《建筑力学》全集

1、 电子发烧友 电子技术论坛一、建筑力学的任务设计出既经济合理又安全可靠的结构二、建筑力学研究的对象静力学：构件、结构外力材料：构件内力结力：平面构件（杆系结构）外力三、建筑力学研究内容静力学：研究物体外力作用写的平衡规律 对梁来说，要设计出合理的截面尺寸和配筋，则是以梁的内力为依据，则内力又是由外力产生，外力都有哪些呢？外力大小如何？ 这是属于静力学所研究的内容。材力研究单个杆件：强度：构件在外力作用下不出现断裂现象。刚度：构件在外力作用下不出现过大变形。稳定性：不发生突然改变而丧失稳定。 3、结力研究体系： 强度：由于荷载、温度、支座下陷引起的结构各部分的内力，计算其大小。刚度：由荷载、温度

2、、支座下陷引起的结构各部分的位移计算。稳定性：结构的几何组成。 11力和平衡的概念一、力的概念。1、定义2、三要素：大小。方向。作用点。3、单位：国际单位制N、KN。二、刚体和平衡的概念。刚体：平衡：三、力系、等效力系、平衡力系。力系： a、汇交力系 b、力偶系 c、平面力系。（一般）等效力系：a、受力等效力可传递性。b、变形等效。、平衡力系：a、汇交力系：X=0,Y=0 b、力偶系： c、一般力系：，。、静力学公理公理：二力平衡公理一个刚体受到两个力的作用,这两个力大小相等,方向相反,作用在一条直线上,这个刚体则平衡（因为一对平衡力使物体的运动效果为零）讲例公理：加减力系平衡公理一个刚体上增

3、加或减去若干对平衡力，则刚体保持其原有运动状态推理：力的可传递性（注：不适用于求内力）证明： 刚体原作用，如沿作用线加一对平衡力（，），使，此与可视为一对平衡力系据公理减去与，则相当于从点移至点公理：力的平行四边形法则（略讲）推理：三力汇交平衡一个物体受到三个力的作用而处于平衡，则这三个力的作用线必交于一点证明： 刚体受，作用而平衡，与可传递到交于点，是其合力，必定通过点并与在一条直线上且相等（形成一对平衡力）公理：作用力与反作用力中学讲过，略讲、约束与约束力一、约束反力1、约束：限制别的物体朝某一个方向运动的物体。如柱是梁的约束。2、约束反力：由约束来给予被约束物体的作用力，称为约束反力，简

4、称为反力。3、如何分析约束反力。（1）根据物体运动的趋势决定是否有约束反力（存在性）。（2）约束反力的方向与物体运动趋势方向相反（方向性）。（3）约束反力的作用点就在约束物和被约束物的接触点（作用点）。 在（a）图中，对球体来看：球体虽在处与墙体有接触，但球体没有运动趋势，所以没有（运动）反力。在（b）图中，球体与墙在点不仅有接触点，球体同时还有向左的运动趋势。二、约束的几种基本类型和约束的性质。1、柔体约束：方向：指向：背离被约束物体。（拉力）方位：在约束轴线方位。表示：。2、光滑接触面：方向：指向：指向被约束物体。（压力）方位：沿接触面的法线方位。表示：。园柱铰链：方向：指向：假设。 方位

5、：不定，故可用在x,y轴分力表示。链杆约束：方向：指向：假设方位：沿链杆轴线方位。三、支座和支座力1、支座：建筑物中支承构件的约束。2、支座反力：支座对构件的作用力叫支座反力。3、支座的类型：（）、固定铰支座：受力特性与圆柱铰链相同，形成不同。（）、可动铰支座：受力特性与链杆约束相同，形式不同。（）、固定端支座：方向：指向：假设。方位：不定。、受力图一、画受力图步骤1、确定研究对象。2、取出研究对象。3、在研究对象上画出所受到的全部主动力。4、分清约束类型，在研究对象上画出所有约束反力。讲例题二、画受力图注意的几个问题。1、分析系统各构件受力图，应先找出二力杆分析，再分析其它。2、如果研究对象

6、是物体系统时，系统内任何相联系的物体之间的相互作用力都不能画出。3、作用力方位一经确定，不能再随意假设。说明：以上内容通过教科书例题讲解。另外增加例题。例：指出并改正图中示力图的错误。、荷载1、分类按作用时间：恒载活载偶然荷载按作用范围：集中荷载分布荷载按作用性质：静力荷载动力荷载按作用时间：固定荷载移动荷载2、简化、计算。截面梁自重的计算已知：截面尺寸h,b;梁单位体积重（m）求：线荷载q.解：此梁总重：b.h.l. (KN)沿梁轴每米长的自重：q=b.h. (KN/m)均布荷载化为均布线荷载。已知：板均布面荷载：q(KN/m2)；板宽b；板跨度(m)求：q（/m）解：板上受到的全部荷载：q

7、.b.L(KN)沿板跨度方向均匀分布的线荷载：q=b.q(KN) 例如：图中板自重；防水层的均布面荷载为：q=300N/m2;水泥沙浆找平层厚.m,=20KN/m3;雪载：q4=300N/m2.求：将全部荷载化成沿板长的均布线荷载。解：q=1237N/m2； q2=300N/m2；q3=400N/m2 q4=300N/m2 （总）q=q1+q2+q3+q4=1237+300+400+300=2237N/m2 线载：q=3333N/m2。、平面汇交力系合成与平衡的几何法一、用图解法求合力。作法：、平行四边形法则。2、各力首尾相连。注：合力大小和方向与各力相加的次序无关。讲例题二、平面汇交力系平衡

