，的中点为N,则异面直线BM与CN所成的角是（）.A.90。B.75。Dr【答案】A【解析】取AA的中点Q连接QN，BQ，且BQ与BM相交于点H，则QN綉AD綉BC，从而有四边形NQBC为平行四边形，所以NCQB,则有ZBHB为异面直线BM与CN所成的角.又TBB=BA,ZBBM=ZBAQ=90。，BM=AQ,.BB

3、MABAQ,AZMB，B=ZQBM.而ZBMB+ZMB，B=90。，从而ZBMB+ZQBM=90，AZMHB=90.故选A.【答案】A【解析】如图，过点B作直线BE#CD,交DA的延长线于点E,连接PE.ZPBE（或其补角）是异面直线CD与PB所成角.PAB和APAD都是等边三角形，ZPAD=60。，DA=PA=AB=PB=AE,AZPAE=120.设PA=AB=PB=AE=a，贝VPE=、:3a.又ZABC=ZBAD=90,.ZBAE=90,.BE=p2a,.在APBE中，PB2+BE2=PE2,AZPBE=90.即异面直线CD与PB所成角为90故选A.4.已知直四棱柱ABCDA1B1C1D

4、1中，底面ABCD为正方形，AA=2AB,E为AA的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）A.巫B.1C.迈D.3105105【答案】C【解析】如图，连接BA1，因为BA/CD,所以ZEBA是异面直线BE与CD所成角，设AB=1，则EB二扛A1E-1，A1B仝，作EF丄BA1,EF=AE-AB751=,AB51FB二竽,cosZEBA1=评选C.5.如图，三棱锥PABC中，PC丄平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD丄平面PAB,则异面直线AP与BC所成角的大小；A.90B.60C.75D.45F【答案】B【解法】TPC丄平面ABC，ABu平面ABC，.PC丄

5、AB.VCD丄平面PAB，ABu平面PAB,.CD丄AB.又PCCD=C，.AB丄平面PCB过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF.则ZPAF为异面直线PA与BC所成的角.由（I）可得AB丄BC，.CF丄AF,得PF丄AF.则AF=CF=2,pf=*PC2+CF2=,在RtAPFA中，tanZPAF=竺=空=v3,AFJ2异面直线PA与BC所成的角为60.选B.6.如图,正方形ABCD所在平面与正方形，ABEF所在平面成60。角，求异面直线AD与BF所成角的余弦值.A.4C.fD.32答案】A【解析】VCB#AD,.ZCBF为异面直线AD与BF所成的角.连接CF、CE设正方形ABCD

6、的边长为a，则BF=/2aCB丄AB,EB丄AB/.ZCEB为平面ABCD与平面ABEF所成的角,：ZCBE=Z60。:.CE=aFC=v/2a,：cosZCBF=计，选A.7.如图，已知棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形，且AA丄面ABCD,ZDAB二60。,11111AD=AA,F为棱AA的中点，M为线段BD的中点，则面BFD与面ABCD所成二1111面角的大小A30B45C60D90C1C【答案】C【解析】底面是菱形，二AC丄BD又BB丄面ABCD,ACu面ABCDAC丄BB.AC丄面BDDB又MF/ACMF丄面BDDB11111延长DF、DE交于点E，1F是AA的中点且ABCD是菱形D

7、A=AE=AB1又ZDAB二60o.ZDBE二90。D1B丄BE.zDiBD为所求角在菱形ABCD中，丿DAB二60o.BC=/BDtan/DBD=DD=、3iBD:./DBD=60。，选C.8.在一个45的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成45，则此直线与二面角的另一个面所成的角为()A30B45C60D90【答案】A【解析】如图，二面角a1B为45。，且与棱l成45。角，过A作AO丄a于O,作AH丄l于H.连接OH、OB，则ZAHO锢二面角aT的平面角，ZABO为AB与平面a所成角不妨设AH=、込，在RtAOH中，易得AO=1；在RtABH中，易得AB=2.故在RtABO中，sinZ

8、ABO=A0=丄，.ZABO=30。，为所求线面角.选A.AB2二、填空题9.如图所示，在正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是-1a【答案】竺6【解析】取AC中点E,连接DE,BE,则BD与DE所成的角即为BD与SA所成的角.设SA=a，则BD=BE=a,DE=-.22由余弦定理知cosZBDE=亘.610.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD的边长为3，与底面所成角11111的大小的正切为3，则该正四棱柱的高等于.【答案】2迈【解析】由题意得tanZDBD=DD=-nDD=-nDD=2迈.iBD33近3111.A、B是直二面角a10的棱l上的两点，分

9、别在a，0内作垂直于棱l的线段AC，BD,已知AB=AC=BD=1，那么CD的长为【答案】打【解析】如图，由于此题的二面角是直角，且线段AC,BD分别在a,0内垂直于棱1,AB=AC=BD=1,作出以线段AB,BD,AC为棱的正方体，CD即为正方体的对角线，由正方体的性质知，CD=Y12+12+12=h3.故填12.如图，三棱锥PABC中，PC丄平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD丄平面PAB.（1）求证：AB丄平面PCB；兀（2求异面直线AP与BC所成角的大小；（一）3p.【解析】（1）VPC丄平面ABC,ABu平面ABC,:PC丄AB.TCD丄平面PAB,ABu平

