插值法综述《计算方法》学习报告

1、插值法综述一、插值法及其国内外研究进展插值法简介插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值， 但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机广泛使用之后，由于航空、机械加工、自动控制等实际问题的需要，使插值法在实践和理论上都显得更为重要，并得到了空前的发展。国内外研究进展插值法在预测地基沉降的应用 插值法在不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法的应用 拉格朗日插值法在地震动的模拟研究中的应用插值法在结构抗震可靠性分析中的应用 插值法在应力集中应变分布规律实验分析中的应用代表性文献不等时距 G

2、M(1%2c1) 模型预测地基沉降研究秦亚琼 武汉理工大学学报(交通科学与工程版) 2008.2不排水不可压缩条件下两相介质的两重网格算法牛志伟 岩土力学 2008.3基于拉格朗日插值法的地震动的模拟 白 可 山西建筑 2010.10响应表面法用于结构抗震可靠性分析 张文元 世界地震工程1997小议应力集中应变分布规律的实验方法查珑珑淮海工学院学报（自然科学版）2004.6、插值法的原理设有n+1个互不相同的节点（Xi , yi ）（i=0, 1, 2,n）则存在唯一的多项式: TOC o 1-5 h z Ln(x)=a0a1x a2x2 . anxn(1)使得 Ln(Xj) =yj(j =0

3、,1,2,.n)证明：构造方程组2,2 , na。+&%+a?xo +. + anx0 = y.2 , n产。+&为+a2” + anX =y iHinni1a0 +&xn +a2xn2 +. +anxnn = 丫口令：A二一11方程组的矩阵形式如下：AX =Yn n 4由于|A=r口（x-xj）#0所以方程组（4）有唯一解i 1 j =0从而 Ln(x) =a0+ax+a2x2+. + anxn 唯一存在。三、常用插值法Lagrange 插值法Lagrange插值法的一般提法n x - xjn j z0 xi - xj给定(为，f (Xi) (i =0,1，n),多项式nnn(x)yili(

4、x) =、yi Oi称为f (x)关于x0, x1，xn的n次Lagrange插值多项式。Lagrange插值多项式的构造已知n+1个节点(xj, yj) (j =0,1,| n,其中xj互不相同，不妨设a =xo|h xn =b),要求形如：Pn(x) =anxn +an4xn+ax +ao的插值多项式。若n次多项式lj (x) (j =0,1,|, n)在n+1个节点 x | AbsolutePointSize18;InterpolationA,InterpolationOrder-3g2=Plot%x,x,0,0.8Showg1,g2N%0.12,20N%0.72,20Nf0.12,20

5、Nf0.72,203.1.4 Lagrange插值法典型例题及其解法已知3/27 = 3，麻 =4,3/125=5 ,构造二次拉格朗日插值多项式(1)计算 3A00 ;(2)估计误差并与实际误差相比较。解(1)以插值点(27,3), (64,4), (125,5)代入插值公式，得222(x) = yili(x) = yi i =0 i =02x -x.n - j=0 xi -xj d#i(x-64)(x-125)3 , (x-27)(x-125)4 , (x-27)(x-64)5(27 -64)(27 -125)(64 -27)(64 -125)(125-27)(125 -64).3100 ：

6、 2(100)(100-64)(100-125)(27 -64)(27 -125)3 . (100-27)(100-125) 4. (100-27)(100-64) 5(64-27)(64 -125)(125-27)(125-64)=4.68782(2)由误差公式有f()R(x)(x-27)(x-64)(x-125)3!8记 f(x) =3x, f (3)(x) =10 x 3, f (3)(x)在27, 125上是单调递减函数f(3) (x) f (3)(27)定 5.64503父10一5R(100尸f(3)(96( )(100 27)(10064)(100125) % 0.618131实际