8、的几何条件：必要和充分条件是该力系的力多边形自行闭合。即说明：汇交力系中，未知力数超过两个就不能作出唯一的闭合多边形，故平面力系汇交用图解法只能求出不超过两个未知力的问题。讲书例题、力在坐标轴上的投影、合力矩定理一、力在坐标轴上的投影1、如何投影：自加两端向x,y轴作垂线，则在轴上两垂线的线段，称为力在该轴上的投影。2、符号规定：力在坐标轴上的投影是代数量，有正负之分，当力投影与坐标轴一致时，投影为正，反之为负。如：x=cos.F，即：段sin.F，即：A”B”段讲例题。如果已知，则合力的大小和方向也可确定，据几何关系：；tg=|其中：F与x轴的夹角（锐角） F的方向由FX和FY的正负确定。二

9、、合力投影定理： 1、用平行四边形法求出平面汇交力系P1、P2、P3的合力R。2、P1X=ab；P2X=bc; p3x=-dc; RX=abP1X+P2X+P3X=ab+bc-dc=ad=RX即：P1X+p2X+P3X=RX；同理：P1y+P2y+P3y=Ry 由此，得出合力投影定理：合力在两坐标轴上的投影等于各个分力在同一 坐标轴上投影的代数和：即：RX=P1X+P2X+3X=X PY=P1Y+P2Y+P3Y=yX各力在X轴上投影的代数和；Y各力在Y轴上投影的代数和。23平面汇交力系的合成与平衡的解析法三、合成：大小：R= =方向：tg=| R与X轴的夹角合力所在象限由y、x的正负号确定。讲

10、书中例题。四、平衡条件R=0，即：x=0；y=0则：x=0y=0五、平衡条件的应用：讲书中例题31、力对点之矩一、力矩1、什么叫力矩：一力使物体饶某点O转动，O点叫矩心，力的作用线到O点的垂直距离d叫力臂，力的大小与力臂d的乘积叫力对矩心O点之矩，简称力矩，以M0（）表示，数学表达式为：M0()=2、力矩的正负：逆时针为正，顺时针为负。力矩是代数量。3、力矩的单位：N.m，KN.m讲例题。32、合力矩定理一、合力矩定理。如图：M0（）=-Pd=-P.a.sin又：将用两分力PX，PY代替，M0（X）=0；M0（Y）=-a.P.sina即：M0（）= M0（X）+ M0（Y）由此得：合力对力系作

11、用平面内某一点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。讲例题33力偶及其基本性质一、力偶和力偶矩力偶：大小相等，方向相反，但不作用在一条直线上的两个相互平行的力叫力偶。1、力偶矩：为了描述力偶对刚体的作用，我们引入了一个物理量力偶矩。它等于力偶中的一个力与其力偶臂的乘积。即：M=（d两力间垂直距离）2、正负规定：逆时针为正，顺时针为负。3、单位：N.M KN.M4、力偶的性质：（1）、不能用一个力代替力偶的作用（即：它没有合力，不能用一个力代替，不能与一个力平衡）（2）、力偶在任意轴上的投影为零。（3）、力偶对所在平面上任意一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。如图：已知：力偶O在M所在平面

12、内任意一点，M对O点之矩为：PX+P（X+d） =-Px+Px+Pd =Pd34 平面力偶系的合成与平衡一、合成设 =结论：平面力偶系可合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 讲例题二、平面力偶系的平衡条件：平面内所有力偶矩的代数和等于零。即：注：力偶和；力偶矩是两个不同的概念。力偶是力使物体饶矩心转动效应的度量，其大小和转向与矩心位置有关；力偶矩是力偶使物体转动效应的度量，力偶矩的大小与矩心的位置无关。三、平衡条件的应用：讲书中例题。35、力的平移法则一、平移法则：1、问题的提出：力平行移动后，和原来作用不等效，如何才能保持等效呢2、力平移原理：（1）在点作用一力（2）据加减平衡

13、力系原理，在点加一对平衡力使( 3 )力组成的力系与原来作用于点的力p等效。( 4 )力系组成两个基本单元，一是力，一是p和组成的力偶，其力偶矩为因此，作用于点的力可用作用于点的力和力偶矩来代替。定理：作用在物体上的力，可以平行移到同一物体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力对于新作用点的矩。反之，一个力和一个力偶可以合成一个力。41平面一般力系向作用面内任意一点简化一、主矢、主矩1、简化原理据“力平移法则”，可将平面一般力系中的各力平行与自身的作用线移到同一点，从而把原力系分解成平面力系汇交力系和平面力偶系，以达到简化。2、简化内容：将作用与物体上的一般力系向任一点平移，得到

