高中数学必修二 6.4.1 平面几何中的向量方法 导学案新

1、【新教材】 6.4.1 平面几何中的向量方法（人教A版）1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-向量法和坐标法；2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神. 1.逻辑推理：从直观入手，从具体开始，逐步抽象，得出结论；2.数学运算：坐标运算证明几何问题；3.数据分析：根据已知信息选取合适方法证明或求解；4.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事物之间是可以相互转化的.重点：体会向量在解决平面几何问题中的作用；难点：如何将几何问题化归为向量问题.预习导入阅读课本38-39页，填写。1.向

2、量在几何中的应用(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由_表示出来(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面_；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ABC是直角三角形，则有eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0.()(2)若eq o(AB,sup16()eq o(CD,sup16()，则直线AB与CD平行()(3)向量eq o(AB,sup16()，eq o(CD,sup

3、16()的夹角就是直线AB，CD的夹角()2、在四边形ABCD中，eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()0，eq o(BC,sup16()eq o(AD,sup16()，则四边形ABCD是()A直角梯形B菱形C矩形D正方形3已知|a|2eq r(3)，|b|2，向量a，b的夹角为30，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A10Beq r(10)C2D224平面上有三个点A(2，y)，Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(y,2)，C(x，y)(x0)，若eq o(AB,sup16()eq o(BC,sup16()，则满足条件的x，y的关系

4、式是_题型 向量在几何中的应用例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和已知：平行四边形ABCD求证：例2如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.跟踪训练1如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上2、在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAeq f(1,2)AB，求证：ACBC.1已知ABC，a，b，且ab0，则ABC的形状为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形2在四边形ABCD中

5、，那么四边形ABCD为()A平行四边形 B菱形C长方形 D正方形3设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a与b不共线，ac，|a|c|，则|bc|的值一定等于()A以a，b为邻边的平行四边形的面积B以b，c为两边的三角形的面积C以a，b为两边的三角形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积4如图所示，在矩形ABCD中，ABeq r(3)，BC3，BEAC，垂足为E，则ED_.5.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点求证：AFDE(利用向量证明)答案小试牛刀1. (1) (2) 2C.3C.4. y28x(x0).自主探究例1 【答案】见解析【解析】证明：不

6、妨设a，b，则a+b，a-b，|a|2，|b|2得 ( a+b)( a+b) = aa+ ab+ba+bb= |a|2+2ab+|b|2 同理|a|2-2ab+|b|2 +得 2(|a|2+|b|2)=2()所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和例2【答案】见解析【解析】证明法一：设eq o(AD,sup17()a，eq o(AB,sup17()b，则|a|b|，ab0，又eq o(DE,sup17()eq o(DA,sup17()eq o(AE,sup17()aeq f(1,2)b，eq o(AF,sup17()eq o(AB,sup17()eq o(BF,sup17()beq

7、 f(1,2)a，所以eq o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)a)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(1,2)b2eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20.故eq o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()，即AFDE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq o(AF,sup17()(2,1)，eq o(DE,sup17()(1，2)因为eq

8、 o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()(2,1)(1，2)220，所以eq o(AF,sup17()eq o(DE,sup17()，即AFDE.跟踪训练1【答案】见解析【解析】证明：设eq o(AB,sup17()m，eq o(AD,sup17()n，由eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，eq o(FO,sup17()eq o(FA,sup17()eq o(AO,sup17()eq f(1,3)eq o(BA,sup17()eq f(1,2)eq o(AC,sup17()eq f(1,3)meq f(1,2)(m

9、n)eq f(1,6)meq f(1,2)n，eq o(OE,sup17()eq o(OC,sup17()eq o(CE,sup17()eq f(1,2)eq o(AC,sup17()eq f(1,3)eq o(CD,sup17()eq f(1,2)(mn)eq f(1,3)meq f(1,6)meq f(1,2)n.eq o(FO,sup17()eq o(OE,sup17().又O为eq o(FO,sup17()和eq o(OE,sup17()的公共点，故点E，O，F在同一直线上2、【答案】见解析【解析】证法一：CDADAB90，ABCD，CDDAeq f(1,2)AB，故可设eq o(AD

10、,sup16()e1，eq o(DC,sup16()e2，|e1|e2|，则eq o(AB,sup16()2e2.eq o(AC,sup16()eq o(AD,sup16()eq o(DC,sup16()e1e2，eq o(BC,sup16()eq o(AC,sup16()eq o(AB,sup16()(e1e2)2e2e1e2.而eq o(AC,sup16()eq o(BC,sup16()(e1e2)(e1e2)eeq oal(2,1)eeq oal(2,2)|e1|2|e2|20，eq o(AC,sup16()eq o(BC,sup16()，即ACBC.证法二：如图，建立直角坐标系，设CD1，则A