高中数学必修二 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积（含答案）

1、 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积导学案编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【学习目标】1.会求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积2.会求圆柱、圆锥、圆台的侧面积3.了解球的体积和表面积公式【自主学习】知识点1圆柱、圆锥、圆台、球的表面积1圆柱的表面积(1)侧面展开图：圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长(2)面积：若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧2rl，表面积S表2r(lr)2圆锥的表面积(1)侧面展开图：圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长(2)面积：若圆锥的底面半径为r，母线

2、长为l，则圆锥的侧面积S侧rl，表面积S表r(lr)3圆台的表面积(1)侧面展开图：圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到(2)面积：圆台的上、下底面半径分别为r、r，母线长为l，则侧面积S侧(rr)l，表面积S表(r2r2rlrl)4球的表面积若球的半径为R，则它的表面积S4R2.知识点2圆柱、圆锥、圆台、球的体积1圆柱的体积(1)圆柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离(2)若圆柱的底面半径为r，高为h，其体积Vr2h.2圆锥的体积(1)圆锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与

3、底面的交点)之间的距离(2)若圆锥的底面半径为r，高为h，其体积Veq f(1,3)r2h.3圆台的体积若圆台的上、下底面半径分别为r、r，高为h，其体积Veq f(1,3)h(r2rrr2)4球的体积若球的半径为R，那么它的体积Veq f(4,3)R3.【合作探究】探究一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算【例1】(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq r(2)，则圆锥的体积是()A.eq f(64,3)B.eq f(128,3)C64D128eq r(2)(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180，则圆台的表面积为_cm2.(

4、结果中保留)【答案】(1)A(2)1 100分析(1)利用圆锥的轴截面得到圆锥的底面半径和高，进而求其体积；(2)利用圆弧与圆心角及半径的关系得到圆台的母线长，再利用表面积公式进行求解解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2req r(l2l2)，即leq r(2)r，由题意得，侧面积S侧rleq r(2)r216eq r(2)，解得r4，l4eq r(2)，圆锥的高heq r(l2r2)4，圆锥的体积Veq f(1,3)Sheq f(1,3)424eq f(64,3).故选A.(2)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180，故cSA2

5、10 cm，所以SA20 cm.同理可得SB40 cm，所以ABSBSA20 cm，所以S表面积S侧S上底S下底(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.归纳总结：解决旋转体的有关问题常需要画出其轴截面图，将空间问题转化为平面问题来解决.对于与旋转体有关的组合体问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，然后根据条件分清各个简单几何体底面半径及母线长，再分别代入公式求各自的表面积或体积【练习1】把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积解：设圆柱的底面半径为r，母线长为l.如图所示，当2r4，l2时，req f(2,)，hl2，V

6、圆柱r2heq f(8,)，当2r2，l4时，req f(1,)，hl4，V圆柱r2heq f(4,).综上所述，这个圆柱的体积为eq f(8,)或eq f(4,).探究二 球的表面积和体积的计算【例2】(1)两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A23B49C.eq r(2)eq r(3) D.eq r(8)eq r(27)(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_(3)圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.【答案】(1)B(2)eq r(3,2)(

7、3)4分析利用球的表面积和体积公式以及圆柱的体积公式进行求解解析(1)两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.(2)两个小铁球的体积为2eq f(4,3)13eq f(8,3)，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积eq f(4,3)R3eq f(8,3)，所以大铁球的半径为eq r(3,2).(3)设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.则有r26r8r23eq f(4,3)r3，即2r8，所以r4 cm.归纳总结：求球的表面积与体积的一个关键和两个结论1关键：把握住球的表面积公

8、式S球4R2，球的体积公式V球eq avs4al(f(4,3)R3)是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了.2两个结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.【练习2】一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积解：当截面在球心同侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知AO1BO2，且O1，O2为两截面圆的圆心，则OO1AO1，OO2BO2.设球的半径为R，O2B249，O2B7 cm，同理，得O1A20 cm.设