10、面PAB,.CD丄AB.又PCCD=C,:AB丄平面PCB.(2)过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF,CF.则ZPAF为异面直线PA与BC所成的角.在RtAPFA中,tanZPAF=AF、.2由(I)可得AB丄BC,：CF丄AF.由三垂线定理，得PF丄AF.贝9AF=CF=影，PF=xPC2+CF2=,13.如图所示，在多面体AiBiDiDCBA中，四边形AA1BiBADDA,ABCD11均为正方形，兀:异面直线PA与BC所成的角为一.3，故二点E为1的中点，过点*,D,E的平面交Ci于点F.求证：EF/BC求二面角EArD-B1余弦值.A,小BiB*E【解析】(1)证明：由题可得AD

11、/bc，又因为A1D匸平面B1CD1,bcu平面BD,所以AD平面Bfq.又平面ADEF平面B1CD1=EF，所以AD/EF.又因为ADIIBC，所以EFIIBC111(2)将原图形补全成正方体，如图所示，则平面ACD即为平面A1EFD，所以求二面角E-A1D-耳的余弦值可以转化为求二面角C-A1D-普的余弦值。取B1C的中点G,AD的中点H，连接C1H,GH,qG,则GH丄A1D。由ABCD-A1BCD是正方体得Aq=CD，所以CH丄A1D，所以/CHG是二面角C1-A1D普的平面角，即为二面角EA1D普的平面角。设正方体边长为2,所以GH=2,CH=2迈=當6,CG二迈,所以121GH2+

12、CG2二CH2所以ZCGH=90，所以cosZCHG=-=TOC o 1-5 h z11w1。w1CHJ631V46面角的余弦值为.3114.如图，在三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90o,AB=AC=2,AA=4,A在底面11111ABC的射影为BC的中点，D是BC的中点.11B1证明：AD丄平面ABC；11求二面角A-BD-B的平面角的余弦值.由题意得AE丄平面ABC，所以AE丄AE.11因为AB=AC，所以AE丄BC.故AE丄平面ABC.1由D,E分别为BC，BC的中点，得11DE/BB且DE=BB，11故AD/AE.1又因为AE丄平面ABC，1从而DE/AA且DE=AA，所以AAED

13、为平行四边形.111所以AD丄平面ABC.11(2)(法一)作AF丄BD且AFBD=F，连接BF.11由AE=EB=、辽，ZAEA=ZAEB=30，得AB=AA=4.1111由AD=BD，AB=BB，得ADB与厶BDB全等.111111由AF丄BD，得BF丄BD，因此ZAFB为二面角A-BD-B的平面角.111141311由AD二迈，AB=4,11ZDAB=90。，得BD=3迈，AF=BF=-11亠15.如图，在四棱锥PABCD中，AD/BC,ZADC=ZPAB=90。,BC=CD=-AD,E2为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90。.在平面PAB内找一点M,使得直线CM/平面PBE

14、,并说明理由；若二面角PCDA的大小为45。，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【解析】（1）延长AB，交直线CD于点M，1JE为AD中点，AE=ED=-AD，2TBC=CD=AD,.ED二BC，2TAD/BC即ED/BC,.四边形BCDE为平行四边形，BE/CD，TABCD=M，MeCD，CM/BE，TBEu面PBE，:CM/面PBE，TMeAB，ABu面PAB，:Me面PAB故在面PAB上可找到一点M使得CM/面PBE.(2)过A作AF丄EC交EC于点F，连结PF，过A作AG丄PF交PF于点G，/ZPAB=90，PA与CD所成角为90，PA丄AB，PA丄CD，TABICD=M，PA丄A

15、BCD，TECu面ABCD，PA丄EC，TEC丄AF且AFAP=A，CE丄面PAF，TAGu面PAF，AG丄CE，TAG丄PF且AGp|AF=A，AG丄面PFC，ZAPF为所求PA与面PCE所成的角，TPA丄面ABCD，ZADC=90即AD丄DC.ZPDA为二面角PCDA所成的平面角，由题意可得ZPDA=45，而ZPAD=90,PA=AD,TBC=CD，四边形BCDE是平行四边形，ZADM=90，四边形BCDE是正方形，.ZBEC=45，二ZAEF=ZBEC=45,ZAFE=9,AF半AEtan3F=兰逅，APAPB组一、选择题已知向量m,n分别是直线l和平面a的方向向量和法向量，若cosm,

16、n=丄，则2l与a所成的角为()A.30B.60C.120D.150【答案】A【解析】设l与a所成角为0,cosm,n=-，.:sin0=1cosm,nl=-,V0/366.如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA丄平面ABC,PA=2AB，则下列结论正确的是()A.PB丄AD平面PAB丄平面PBC直线BC平面PAE直线PD与平面ABC所成的角为45。6.D【解析】选VPA丄平面ABC,AZADP是直线PD与平面ABC所成的角.六边形ABCDEF是正六边形，：AD=2AB，即tanZADP=型=2AB=1,AD2AB直线PD与平面ABC所成的角为45,选D.7平面过正方体AB

