新人教版九年级下册初中数学 27.2.3 相似三角形应用举例 教案（教学设计）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例【知识与技能】1.经历对实际问题的探索,会利用相似三角形的性质测量物体的高度.2.在具体情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识解决简单实际问题.【过程与方法】1.经历从实际问题中建立数学模型的过程,增强应用意识,提高实践能力.2.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决实际问题的能力.3.学会在具体的情景中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力.【情感态度与价值观】1.

2、通过积极参加数学探究活动,激发学生对数学的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活密切联系.2.通过将实际问题转化为数学问题,培养建模思想,提高分析问题、解决问题的能力.3.积极参与课堂活动,勇于质疑,养成认真思考的学习习惯,形成实事求是的科学态度.4.培养学生的合作交流意识,培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现的科学精神. 利用相似三角形的性质解决高度测量问题. 将实际问题转化为数学问题,应用数学知识解决问题. 多媒体课件. 导入一:【复习提问】(1)什么是相似三角形及相似比?(2)判定三角形相似的方法有哪些?(3)相似三角形的性质是什么?【师生活动】学生回答问题,教师点评.导入二:胡夫金字塔是埃

3、及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,边长约为230米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.在古希腊,有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?【师生活动】学生欣赏金字塔图片,大胆联想泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的?初步了解本节课内容.教师展示图片,通过泰勒斯测量金字

4、塔的高度问题引入课题.设计意图以旧引新,帮助学生建立新旧知识间的联系,借助古代难题,引出新课,激发学生的好奇心和求知欲,感受数学应用的意义. 过渡语泰勒斯到底用什么方法得出了金字塔的高度呢?这就是我们今天学习的内容.一、测量旗杆的高度【问题】如何测量操场上旗杆的高度?思路一【思考】(1)在同一时刻,物体的高度和影长有什么关系?(2)在操场上竖立一根长1米的标杆,画出同一时刻旗杆和木杆的影长.(太阳光线看作是平行的)(3)通过测量影子的长度,你能得到旗杆的高度吗?【师生活动】学生独立思考后画出图形,小组内交流测量旗杆的方法和思路,教师巡视过程中帮助有困难的学生.解:如图,测得同一时刻旗杆的影长A

5、B=a,标杆的影长为EF=b.由题意可得B=F=90,ACDE,A=E,ABCEFD,=,BC=米.【归纳】在平行光线的照射下,同一时刻,两个物体的高度与影长成比例.【追问】你还有其他方法求旗杆的高度吗?思路二【小组讨论】用什么方法可以测量操场旗杆的高度?【师生活动】学生小组讨论方法,画出图形,小组代表根据图形叙述测量的方法和思路,教师归纳测量的方法.(1)升降旗杆上有绳子,测量升降旗杆上的绳子长度算出旗杆的高度.(2)因为太阳光线平行,光线与地面所成的夹角相等,所以在同一时刻测出旗杆和标杆的影长,根据相似三角形的性质可求出旗杆的高度.(3)在旗杆和人之间放一面镜子,移动镜子的位置,使人能看到

6、旗杆顶端在镜子中的像,根据入射角等于反射角,利用三角形相似求出旗杆的高度.(4)将视点、标杆顶端、旗杆顶端置于同一直线上,测出视点与标杆及旗杆底部的距离及标杆高度,利用三角形相似求出旗杆的高.用三角形相似可以求旗杆的高度,常用的方法有:【课件展示】(1)如图,同一时刻物高与影长构成直角三角形.(2)如图,利用平面镜构造直角三角形.(3)如图,观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上.设计意图解决生活实际问题求旗杆的高度,培养学生多角度思考问题,思路一是在教师问题的引导下,学生进行分析、探究,建立相似三角形模型,由相似三角形的性质求解,然后归纳结论. 思路二是提出结论开放性问题,学生通过小组

7、合作交流,想出测量旗杆高度的多种方法,激发学生的创造性思维,提高学生用数学知识解决实际问题的能力.二、例题讲解过渡语我们用多种方法可以求操场上旗杆的高度,那么我们能不能用类似的方法求出金字塔的高度呢?据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成的两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图,木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.【教师引导分析】(1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗?(由太阳光线平行得BAO=EDF,又AOB=DFE=90,得三角形相似)(2)如何求OA的长?(金

8、字塔的影子是等腰三角形,则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和)(3)写出你的求解过程.【师生活动】学生在教师的引导下分析回答,独立完成证明过程,学生板书,教师点评.解:太阳光线是平行光线,因此BAO=EDF.又AOB=DFE=90,ABODEF.=,BO=134(m).因此金字塔的高度为134 m.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河岸垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据求河

9、宽PQ.解析(1)图中的两个三角形是不是相似三角形?(由PQR=PST=90,P=P可得PQRPST)(2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段?(3)能不能用方程思想解出PQ的值?=,即PQ90=(PQ+45)60,可解得PQ的值【师生活动】学生在教师的引导下独立思考,再完成解答过程,然后小组交流答案,学生代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的板书点评,规范解答过程.解:PQR=PST=90,P=P,PQRPST.=,即=,=,PQ90=(PQ+45)60.解得PQ=90(m).因此,河宽大约为90 m.【追问】你还有其他的测量河宽的方法吗?【师生活动】