9、OO1x cm，则OO2(x9) cm，在RtO1OA中，R2x2202，在RtOO2B中，R272(x9)2, 联立可得x15，R25.S球4R22 500 cm2，故球的表面积为2 500 cm2.当截面在球心的两侧时，如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，O1AO2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1O1A，OO2O2B.设球的半径为R，O2B249，O2B7 cm，O1A2400，O1A20 cm，设O1Ox cm，则OO2(9x) cm.在RtOO1A中，R2x2400，在RtOO2B中，R2(9x)249.x2400(9x)249，解得x15，不合题意，舍去综上所述，球

10、的表面积为2 500 cm2.探究三 几何体的“切”“接”问题【例3】(1)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A4(rR)2B4r2R2C4rR D(Rr)2(2)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若AB4，AC3，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.eq f(3r(17),2)B2eq r(10)C.eq f(13,2)D3eq r(10)【答案】(1)C(2)C分析(1)作出球与圆台相切的轴截面(2)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形即可求得球O的半径解析(1)如图为球与圆台的轴截面，过D作DEBC，设球的半径为

11、r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr，由勾股定理得4req oal(2,1)(Rr)2(Rr)2，解得r1eq r(Rr)(舍负)故球的表面积为S球4req oal(2,1)4Rr.(2)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMeq f(1,2)BCeq f(5,2)，OMeq f(1,2)AA16，所以球O的半径ROAeq f(13,2).归纳总结：解决几何体与球相切或相接的策略1要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.2解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键

12、是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算【练习3】如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq r(3)的圆柱，求圆柱的表面积解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则ROC2，AC4，AOeq r(4222)2eq r(3).如图所示，易知AEBAOC，eq f(AE,AO)eq f(EB,OC)，即eq f(r(3),2r(3)eq f(r,2)，r1.S底2r22，S侧2rh2eq r(3).SS底S侧22eq r(3)(22eq r(3).课后作业A组 基础题一、选择题1面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为

13、()AQB2QC3QD4Q【答案】B正方形绕其一边旋转一周，得到的是圆柱，其侧面积为S2rl2eq r(Q)eq r(Q)2Q.故选B2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2B2eq r(2)C4D8【答案】C圆台的轴截面如图， 由题意知，leq f(1,2)(rR)，S圆台侧(rR)l2ll32，l4.3圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为()A7B6 C5D3【答案】A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.4如果三个球的半径之比是123，那么最大球的表

14、面积是其余两个球的表面积之和的()Aeq f(5,9)倍Beq f(9,5)倍C2倍D3倍【答案】B设小球半径为1，则大球的表面积S大36，S小S中20，eq f(36,20)eq f(9,5).5把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为()A3 cmB6 cm C8 cmD12 cm【答案】D由eq f(4,3)R3eq f(4,3)63eq f(4,3)83eq f(4,3)103，得R31 728，检验知R12.6将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为()A2B3 C4D6【答案】B由题意知，该几何体为半

15、球， 表面积为大圆面积加上半个球面积， S12eq f(1,2)4123.7将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为()Aeq f(16,3) Beq f(4,3) Ceq f(32,3)D4【答案】B根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r1，所以Veq f(4,3)r3eq f(4,3).8已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A2eq r(10)B2eq r(5) C3D2【答案】A圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆

16、柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，ACeq r(2262)2eq r(10).故选A9用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是13，这截面把圆锥母线分为两段的比是()A13B1 (eq r(3)1)C19 Deq r(3)2【答案】B由面积比为13，知小圆锥母线与原圆锥母线长之比为1eq r(3)，故截面把圆锥母线分为1(eq r(3)1)两部分，故选B10已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A Beq f(3,4) Ceq f(,2) Deq f(,4)【答案】B设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R1，由圆柱两个底面

17、的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形req r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2)eq f(r(3),2).圆柱的体积为Vr2heq f(3,4)1eq f(3,4).故选B二、填空题11若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为_【答案】3设此球的半径为R，则4R2eq f(4,3)R3，R3.12如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq f(V1,V2)的值是_【答案】eq f(3,2)设球O的半径为R，球O与圆柱O1O2的上、下底

18、面及母线均相切，圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.eq f(V1,V2)eq f(R22R,f(4,3)R3)eq f(3,2).13表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为_【答案】2设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，rlr23，且l2r.解得r1，即直径为2.14我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸)【答案】3圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸

19、，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为eq f(f(,3)102106629,142)3(寸)15圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180(如图)，那么圆台的体积是_【答案】eq f(7 000,3)eq r(3) cm3180eq f(2010,l)360，l20，h10eq r(3)，Veq f(1,3)(req oal(2,1)req oal(2,2)r1r2)heq f(7 000r(3),3) (cm3)三、解答题16若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，求圆锥的体积解设圆锥的底面半径为r，母

20、线为l，则2req f(1,3)l，得l6r.又S圆锥r2r6r7r215，得req r(f(15,7)，圆锥的高heq r(blc(rc)(avs4alco1(6r(f(15,7)eq sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(r(f(15,7)eq sup12(2)5eq r(3)，Veq f(1,3)r2heq f(1,3)eq f(15,7)5eq r(3)eq f(25r(3),7).17如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解因为圆

21、锥形铅锤的体积为eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,2)eq sup12(2)2060(cm3)，设水面下降的高度为x cm，则小圆柱的体积为eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,2)eq sup12(2)x100 x.所以有60100 x，解此方程得x0.6.故杯里的水将下降0.6 cm.18某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r1，l3，试求该组合体的表面积和体积解该组合体的表面积S4r22rl41221310.该组合体的体积Veq f(4,3)r3r2leq f(4,3)13123eq f(13,3).19已

22、知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB18，BC24，AC30，求球的表面积和体积解因为ABBCAC182430345，所以ABC是直角三角形，B90.又球心O到截面ABC的投影O为截面圆的圆心，也是RtABC的外接圆的圆心，所以斜边AC为截面圆O的直径(如图所示)，设OCr，OCR，则球半径为R，截面圆半径为r，在RtOCO中，由题设知sinOCOeq f(OO,OC)eq f(1,2)，所以OCO30，所以eq f(r,R)cos 30eq f(r(3),2)，即Req f(2,r(3)r，(*)又2rAC30r15，代入(*)得R10eq r(3).所以球的表

23、面积为S4R24(10eq r(3)21 200.球的体积为Veq f(4,3)R3eq f(4,3)(10eq r(3)34 000eq r(3). B组 能力提升一、选择题1.如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为()A24B28C32 D36【答案】C由题意知球的半径R4，所以球的表面积为4R264.设圆柱的底面半径为r，高为h，则r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)eq sup12(2)42，得4r2h264，即h2644r2，所以圆柱的侧面积S2rh2eq r(r2h2)2eq r(r2644r2)4eq r

24、(r216r2)4eq r(r28264)(0r4)，所以当r28，即r2eq r(2)时，圆柱的侧面积最大，最大值为32.此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是643232.2如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为()A43B31C32D94【答案】C作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h3R，圆锥底面半径req r(3)R，则leq r(h2r2)2eq r(3)R，所以eq f(S圆锥侧,S球) eq f(rl,4R2)eq f(r(3)R2r(3)R,4R2)eq f(3,2).3已知圆柱的侧面展开图矩形面积为S，底面周长为C，它的体积是(

25、)Aeq f(C3,4S) Beq f(4S,C3)Ceq f(CS,2) Deq f(SC,4)【答案】D设圆柱底面半径为r，高为h，则eq blcrc (avs4alco1(ChS，,C2r，)req f(C,2)，heq f(S,C).Vr2heq blc(rc)(avs4alco1(f(C,2)eq sup12(2)eq f(S,C)eq f(SC,4).二、填空题4如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b.那么圆柱被截后剩下部分的体积是_【答案】eq f(r2ab,2)采取补体方法，相当于一个母线长为ab的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩

26、下部分的体积Veq f(r2ab,2).圆柱内有一个内接长方体ABCDA1B1C1D1，长方体的体对角线长是10eq r(2) cm，圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的面积是100 cm2，则圆柱的底面半径为_cm，高为_cm.【答案】510设圆柱底面半径为r cm，高为h cm，如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则：eq blcrc (avs4alco1(2r2h210r(2)2，,2rh100，)所以eq blcrc (avs4alco1(r5，,h10.)即圆柱的底面半径为5 cm，高为10 cm.6如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为eq r(3)的圆柱，求圆柱的表面积解设圆锥的底面半径为R