14、一个汇交力系和一个对应的力偶系。其合力通过简化中心，并等于力系中原有各力的矢量和：tg= 是R和X轴夹角，R称主矢，其指向由RX和RY的正负确定。3、将各附加力偶合为一个合力偶。 R主矢；M0主矩； 注：R并非原力系的合力，而只是作用在简化中心的平面汇交力系的合力，其大小和方向与简化中心无关；M0的大小和转向与简化中心有关，所以主矩必须明确简化中心。二、合力。 即可确定出的位置（作用点方向）讲例题三、合力矩定理：平面一般力系的合力对平面任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。证明：由则：四、简化结果的讨论1R=0，M 故原力系等效于一个力偶，合力偶矩为M；2R，M主矢R就是原力系的合力，简化

15、中心正好选在原力系的合力作用线上；汇交力系。3R主矩、主矢可进一步合成为一个力R，R为原力系的合力。4R显然原力系处于平衡。五、平衡条件： R，即： M 或 只要是未知力不超过三个的一般力系，都可以用此方程求解。42平面一般力系的平衡方程及其应用一、平衡方程的三种形式 1、基本形式 2、二矩式： 若平面上有一点A，满足x轴不于A，B连线垂直，则这个力系就不能简化为力偶，此力系可能平衡，也可能有一个通过A点的合力R。 若平面上有另一点B ，且满足则这个力可能平衡，也可能有一个通过A，B两点的合力R。 合力既要通过A点又要通过B点，那么只有在A，B的连线上。 3、三矩式：若A，B，C不共线。 则：

16、 这时，力偶不存在，也不可能有通过三个点，A，B，C的力存在。5-1变形固体及其基本假设一、变形固体 a、弹性变形 b 、塑性变形二、基本假设：1、连续性：组成固体的粒子之间毫无空间。2、均匀性：组成固体的粒子之间密集度相同。3、各向同性：在固体的体积内各点力学性质完全相同。4、小变形5-2杆件变性的基本（假设）形式一、四种基本形式：1、轴拉（压）：2、剪切：3、扭转：4、弯曲：5-3材力的任务一、任务：1、强度：材料或构件抵抗抗破坏的能力。如：2、 刚度：材料或构件抵抗变形的能力。3、稳定性：保持原有平衡状态的能力。6-1轴拉（压）时的内力，应力一、轴向拉（压）的概念力作用在杆的轴线上。二、

17、内力，截面法，轴力，轴力图1、内力：外力作用而构件分子间的互相牵制力。2、截面法，轴力，轴力图（1）向伸长：说明截面有拉力（2）截面仍然垂直杆轴：说明内力均匀分布。（3）轴力正负规定：拉（背离截面）为正，压（指向截面）为负。（4）轴力图：直观反映内力变化规律。三、轴向拉（压）应力1、轴拉（压）横截面上的应力 （1） 应力：截面某点内力所分布的密集程度 （2） 单位：P）（3） 应力：正应力 剪应力 垂直于截面的应力：=，两边同时积分：N=A 平衡于截面的应力：=；两边同时积分：Q=A （4） 拉（压）杆横街面上的应力：=；N轴力A面积 2、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力。 从x轴标起，逆时针往

18、n轴旋转为正，反之为负。说明：斜截面与横截面虽说分布轴力密集程度不一样，但轴力的大小应该一样。则：即：斜截面上的正应力（拉应力为正，压应力为负）斜截面上的剪应力（顺时针为正，逆时针为负） 3、最大应力。 当 当62、轴拉（压）杆的变形及虎克定律一 、变形（1）纵向变形： （2）横向变形： 纵向线应变二、 纵向变形及虎克定律 实验：，引入比例系数：虎克定律 式中：N轴力；A截面积；E材料弹性模量；变形；原长；EA抗拉、压刚度 虎克定律的另一种形式：将 得：注：虎克定律适用条件：杆截面应力不超过比例极限。 三 、 横纵向变形及泊松比1、 横向变形：；纵向变形：拉伸时：为负，为正；压缩时：为正，为负

19、。2、 实验所得：泊松比3、 横纵向应变的关系 63材料在拉伸、压缩时的力学性质一 、概述1、学性质主要研究：a、强度b、变形2、塑性材料如低碳钢3、脆性材料如铸铁、混凝土、木材等二、在拉伸时的力学性质：1、试件取样：试长件：l=10d短试件:l=5d2、拉伸图 应力应变图说明：1、O1G/(OB)；2、OO1属塑性变形；3、01g为弹性变形。3、变形发展的四个阶段：（1）弹性阶段：（OB）材料完全处于弹性阶段，最高应力在B点，称弹性极限（e）。其中OA段表示应力与应变成正比。A点是其段最高值，称 为比例极限（p），在OA段标出tg=E。因为e与p数据相近。可近似为弹性范围内材料服从虎克定理。

20、（2）屈服阶段：（BD）材料暂时失去了抵抗外力的能力。此段最低应力值叫屈服极限（s）。钢材的最大工作应力不得达到s（3）强化阶段：（DE）材料抵抗外力的能力又开始增加。此段最大应力叫强度极限b（4）颈缩阶段：（EF）材料某截面突然变细，出现“颈缩”现象。荷载急剧下降。总结四个阶段：、弹性阶段：虎克定理=E成立，测出tg=E、屈服阶段：材料抵抗变形能力暂时消失。、强化阶段：材料抵抗变形的能力增加。、颈缩阶段：材料抵抗弯形的能力完全消失。4、塑性指标： （1）延伸率： 如果 （2）截面收缩率： 5、冷作硬化：将屈服极限提高到了G点，此工艺可提高钢材的抗拉强度，但并不提高钢材抗压强度，故对受压筋不需