7、误差:V100 %(100) =0.04623。3.1.5 Lagrange插值法误差估计f (n 1)( -) nRn(x) = f (x) -Ln(x)(x-Xj),(a, b)(n 1)! j=0M nf8 Mn|Rn(x)|2 )=+ + 即、-布+ % x?_fx1 卜 f x0 -0-= fx0,x1x,x_10fc 一 f c f ; f c2010 x - x x - x一2一010则引入记号：f =fx 2 x xk kx2 x1fcfc f，f22.0_f x ,x/ x c 0,12fx0,x2 卜 f 乂04 1 _ x2-x0 xfx 0依次递推可得达式： fx ,x

8、 , .x 0 I kx2 一 x1x2 一 x1fx0，x1，xk_ 2xk，_fx 0 x 1，xkL 1_|xk -xk -1ak的一般表3.1.3 Newton插值法的程序设计x0,x1,x2,x3,x4=10,11,12,13,14;yk_:=LogxkTableyk,k,0,4/N;MatrixForm%fi_,j_:=(yj-yi)/(xj-xi)Tablefi,i+1,i,0,3/N;MatrixForm%fi_,j_,k_:=(fj,k-fi,j)/(xk-xi)Tablefi,i+1,i+2,i,0,2/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_:=(fj,k,l-

9、fi,j,k)/(xl-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i,0,1/N;MatrixForm%fi_,j_,k_,l_,m_:=(fj,k,l,m-fi,j,k,l)/(xm-xi)Tablefi,i+1,i+2,i+3,i+4,i,0,0/N;MatrixForm%A=y0,y1,y2,y3,y4,0,f0,1,f1,2,f2,3,f3,4,0,0,f0,1,2,f1,2,3,f2,3,4,0,0,0,f0,1,2,3,f1,2,3,4,0,0,0,0,f0,1,2,3,4;TransposeA/N;MatrixForm%a0=y0;a1=f0,1;a2=f0,1,2;a3=f

10、0,1,2,3;a4=f0,1,2,3,4;Nx=Sumak*ProductKx-xm),m,0,k-1,k,0,4/NExpand%Newton插值法典型例题及其解法已知函数f(x)的函数表如下：x0.400.550.650.800.901.05yi0.410 750.578 150.696 750.888 111.026 521.253 82求四次牛顿插值多项式，并由此求 f (0.596 )的近似值。分析 表中给出六对数据，故最高可构造五次多项式。但由于 0.596接近于Xo=0.40,因此可取前五对数据来做差商表。解构造差商表如下：Xif (Xi )一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0.

11、400.410 750.550.578 151.116 000.650.696 751.186 000.280 000.800.888 111.275 730.358 930.197 330.901.026 521.384 100.433 480.213 000.031 34故四次牛顿插值多项式为P4 x )=0.41075 1.11600 x - 0.40.28000 x - 0.4 x - 0.550.19733 x-0.4 x -0.55 x -0.650.03134 x - 0.4 x -0.55x -0.65 x -0.80于是 f0.596 户P4(0.596)= 0.631 95

12、。Newton插值法误差估计Rn(x)”x) - Nn(xn th)=t(t 1)|l|(t n)hn 1f(n 1)(n 1)!其中(x0,xn).四、插值法的比较Lagrange插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上十分重要，但计算 不太方便。基函数方法是将插值问题划归为特定条件下容易实现的插值问题，本质上是 广义的坐标系方法。Newton插值在计算插值多项式及求解函数近似值都比较方便且计 算量相对较小，是求函数近似值常用的方法，尤其是等距节点的差分插值公式最为常用。五、插值法在结构工程专业的应用案例.案例叙述应用Matlab求解水道测量数据问题摘要：水道测量数据问题是一个给定数据

13、散乱、随机分布的二维离散数据的插值问 题。本文以水道测量数据问题为例，应用 Matlab软件提供的求解三维网格点数据的函 数，对求解决给定数据散乱、随机分布的二维离散数据插值问题，给出了一个简便易行 的方法。问题重述水道测量数据问题是1986年美国大学生数学建模竞赛的 A题，由加州海军研究生 院数学系的Richard Franke提供。问题如下：在某海域测得一些点（x, y）处的水深z （单位：英尺）由表1给出，水深数据是 在低潮时测得的。船的吃水深度为 5英尺，问在矩形区域（75, 200）M（-50, 150）里 的哪些地方船要避免进入。表1水道水深测量数据（单位：英尺）x129.0140