10、学生小组合作交流,共同探究其他方法.师生共同归纳,只要合理都可以.如下图也可以应用相似三角形的性质测量河宽.设计意图通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维能力.知识拓展利用相似三角形进行测量的一般步骤:利用平行线、标杆等构成相似三角形；测量与表示未知量的线段相对应的线段的长,以及另外任意一组对应边的长度；画出示意图,利用相似三角形的性质,列出以上包括未知量在内的四个量的比例式,解出未知量；检验

11、并得出答案. 1.测量不能直接测量的物体的高度:通常用同一时刻物高与影长成比例解决.2.测量不能直接测量的两点间的距离:通常构造直角三角形相似求解. 27.2.3相似三角形应用举例1.求旗杆的高度2.例题讲解例1例2 一、教材作业二、课后作业【基础巩固】1.如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米,一棵大树的影长为5米,则这棵树的高度为()A.1.5米B.2.3米C.3.2米D.7.8米2.如图,身高1.6 m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2 m,CA=0.8 m,则树的高度为()A

12、.4.8 mB.6.4 mC.8 mD.10 m3.如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,ABCD,AB=2 m,CD=5 m,点P到CD的距离是3 m,则P到AB的距离是()A. mB. mC. mD. m4.如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12 m,由此他就知道了A,B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24 mB.MNABC.CMNCABD.CMMA=125.如图,已知小明在打网球时,要使球C恰好能打过网DE,而且落在离网5米的位置上,则球拍击球

13、的高度h应为m.6.如图,已知零件的外径为25 mm,现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB.若OCOA=12,量得CD=10 mm,则零件的厚度x=mm.7.如图,为了测量一个大峡谷的宽度AO,地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O,再在他们所在的这一侧选点A,B,D,使ABAO,DBAB,然后确定DO和AB的交点C,测得AC=120 m,CB=60 m,BD=50 m,请你帮助他们算出峡谷的宽AO.【能力提升】8.一高1 m的油桶内有一定量的油,为了测出桶内油的深度,用一根长1.2 m的木棒从桶盖小口斜插入桶内,一端到桶底,另一端正好到小

14、口,抽出棒,量得棒上浸油部分长0.45 m,则桶内油的深度为.9.如图,已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为8米,小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90靠向墙CD时,木梯刚好到达墙的顶端,则墙CD的高为.10.王芳同学利用下面的方法测量学校旗杆的高.如图,在旗杆的底部B引一条直线BM,在这条直线适当的位置E处放一面镜子,当她沿着这条直线走到点D处时恰好在镜子中看到旗杆的顶端A,又测得BE=18米,ED=2.4米,已知王芳的眼睛到地面的高度CD=1.6米,求旗杆AB的高.【拓展探究】11.将ABC纸片按如图的方式折叠,使点B

15、落在边AC上,记为点B,折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8.(1)求ABC的周长；(2)若以点B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,求BF的长.【答案与解析】1.C解析:设树高为x米.因为=,所以=,解得x=3.2.故选C.2.C解析:因为人和树均垂直于地面,所以和光线构成的两个直角三角形相似.设树高x m,则=,即=,x=8.故选C.3.C解析:ABCD,PABPCD,ABCD=P到AB的距离P到CD的距离.25=P到AB的距离3,P到AB的距离为 m.故选C.4.D解析:M,N分别是AC,BC的中点,MNAB,MN=AB,故选项B正确.MN=12 m,AB=2MN=212=24(m)

16、,故选项A正确.MNAB,CMNCAB,故选项C正确.M是AC的中点,CM=MA.CMMA=11,故选项D错误.故选D.5.2.7解析:如图,DEBC,ADEACB,即=,则=,h=2.7(m).6.2.5解析:两条尺长AC和BD相等,OC=OD,OA=OB.OCOA=12,ODOB=OCOA=12.COD=AOB,AOBCOD,CDAB=OCOA=12.CD=10 mm,AB=20 mm,2x+20=25,x=2.5.解:ABAO,DBAB,A=B=90.又ACO=BCD,ACOBCD,=.AC=120 m,BC=60 m,BD=50 m,=,解得AO=100(m),即峡谷的宽AO是100

17、m.8. m解析:如图,CDBE,ACDABE,=,=,=,解得DE=(m).9.7.5米解析:AED=90,AEB+DEC=90.又AB和CD都垂直于BC,ABC=C=90,DEC+D=90,则AEB=D,ABEECD,=,即=,解得CD=7.5(米).10.解:如图,过点E作镜面的垂线EF.由光学原理得AEF=CEF.DEC=90-CEF,BEA=90-AEF,DEC=BEA.又CDE=ABE=90,CDEABE,=,即=,解得AB=12(米).答:旗杆AB高为12米.11.解:(1)AB=AC=6,BC=8,ABC的周长为AB+AC+BC=20.(2)以点B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,BFCABC,BFAB=FCBC,即BF6=(8-BF)8,解得BF=.以点B,F,C为顶点的三角形与ABC相似,FBCABC,BFAB=FCAC,即BF6=(8-BF)6,解得BF=4.综上所述,BF的长为或4. 本节课在富有故事性的情景中导入新课,激发学生的学习兴趣,再从我们身边的测量旗杆的高度、河的宽度的问题出发,注重数学与生活之间的联系,利用身边生活实际,通过提出问题、解决问题、总结归纳,让学生成为学习活动的参与者、探索者和创造者.在探究过程中,从实际出发,以