21、冷拉。三、铸铁的拉伸试验。 1、近似视为=E在OA段成立；2、只有b四、低碳钢压缩时力学性质：强度极限无法测定。与拉伸相同。五、铸铁压缩试验。没有屈服极限，只有强度极限。在低应力区（0A），近似符合强度极限高出拉伸45倍。六、塑性材料力脆性材料的比较（自学内容）七、许用应力与安全系数： = 6-4 轴向拉（压）杆强度计算一、强度条件：二、强度三类问题：强度校核：选择截面尺寸：A如果：槽钢、角钢查附表确定面积，确定最大外载：说明：最大外载有两种确定形式：1、N=P 2、P必须据题意，通过间接途径求得，如：71、圆轴扭转时内力一、扭转1、力的特点、外力偶矩计算、扭矩和扭矩图力的特点：力偶的作用平面

22、垂直于杆轴线外力偶矩计算 M=9549N/n （NM） Mk=7024N/n （NM） 扭矩、扭矩图右手螺旋法： 拇指背离为正，反之为负 2、扭转变形分析：看图： （1）图周线间距不变；（2）各纵向平行线都倾斜了同一微小的角度，矩形成了平行四边形。 说明：（1）横截面没有正压力，（2）两截面发生错动 是剪力变，则必有存在，并垂直于半径 x=y 大小相等，方向相反，互相垂直证明：yA=yA ，形成一对力，据力偶平衡：上下面必有一对力与其平衡3、应力公式推导： 三个方面：a、变形几何关系； b、物理关系 ；c、平衡关系a、变形几何关系 看图 d=d 剪切角 d扭转角 =d/dx 说明： 垂直于半径

23、b、物理关系： 实验所得： = G G=E/（1+ ） G剪切弹性模量 横向线应变由前式 ：（d/dx）G= 说明：与成正比，并是一次函数，垂直于半径c、静力平衡关系：微面积d上的剪力：d ，此剪力产生的微扭矩d=d整个截面：Mn = = =G 即： Mn= I/ 代入上式得上式写成： =Mn/I 实圆： I=D4/32 Wn=I/R=/16 I=（D4-d4）/32 Wn=（D4-d4）/16D横截面任一点剪应力 （最大） max=MnR/I=Mn/Wn 4、强度条件： max=（Mn/Wn） 5、薄壁圆环： Mk=MnMn=2 得 强度条件： max=Mmax/2 6、圆扭转的变形计算由前

24、式 ：d=（Mn/GI）dx 两边积分d相距为dx两横截面的相对转角=MnL/GI 72 轴扭转时的强度计算一、扭转时横截面上的1、实心同轴及空心轴 Mn扭矩（Nm）（KNm）W扭转截面系数（m3）二、强度条件： 三、强度“三类问题”；1、强度校核： 2、选择截面尺寸： Wa、实心轴 W， Db、空心轴：W=（1-）/16 D3、许用荷载： MW。再确定外载 讲例题 73、圆轴扭转时的刚度计算一、同轴扭转时的变形： 式中：Mn某截面扭矩 （Nm） （KNm） l同轴长（m） G剪切弹性模量 Pa MPa GPa I 极惯性矩。（m4） GI截面抗扭刚度二、刚度条件： 单位长度扭转角： （弧度/

25、米） 即： 许用单位长度扭转角，查规范 讲例题！81、静矩一、静矩、形心图形A对Z轴的静矩：Sz= 图形A对y轴的静矩： Sy= 据合力矩定理形心： yc=Sz/A= Zc=Sy/A=Sz ，Sy的用途： 1求形心。2校核弯曲构件的剪应力强度Sz ，Sy的性质：1可正，可负，可为零 。2单位：m3，mm3，cm3 3对不同的坐标有不同的静矩组合截面图形的静矩计算： Sz= Sy= 讲例题二、组合图形形心的确定 求形心：解；A1=300=9A2=50=A1，A2形心到Z轴的距离 yc1 =15 yc2=165 Sz=A1yc1+A2yc2 =30+50 yc=Sz/A=2.36=105mm故：

26、Zc=0 yc=105注； 坐标轴的选择不影响形心的位置82、惯性矩、惯性积、惯性半径一、惯性矩 定义： y2dAdA面积对z轴的惯性矩 z2dA dA面积对y轴的惯性矩 截面对z轴的惯性矩：Iz 截面对y轴的惯性矩：Iy二、计算矩形： a截面对形心轴的Iz，Iy 解：dA=bdyIz=by3/3=bh3/12DA=hdzIy= hz3/3=hb3/12B截面对z，y轴的Iz，Iy解：dA=bdyIz=by3/3 =bh3/3Iy= hz3/3=hb3/3（2）圆形截面： Iz，Iy 解：Iz=Iy=dA=dy性质：1、惯性矩恒为正 2、同一截面图形对不同坐标轴有不同的惯性矩 圆形；Iz=Iy