14、.0108.588.0185.5195.0105.5y7.5141.528.0147.022.5137.585.5z4868688x157.5107.577.081.0162.0162.0117.5y-6.5T1.03.056.5-66.584.038.5z9988949.案例解法假设与问题分析由题目给出的信息是很少的，除了 14个位置的水深之外一无所知。显然，题目要求我们找出水深不到5英尺的区域。为了讨论方便，下面三个假设是合理的：1）所给数据是精确的；2）讨论区域的海底曲面是光滑的，更确切地说，可以认为曲面的一阶、二阶导数 是连续的。因为我们可以认为讨论区域为浅水海域，由于长期的海水水流作

15、用，形成的是以砾石或沙为主要组成部分的海底，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突 变地形。3)水深是一个按区域来划分的变量， 在某个位置的水深与其周围区域的水深是相互依赖的，但这种依赖作用随距离的增大而减小。就我们讨论的问题来说，每一个给定 数据点影响周围的每一个未知点，一个给定数据点离未知点越近，作用就越大。根据假设，海底曲面是连续光滑的，不存在珊瑚礁、水底峡谷、山脊等不可意料的突变地形，因而很自然的想法就是用某种光滑的拟合曲面去逼近已知的 14个数据点或 以14个已知的数据点为基础，利用二维插值补充一些点的水深，以求得水深不超过 5 米的区域。问题求解题目中2&定的14个已知数据点，

16、是一组散乱、随机分布的二维离散数据集合，一般首先采用改进的Shepard方法，从给定的数据恢复出规则分布点上的数据，然后再应用双三次样条插值或其它的二维数据插值方法来处理。然而，利用 Matlab中求解三维网格点数据的函数griddata ,却可直接对散乱、随机分布的二维离散数据进行插值。函数griddata的调用格式为：xi, yi, zi = griddata(x, y, z, xi, yi, v4),其返回与向量x、y和z所描述的数据点集合相匹配的表面f(x, y)上网格点的z坐标矩阵zi。函数griddata在点(xi, yi)处对表面函数f(x, y)进行插值，从而得到zi的值。在此

17、，我们采用求解三维网格点数据的函数griddata ,对题目中给出的二维离散数据集合进行插值，作出矩形区域(75, 200) X (-50, 150)范围内的海底地形图、水深不超过5米的危险区域的海底地貌图、矩形区域(75, 200) x (50, 150)范围内的海底等高线图以及水深不超过 5米的危险区域的平面图，并求出水深不超过5米的危险海域范围为：113.75, 200 x0, 100。问题求解的Matlab程序及运行结果附后。.求解案例的程序设计求解水道测量数据问题的Matlat程序clear;x = 129, 140, 108.5, 88, 185.5, 195, 105.5, 15

18、7.5, 107.5, 77, 81, 162, 162, 117.5;y = 7.5, 141.5, 28, 147, 22.5, 137.5, 85.5, -6.5, -81, 3, 56.5, -66.5, 84,-38.5;z = -4, -8, -6, -8, -6, -8, -8, -9, -9, -8, -8, -9, -4, -9;nx = 100;px = linspace(75, 200, nx);ny = 200;py = linspace(-50, 150, ny);xi, yi = meshgrid(px, py);xi, yi, zi = griddata(x, y

19、, z, xi, yi, v4);figure(1), meshc(xi, yi, zi+5);title(75, 200), (-50, 150)范围内的海底地形图);rotate3dfigure(2), contour(xi, yi, zi);title(75, 200), (-50, 150)范围内的海底等高线图);gridfigure(3), contour(xi, yi, zi, -5 -5);title(水深不超过5米的危险区域的平面图)；grida, b = find(zi=-5);amin = min(a);amax = max(a);bmin = min(b);bmax = max(b);xmin = 75+(200-75)/100)*bminxmax = 75+(200-75)/100)*bmaxymin = -5