北师大版数学高二教案 1.3.2 等比数列的前n项和

1、1.3.2等比数列的前n项和教学目标1.知识与技能（1）理解等比数列的前项和公式的推导方法.（2）掌握等比数列的前项和公式，能运用公式解决一些相关问题.2.过程与方法通过具体问题的分析与解决，感受公式探求过程所蕴涵的思想方法，再经历模仿具体问题的解法，过渡到一般等比数列的前项和公式的探索，理解并感悟推导公式的思想方法.3.情态与价值通过对公式的探索过程，学生经历解决问题时，由具体到抽象，由特殊到一般的思维方法，有利于优化学生的思维品质，提高学生的探究、分析与解决问题的能力.公式推导与应用中的分类讨论思想，有利于对学生进行思维严谨性的训练.教学重点难点教学重点：等比数列的前项和公式的推导及其简单

2、应用.教学难点：等比数列的前项和公式推导方法的理解.教学过程一、导入新课国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格子为止.请给我足够粮食来实现上述要求!”国王觉得这并不是很难办到的事,就欣然同意了他的要求.然而,过几天,手下急匆匆跑来说,不好啦,不好啦!你猜怎么了?你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢?国王有能力满足发明者的要求吗?二、问题探究上述故事蕴含的数学问题是

3、等比数列的求和，即求的值.观察：归纳：依此类推猜想：经测算，大约需要麦粒1.841019粒，约7000亿吨，按全世界50亿人平分，每人可以得到140吨，古印度国王显然无法满足发明者的要求.对于上述问题，我们是怎样猜出？如何证明猜想结果的正确性呢？仔细分析数列，可以得到：，够成了以2为公比的新等比数列，因此可以得到一个结论：，即，三、新知建构1.公式推导对于一般的等比数列，怎样求它的前n项和呢？即求：的值.模仿上述问题的解法，推广到一般的等比数列.解法1：时, ， ，即.当时，.解法2：，当时，, 时,.这种求等比数列的前n项和的方法叫错位相减法.2.公式理解（1）等比数列的前项和公式有两种形式

4、形式一： 形式二：（2）在求和公式与通项公式中共出现了5个量（），从方程的思想看，这些量中，只要知道其中任意三个，就可以求另外两个了即“知三可求二”. （3）以上求数列前项和的方法称作错位相减法，运用该方法可以解决形如数列的前项和，其中是等差数列，是等比数列.四、应用示例例1.(1)已知等比数列中，,q=3,求;(2)求等比数列1，的前10项的和.例2.五洲电扇厂去年实现利税300万元，计划在以后5年中每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是多少？这5年的总利税是多少（结果精确到万元）？解：每年的利税组成一个首项a1=300，公比 q=1+10%的等比数列.从今年起，第5年的利税为；这5年的总利税为.五、练习1在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，a1a2a321，则a3a4a5( )A33 B72C84 D189【答案】C【解析】a1a2a3a1a1qa1q2a1(1qq2)21，a13，1qq27，q3(舍)或q2，a3a4a5q2(a1a2a3)42184.2等比数列an的前n项和为Sn，若S33S20，则公比q_.【答案】2【解析】(1)显然公比q1，设首项为a1，则由S33S20，得3，即q33q240，即q3q24q24q2(q1)4(q21)0，即(q1)(q24q4)0，所以q2