27、= 环形：Iz=Iy= （）对其形心的惯性矩 ，其它图形查附录（3）组合图形 Iz=； Iy=三、极惯性矩。 定义： I= 其中：=y2+z2 = =+=Iz+Iy 圆截面： I= 环截面： I=四、惯性半径 在压杆稳定计算中，将惯性矩表示成：Iz=（iz）2A 或 Iz=1、矩形截面的： Iz=h/（） iy=b/（）2、圆形截面： i=D/4五、惯性积 定义； 整个截面上微面积dA与它到y，z轴距离的乘积的总和称为截面对y,z轴 Iz,，y= 1、惯性积可为正、负、零2、如果图形有一对称轴，则 Iz,，y=0六、平行移轴定理： 平行移轴定理的引出： 一般情况下简单图形对任意轴的惯性矩用积分

28、法是比较容易的，但对组合图形用积分法就比较困难，所以介绍平行移轴定理就可以利用简单图形的已知结果求复杂对任意轴的惯性矩。 推导： 已知：Izc ,Iyc 求：Iz , Iy z=zc+b, y=yc+a Iz= = =+2a+a2 其中 ： =Szc=0 =Izc 83、形心主惯性轴和形心主惯性矩的概念1、主惯性轴：如y、z轴旋转到某个时I，则 z0，y0称为主惯性轴，简称主轴（总可以找到这样一个轴）2、主惯性矩：截面对z0 、y0（主轴）的惯性矩叫主惯性矩，简称主惯性矩。3、形心主轴：如果截面0点选在形心上，通过形心的主轴称为形心主轴4、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。91 弯曲变形的

29、概念 一、弯曲与平面弯曲1、弯曲：直杆在垂直于杆轴的外力作用下，杆的轴线变为曲线，这种变形叫弯曲。2、梁：以弯曲为主变形的构件称为梁。其特点：a、形状：轴线是直的，横截面至少有一个对称轴。 b、荷载：荷载与梁轴垂直并作用在梁的纵向对称面内3、平面弯曲：梁变形后，梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的这种弯曲称为平面弯曲 二、梁的支座，支反力a、可动铰支座 b、固定铰支座 c、固定端支座 三、梁的三种形式 a、简支梁 b、外伸梁 c、悬臂梁 92梁的弯曲内力 、M一、梁的内力 求：Qm ，Mm 由 =0 =0； Qm+RA=0 Qm=RA =0 =0 =0； RA+Mm=0， Mm=RACQm剪力

30、Mm弯曲 梁平面弯曲时截面产生两种内力 : 剪力Q和弯矩M二、Q，M正负号的规定 剪力：顺时针为正，逆时针为负 弯矩：下受拉为正，上受拉为负 三、任意截面Q，M的计算 讲P155 例51 结论：要正确区别运算符号和性质符号 结论：取外力较少部分作研究对象 结论：在支座和集中力处左右截面上剪力不相同，而弯矩相同；在集中力偶处左右截面上的剪力相同，而弯矩不同四、 讨论：1、要正确区别性质符号和运算符号。所谓正，负Q，M是指性质符号而言2、Qx=y 或 Qx=y， Mx=M 或Mx=M3、可用“简便方法”计算截面内力六、求剪力和弯矩的基本规律（1）求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取

31、右段为脱离体，两者计算结果一致（方向，转向相反）。一般取外力比较简单的一段进行分析（2）梁内任一截面上的剪力Q的大小，等于这截面左边（或右边）的与截面平行的各外力的代数和。若考虑左段为脱离体时，在此段梁上所有与y轴同向的外力使该截面产生正剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生负剪力；若考虑右段为脱离体时，在此段梁所有与y轴同向的外力使该截面产生负剪力，而所有与y轴反向的外力使该截面产生正剪力。93、用M，Q，q间微分关系绘内力图一M，Q，q的微分关系 图梁上作用任意荷载q（x）：（1）取出梁中一微段dx（dx上认为荷载是均匀的）；（2）设截面内力：Q（x），M（x）。利用 =0。则：Q（x）

32、+q（x）dxQ（x）+dQ（x）=0 dQ（x）=q（x）dx即 dQ（x）/dx=q（x） 剪力对x的一阶导数等于荷载 =0 M（x）M（x）+dM（x）+Q（x）dx+q（x）dxdx/2=0 即； dM（x）/dx=Q（x） 弯矩对x的一次导等于剪力q（x）=0 （无线荷载） dQ（x）/dx=q（x）=0 说明剪力方程是常数。只有常数导数才为零，所以此时剪力图是一条水平线。 dM（x）/dx=Q（x） 而剪力是常数，说明原弯矩方程是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线q（x）=常数（有线载） dQ（x）/dx=q（x）=常数 说明剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。 即

33、dM（x）/dx=Q（x） 而剪力又是x的一次函数，说明原弯矩方程是x的二次函数。所以弯矩图是二次抛物线。M极植 在Q（x）=0处。由于 dM（x）/dx=Q（x）=0处有极植例题 三角荷载简化及内力图 q=q0 x/l (相似比) 在dx段上的荷载（集中力） =qdx=q0 xdx/l 合力p ： p=（q0/l）=q0l2/l2=q0l/2 （三角形面积） 合力p的位置： 以A点为矩心 据合力矩定理 ：pd= d=（1/p）=（1/p）=2l/3解：（1）求支座力 由=0，和 =0 解得RA=ql/6 RB=ql/3列Q，M方程式Q（x）=q0l/6 +q0（x）x=q0l/6 +q0 x