17、CD-喈吧的顶点A/平面CBR,平面ABCD=m,an平面ABBA=n-则m,n所成角的正弦值为-(A)(B)(d)3答案】A解析】如图所示：CC1/a平面CBD,若设平面CBD平面ABCD=m，则m/miii|ii又；平面ABCD平面ABCD，结合平面BDC平面ABCD=BD1111ii1111iiBD/m，故BD/m，同理可得：CDIIn111111故m、n的所成角的大小与BD、CD所成角的大小相等，即ZCDB的大小.11111而BC=BD=CD（均为面对交线），iiii_因此ZCDB，即sinZCDB=.故选A.8.已知AABC，D是AB的中点，沿直线CD将AACD翻折成AACD，所成二

18、面角ACD-B的平面角为a，贝ijA.ZADBaC.ZAACBaii3ii2【答案】B【解析】（法1）当CA丰CB时，当a=0时，ZAADB0，ZACB0，选项A,C错误；当a=180时，ZAADB=180，ZAACBZACB,，故选项D错误；当CA丰CB且a=0时，ZAADB0，ZAACB0，选项A,C错误，故选B（法3）折纸观察可得结论，思考方法与解析1,2类似.（法4）由于AABC形状不固定，ZAACB与a大小关系不确定.下面比较ZAADB与a的大小关系当CA=CB时，a=ZAADB；当CA丰CB时，过点A作AE丄CD于E，过点B作BF丄CD于F,过点E作EG/FB，连AB,AG,BG，

19、则a=ZAAEG,BG/CD,则BG丄EG,BG丄AE，则BG丄平面AEG，故BG丄AG.设AD=BD=1，ZAADC=ZADC=0，则EG=BF=AE=sin0，BG=EF=2DE=2cos0，设AB=a，则cosZAADB=1手AG2=a2一4cos20，cosa=cosZAAEG=2sin20(a2一4cos20)2sin20a24cos202sin20cos20sin20，故a1T=cosZAADBZADBa，故选B.1C1如图在直三棱柱ABC-A!BiCi中ZACB=90,*=2,AC=BC=1,则异面直线A】B与AC所成角的余弦值是I答案】学6二、填（空第题8题解析4图）9.如图，

20、三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD二3,AD二BC二2,AD,BC的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.fi7【答案】-8【解析】连ND,取ND中点P,连MP,PC，则MP/AN，则MP与CM所成的角就是异面直线AN,CM所成的角.由已知，AN=CM=ND=2x2，MP=P2，CP=証，故cosZCMP=7，即异面直线AN,CM所成的角的余弦值是888则平面PAB和平面【解析】JACAC,：异面直线AB与AC所成角为ZBAC,11111易求AB=/6，.:cosZBACF1=.111AB6故答案为：11.过正方形ABCD的顶点A作PA丄平面ABCD,设PA=AB=a,PCD所

21、成二面角的大小为【解析】考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD,其交线为AB和CD,而ABCD,则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB，CD平行.在平面PAB内，过点P作PQAB,则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，然后可证得，PAIPQ,PD丄PQ,ZAPD为所求角，在RtAPD中可求得，ZAPD=45.三、解答题12.如图已知棱柱ABCD-勺BU的底面是菱形且勒丄面ABCD上DAB二60。,AD二AA1,F为棱AA1的中点，M为线段BD/勺中点(1)求证：MF丄面BDDB；11(2)求面BF与面ABCD所成二面角的大小.(1)证明：底面是菱形，-AC丄BD

22、又BB丄面ABCD,ACu面ABCD:.AC丄BBAC丄面BDDB又MF/AcMF丄面BDdB111(2)延长DF、DE交于点E1F是AA的中点且ABCD是菱形DA=AE=AB又ZDAB二60oZDBE二90。由三垂线定理可知DB丄BE.ZDBD为所求角在菱形ABCD中，ZDAB二60。BC=43BDtan/DBD=DD=1BD:./DBD二60o113.如图，在直三棱柱ABCABC中，已知AC丄BC,BC=CC,设AB的中点为d11111BC丄AB.11【解析】(1)由题意知，点E为BC的中点，又D为AB】的中点，因此DEIIAC,又因为DE立平面AACC,ACu平面AACC，所以DEII平面AACC111111(2)因为直三棱柱ABC-是直三棱柱，所以CC丄平面ABC.因为ACu平面ABC，所以AC丄CC又因为AC丄BCCCu平面BCCB，BCu平1111面BCCB，CCcBC=C，所以AC丄平面BCCB.11111又因为BCu平面BCCB，从而BC丄AC1111因为BC二Cq,所以矩形BCC1B是正方形，因此Bq丄Bf.因为AC,BCu平面BAC,ACcBC=C，所以BC丄平面ABC11111ABu平面BAC，所以BC丄AB111114.如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE二EB,F为CE上的点，且BF丄平