人口预报与混沌

1、人口预报与混沌第1页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀会引起 洛伦兹 数学的伟大使命在于从混沌中发现秩序。 倍尔在那个混沌的体制中，结构上的微小差异几乎都会造成行为方式上的巨大变化，可控制的行为似乎已被排除。 斯图尔特.考夫曼明年在得克萨斯的大风暴吗？第2页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 20

2、00人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律控制人口过快增长如何预报人口的增长第3页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日x(t) - 时刻t的人口基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数今年人口 x0, 年增长率 rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长建立数学模型1、指数增长模型(Malthus模型）第4页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日口数成正比,从而xn+1 xn r xn xn+1 a xn其中 a=r+1. 设xn是某人类群体在第n个时间段(例如年)末时的总数，若在单位时

3、间段内人口相对增长率为r（出生率与死亡率之差）,那么人口增长数与原人即是常用的计算公式第5页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日记 g (x) = a x，则是函数迭代 xn= a xn1= a2xn2 = an x0 于是Malthus的结论：人口增长呈几何级数 据统计1951年-1961年人口增长率为2%，则a=1.02, 1.0235 1.99989955 与近年统计结果有误差，由a 1,xn趋向无穷，模型在人口长期预测方面必定是失效的. xn1 g( xn ) 容易得到 所以,人口约35年增加一倍，则与17001961年世界人口统计结果一致。 以此方法，到2626年

4、世界人口将是1961年的19番，地球表面积为1.731014m2的话,每平方米就有9个人。第6页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)第7页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日2、阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口

5、数量增加而变大假设r固有增长率(x很小时)xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数第8页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲线, x增加先快后慢x0 xm/2第9页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位-百万） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 25

6、1.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1第10页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日实例：x=8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00 14.00 14.00 16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00 22.00 24.00;y=0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43 0.43 0.44 0.43 0

7、.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 ;b bint=regress(y,ones(24,1) x x.2)b=regress(y,X)b,bint,r,rint,stats= regress(y,X)b,bint,r,rint,stats= regress(y,X,alpha)数据拟合(matlab程序)第11页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日连续形式t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关)离散形式x(t) :某种群 t 时刻的数量(人口)yk ：某种群第k代的数量(人口)若yk=N, 则yk+1,yk+2,=

8、N讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点第12页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 生存资源是重要的因素，修改模型为：yn+1 yn= r yn b yn2 b yn2为竞争(约束)项，r、b 称生命系数,则 yn+1= a yn- byn2 ， （a=r+1）这是一个非线性映射的迭代 f1(x)= ax - bx2数据观察（利用Matlab）for m=1979:2002;x=9.7542*108;a=1.029;b=1.48654*10(-11);x=a*x-b*x2;disp(m);disp(x);end与统计数字接近第13页，共29页，2022年

9、，5月20日，10点44分，星期日 9.89564 10.037 10.1784 10.3195 10.4605 10.6012 10.7416 10.8815 11.0211 11.1601 11.2986 11.4365 11.5738 11.71031994 11.84601995 11.98091996 12.11501997 12.24821998 12.38031999 12.51152000 12.64172001 12.77012002 12.89862003 13.0245第14页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日Logistic映射 (Robert.M

10、ay的研究）f(x)= a x(1- x)， x 在0,1内变化xn+1= f(xn) 从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成xn= f n(x0), n = 0,1,2,序列xn称为x0的轨道种群数的模型简化：相应的迭代为了一个序列，即什么是混沌? 第15页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日数值迭代 （ a 逐渐增加，迭代会有何结果）1倍周期分叉现象 当0a 1时，由于0 xnaxn+1 当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于 事实上，由方程 ax(1-x)=x 可以解出两个不动点x1* =1-1/a, x2* =0, 一个稳定 (吸引),另一个不

11、稳定，轨道xn趋向稳定点，xn 0 食物不够物种逐渐灭亡x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f 的不动点（周期1点)例：a =1.5时 xn 1/3. 种群数量趋于稳定第16页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 这两个数满足 当3a1+61/2时， xn 绕着两个数 x3*，x4*振动, x2k-1 0.799455 x2k 0.513045 当1+61/2a3.5440903506时, 从任意的点x0出 x4k 0.44391661 x4k+1 0.84768002 x4k+2 0.44596756 x4k+3 0.85242774也称为周期2点,对应

12、轨道称周期2轨道.(原来周期例 a =3.2点失稳)发的轨道将逐渐沿着四个数值振动例 a = 3.45第17页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日这四个数满足称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点 若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定分叉值如何求? 又失稳)周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，会依次出现周期16点，周期32点. ，(请考虑什么是周期n) 这种过程称为倍周期分叉.相应的分叉值c1=3, c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck.其极限值为c*=3.569945557391。第18页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，

13、星期日分叉图第19页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日混沌的特点 当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出 遍历性：点 x0的轨道不趋向任何稳定的周期性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的的是：轨道, 它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何一个子区间(a,b)内都会出现无数次. 敏感性： 轨道表现出对初始条件的强烈敏感轨道也终将以某种方式分离.第20页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 Feigenbaum常数(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数 q =4.6692016这常数的意义在于普适性，例

14、如周期3窗口，还有 存在周期小窗口 混沌区域内某些地方仍有倍周期分叉，例如a3.835附近其他映射第21页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代 图象方法-蛛网迭代 在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作抛物线弧：xn+1a xn(1- xn)的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由x0出发的轨道的变化. 这作图的过程颇象蜘蛛织网,故称为蛛网迭代. 第22页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日11xnxn1x0 x1x1x2第23页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 1a3 从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点 (周期1点)第24页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日 3a61/2+1 从任何初值出发的轨道趋向周期2点第25页，共29页，2022年，5月20日，10点44分，星期日61/2+1a 3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点第26页，共29