34、2/2l （0 x5，剪力对正应力分布影响很小，可不计。公式=My/Iy 可适用横向弯曲。9-6 梁的应力强度计算一、强度条件 1、如果截面上下对称： （1） W1= W2=如y1 y2, 那么： W1 W2此时应强度条件： （2）材料抗拉压应力不同：要分别对拉应力和压应进行核对。 二、最大弯矩压应力：包括最大拉应力和最大压应力（最大压应力一般称为最小压应力，用表示）最大压应力发生在最大弯矩（绝对值）处。用截面的上下边缘。即： max为受拉区最外边缘到中性轴距离，为受压区最外边缘到中性轴距离。当中性轴是截面对称轴时，令： Wz=、Wz称为抗弯截面摸量（单位为cm3）则、；对矩形截面：Wz=bh

35、3对圆形截面：Wz=d3三、强度计算的三类问题：1、强度核算：已知：、W、M 是否：2、选择截面：已知：、M据：确定截面尺寸（若是型钢可查型钢表）、计算许用核载：已知：、求进而确定荷载提高梁压应力强度的主要途径一、据：、压应力分布规律（远距离中性轴的正应力越大）。 、，提高降低 、考虑材料特性 、选合理的结构具体措施：、据比值选择截面形状 、.选择合理的截面形状据正应力分布规律：、将矩形截面改成工字形、减轻梁的自重，在靠近（预制板开孔的道理）中性轴的地方开孔、据、选择合理的放置方法（同一截面）显然：则：所以通常矩形截面梁竖放。、锯材料的特性选择截面形状；.塑性材料：如钢材、因其受拉、受压容许应

36、力相同。故将截面形状设计成对称于中性轴的截面，如矩形、工字形、圆形截面。.脆性材料：如铸铁、因其容许压应力大于容许拉应力，故选择不对称于中性轴的非对称截面，使中性轴偏于材料容许压应力较低的一边。如采用“”或“”截面。（如上侧受拉则“”，下侧受拉则“”）梁横截面上的剪应力及其强度的计算引言：在剪切弯曲时截上有、，因此上有、一般剪应力是影响梁的强度的次要因素，鼓将剪应力作简单介绍。一、矩形截面梁的剪应力1、两个假设： .横截面上各点处的剪应力方向都与剪力的方向一致。.梁横截面上距中性轴的距离处各点的剪应力数值都相等。讲图 2、横截面的任意一点处剪应力的计算为（推导略）横截面上的剪力横截面上需求剪应

37、力处的水平线以下（或以上）部分的面积对中性轴的静距。 整个截面对中性轴的惯性距。 需求剪应力处的横截面的宽度。3、剪应力的分布规律：、沿着截面宽度均匀分布、沿截面高度的分布：由公式：知道Q、Iz、b是常数。剪应力的变化是由而变化，越大，也越大。当时， 则 ，y=0 时， （达到最大值则最大）二、工字型截面的梁的剪应力翼元部分的剪应力复杂，又很小，通常不计算。( 1 ) 腹板部分（按矩形） 通常计算可知：与相差不大，可近似认为腹板上的剪应力是均匀分布的，因为腹板上所承受的Q是工字型截面剪力的95%。 所以： 也可： 或：三、圆形截面梁的最大剪应力剪力与剪应力方向在圆截面任一点处不都是互相平行的，

38、在圆周上的剪力与圆周相切。但在中性轴两端点处的剪应力方向平行与剪力Q。则在中性轴上方点处的剪应力都平行与剪力Q而且相等。这样可应用矩形截面剪应力公式： 其中： 则 四、环形截面梁的最大剪应力用推导圆形截面的方砖： 得： 其中： 是大半圆面积乘其型心到Z轴的距离减去小半圆面积乘上其型心到Z轴垂直距离。9-9 积分法计算梁变形一、求转角方程，挠曲线方程 积分一次得 而 再积分一次：“D”积分常数，常数距边界条件即求：、取（a）据 （）两边积分：边界条件：当X1=0、Ya=0、QA=0、C=0、D=0当 X=l 取（b）：据 两边积分：两边积分：边界条件：当 、 、Q=0 、C=0 、D=0当 叠加

39、： 例： 已知：EI为常数 求、及解： 积分一次： （1）再积分一次： （2）确定积分常数：据边界条件： x=0 处 y=0 代入（1）式 D=0 x=l 处 y=0 代入（2）式 将C、D植代入（1）、（2）式中挠曲线方程分别是 （3） （4）在A截面处X=0 代入（3）式中B截面处：代入式（3）代入（4）式 二、叠加法求梁弯曲 查表后叠加 三、挠度核算条件： 10-1 一点处应力状态的概念一、应力状态1、轴向拉（压）：应力随截面方位改变而改变。2、弯曲、扭转：杆内不同位置的点具有不同的应力二、单元体10-2 平面应力分析一、斜截面上的应力分析 利用平衡条件：， 简化整体后： 二、主应力与主

40、平面主应力主平面上的应力（、按代数植大小排）主平面剪应力等于零的平面。设为主平面,则此式表明主平面上的剪应力为零。又由：可得： 确定主平面方位。主应力大小：三、剪应力极值及所在平面1、极值：2、方位：最大剪应力平面和最小平面与平面夹角。 四、主应力迹线主应力迹线使复杂的应力状态形象化（1）主抗应力迹线。 （2）主压应力迹线。五、强度条件强度条件的四顾：压应力强度条件： （拉伸、压缩弯曲） （弯曲） 剪应力强度条件： （剪切） （弯曲剪应力）以上强度条件特点：危险点所在横截面上只有正应力或只有剪应力（简单应力状态）。1、横截面上同时有“”和“”存在（复杂应力状态）。强度条件： 最大剪应力强度理论

41、。 变形形能强度理论。 11-1 组合变形的概述一、组合形式理论上组合变形的形式约有37种，但常见的仅有四、五种。 本教材究三种组合变形。组合变形1、斜弯曲； 2、单向偏心压缩（拉伸）； 研究柱内力，先将移至轴线（平移定理）。1、双向偏心压缩（拉伸）；112 应力计算及强度条件一、应力计算及强度条件将基本变形应力计算出叠加即组合变形应力。1、斜弯曲：a、外力分解： ；b、外力计算：； c、应力计算： ； d、应力叠加某点应力：即：e、强度条件：1、单向偏心压缩（拉伸）a、简化荷载：b、内力计算：P；c、应力计算：；d、应用叠加某点总应力：e、讨论：当偏心受压柱是矩形截面，截面边缘沿线上“”与“

42、e”之间的关系。（A=ba、）其中 将有三种情况： 当时，为压应力； 当时，为零； 当时，为抗拉应力故截面受拉、压与“e”有关。2、双向偏心压缩（拉伸）a、简化荷载：据平移定理得： ; b、内力计算： ； ； 。c、应力计算： ； ； 。某点总应力： d、强度条件： 二、核心1、介绍截面核心概念12-1 压杆稳定的概念一、稳定平衡、临界平衡、不稳定平衡1、稳定平衡：使物体在平衡位置上经受微小的移动式干扰，任其自然，若物体能回复到它原来平衡位置，那么它原来所处的平衡就是稳定平衡。2、不稳定平衡：若受到干扰后物体不仅不能回复到原来的位置，而且还要远远离开，那么它在原来位置的平衡就是不稳定平衡。3、

43、临界平衡：若受到干扰后物体即不回复到它后来的平衡位置，也不远离，而且停留在动的位置上处于动的平衡状态，那么它在后来位置上和现在位置上所处的平衡状态叫临界平衡状态。二、压杆的失稳1、三种平衡状态：当轴向压力小于某一个数值时，压杆就是处于稳定状态。当轴向压力大于某一定数值时，压杆就是处于不稳定状态。当轴向压力等于某一定数值时，压杆就处于临界平衡状态。2、临界力：临界平衡状态相对应的某一定数值叫临界力。临界力的大小与杆的材料、横截面的形状、大小杆的长度及杆的约束都有关，故并非定植。3、压杆失效：当压杆受到的轴向压力达到了临界值时，杆就会从直线形式的平衡突然转变为微弯形式的平衡，这就是压杆失效。即临界

44、状态时压杆已经失稳。 12-2 细长压杆临界力公式欧拉公式一、两端钝支细长压杆的（1）距支座为L截面的弯矩： （2）杆在弯曲状态下的挠曲线微分方程： 令： 则： 即： 此微分方程的通解：Y=C ； （1） 边界条件： 当X=0， ， （2） 又杆上端边界条件：X=l 代入（2）式（3） 若要使（3）式成立必有或方可。 如果 式就不成立，所以必定是 当 时， 得 又得 n=1 时， 临界力欧拉公式 临界力 截面、选小值l 杆长二、其他支座1、一端固定、一端自由 u=2 ；2、一端固定、一端钝支 u=0 ；3、两端固定 u=0.5三、临界应力 （1）式中： 截面的回转半径 压杆的长细比（1）式可成

45、： 12-3 临界应力总图目的： 了解临界应力适应范围 关键是看懂总图一、临界应力的公式的适用范围（因为挠曲线近似微分方程只在材料服从虎克定律的前提下成立，即在材料不超过比例极限时成立，而又是通过挠曲线微分方程推倒出来的故） 即： 即只有当大于或等于极限值时 方成立。那么适用的范围总：如：钢 铸铁 木材 二、超过后压杆的临界应力 经验公式其中： 材料的屈服极限 系数 0.43 例： 钢： 三、总图总图：和的图形， 曲线图12-4 压杆稳定计算一、压杆的稳定条件： 其中压杆的临界力 稳定安全系数，随变化比例强度安全系数K的实际作用在杆上的应力则： 其中为实际杆内力 为稳定许用应力稳定条件： ，

46、， 其中 为折减系数，可查表 又说明：（1）式中总小于，； 故是小于1的。 （2），因为失稳是在强度破坏前发生。二、压杆稳定的三类问题1、压杆是否稳定：步骤（1）求值， （2）据压杆的材料即值，从表12-1中查值。 （3）验算是否满足这一稳定条件。2、确定容许荷载：步骤（1）求值， （2）据压杆的材料即值，从表12-1中查出值 （3）按稳定条件确定3、确定截面尺寸：步骤（1）假设一个值（一般），求得值。 （2）由算出再查与相差较大，再假设，重复上面的计算，查到值与假定者非常接近为止。13-1 结构的计算简图简化原则反映结构实际情况分清主次因素视计算工具而定二，简化方法铰节点的简化：举例说明。刚

47、节点的简化：举例说明。支座的简化： 举例。 结构的简化举例：如桁架的简化，包括1.荷载2.支座3.杆连接处。13-2 杆系结构分类一分类梁桁架刚架组合结构拱14-1 几何组成分析的目的、几何不变体系、几何可变体系平面几何组成分析的目的判别某体系是否为几何不变体系，以决定其能否作为工程结构使用。研究并掌握几何不变体系的组成规则，以便合理布置构件，使所设计的结构在荷载作用下能够维持平衡。根据体系的几何组成状态，确定结构是静止的还是超静定的，以便选择相映的计算方法。几何不变体系、几何可变体系几何不变体系在不考虑材料应变的情况下，任何荷载作用后体系的位置和形状均能保持不变。（图a，b，c）几何可变体系

48、在不考虑材料应变的条件下，即使不大的荷载作用，也会产生机械运动而不能保持其原来形状和位置的体系。（图d，e，f） 14-2 自由度和约束的概念一.自由度 在介绍体系自由度之前，了解一下有关刚体的概念。 在几何分析中，把体系的任何杆件都看成是不变形的平面刚体，简称刚片。 自由度是指确定体系位置所需的独立坐标数。 一个点需二个坐标确定位置 一个刚体需三个坐标确定位置二.约束链杆减少一个自由度。单铰、固定铰支座减少二个自由度。复铰相当于n-1个单铰。刚性连接、固定端减少三个自由度。讨论：自由度（W）有三种结果：W0 一定是可变体系W是一个几何不变，并无多于约束体系。由此看出超静定结构：1与静定结构反

49、之；2有多余约束的几何可变体系。多于约束个数=超静定次数。二超静定次数的确定及基本结构的取法原结 基结2. 原结 基结 3 1一个封闭回路超三次。 2同一静定结构具有不同的基结。原结 基结 4 原结 基结 175图结论：1基本结构：去掉多于约束，用相应约束反力代替，形成静定结构。 2基结特点：去掉所有多于约束，基结构是几何不变体系。由此看出：要确定超静定数,关键是把原结构拆成一个静定结构.则要支以下几点:去掉或切掉一根连杆，相当于去掉一个约束。如图（如绗架）.去掉一个链支座或去掉一个单链相当于拆掉连个约束。如图（h）.去掉一个固定端或切掉一个梁式杆等于去掉三个约束。如图(e).截开一个界面换成

50、单链等于拆掉一个约束。如图（f）.另外：切勿将原结构拆成一个几何可变体系 。要将全部多于约束拆除。如图。172 力法基本原理原理 1如何求出x，使其变成静定结构（超一次） 基结基结的位移情况 位移方程： 如何求出 1则其中都可用图乘法求出： - （）二力法典型方程不同的基本结构力法方程关系： 点原结构转角为0，即；而其中，即（求出是力偶）在方向的位移： 在方向的位移： 既： 在单独作用时引起方向的位移.如原结改为：力法方程： 方程相同但是水平反力，是集中力偶含义与前不同。力法典型方程：n次超静定方程的立法结构方程： 式中的数:第一角标表示位移的方向，第二个角标表示产生位移的原因.由产生的沿方向

51、位移。自由数 由荷载产生沿方向的位移。系数的计算方法 ：主系数是时弯矩图自乘，恒为正。 是、时两万句图相乘。可正可负。 时弯矩图与荷载弯矩图相乘，可正可负。173 对称性的利用对称：条件：1结构的几何形状、支承情况对某轴对称2EI.EA值均相等。（对称）而。对训结构在对称荷载作用下（奇数跨）计算内力x1.x2.x3 力法方程：求系数： 方法： 解得 结论:正对称内力存在；反对称内力不存在。半刚架法： 从变形情况分析，E点只有竖向位 移，没有转角和水平位移 对称结构在对称荷载作用下（偶数跨）对称结构在反对称荷载作用下（奇数跨）力法方程： 系数： =0 解得： 存在. 结论：存在反对称内力，正对称

52、内力为0.2.半刚架法： 从变形看无竖向位移，有水平位移及转角。对称结构在反对称荷载作用下（偶数跨）8 1 位移法基本概念位移法的基本概念位移发育力法的比较：1力法把多余约束力选为基本未知量，位移法把节点位移选为基本未知量。2力法是把超静定结构拆成静定结构，再由静定结构构过渡到超静定结构。位移法是将结构拆成单个杆件，再由杆件过渡到结构。3力法是从静定结构为出发点，位移法是以杆件位出发点。位移法的基本思路：转角位移产生杆端变矩 ： 荷载作用产生德杆端变矩称为固端变矩 转角与荷载共同作用产生的杆端变矩：（1） （2）（3）（4）如何求？取结点B平衡。4 将代入式（1）（2）（3）（4）式求得 182 位移法的基本未知量未知量：刚结点的角位移；刚结点的线位移。刚结点角位移未知量的确定： 因为刚结点处各杆端转角相同，只有一个独立的角位移。所以刚结点的数目就是角位移未知量的数目。