线性代数第一讲

1、概率论与数理统计 随机试验 样本空间 随机事件 频率与概率 1 在我们所生活的世界上，扔硬币、婴儿诞生无时无刻不面临着不确定性 每时每刻都有各种现象发生. 随机现象 确定性现象有一类现象在一定条件下一定发生掷骰子、玩扑克、2 在个别试验或观察中其结果呈现出不确定性； 随机现象：大量重复试验后会呈现其固有规律性统计规律性 在大量重复试验或观察中其结果又具有统计规律性.3A. 太阳从东方升起；B. 明天的最高温度；C. 上抛物体一定下落；D. 新生婴儿的体重. 我们的生活和随机现象结下了不解之缘 下面的现象哪些是随机现象？随机现象例4随机试验：如果（1）试验能在相同条件下重复进行；抛硬币；H 例如

2、, 掷硬币试验掷一枚硬币，观察出正还是反.T掷骰子试验掷一颗骰子，观察出现的点数 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命.一、随机试验 （2）每次试验的可能结果不止一个，事先明确试验的所有可能结果； （3）试验之前又不能确定会出现哪一个结果.抛骰子；测寿命；记温度等.5 我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或. 二、样本空间 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或表示. 如果试验是将一枚硬币抛掷两次，则该试验样本空间由如下 个样本点组成： S=(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)四 ？ 6 如果试验是测试某灯泡的寿命，则该试验样本空间如何描述？S

3、= t ：t 0 如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数，则该试验样本空间如何组成？ 如果试验是记录某地的最高和最低温度，则该试验样本空间如何描述？ 如果试验是将一枚硬币抛掷三次，观察正反面出现的情况，则该试验样本空间如何组成？ 7或：称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件.随机事件用A,B,C等表示.例如，掷一颗骰子，观察出现的点数S = i ：i=1,2,3,4,5,6样本空间：事件B就是S的一个子集B = 1,3,5 在随机试验中，我们往往会关心某个或某些结果是否会出现. 三、随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件.8事件基本事件复合

4、事件（相对于观察目的不可再分解的事件）（两个或多个基本事件合并在一起，就 构成一个复合事件）事件 B=掷出奇数点如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 . 事件 Ai =掷出i点 i =1,2,3,4,5,69例如，在掷骰子试验中， 在每次试验中必定发生，空集，而“掷出点数8”则是不可能事件.两个特殊事件样本空间S，必件然事不件可事能 “掷出点数小于7”是必然事件;在每次试验中都不可能发生，10四、事件间的关系与事件的运算1.事件间的关系11122.事件运算定律（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）德.摩根律 互斥与互逆的区别？13 是A的对立事件， =两件产品不都是合格品在概率论中，常常叙述为

5、：=两件产品中至少有一个是不合格品A=两件产品都是合格品， 例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记问：=两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品14 若记 Bi =取出的第 i 件是合格品，i=1,2=两件产品中至少有一个是不合格品 A=B1B2 问如何用 Bi 表示A和 ？A=两件产品都是合格品， 例如，从一批产品中任取两件，观察合格品的情况. 记151. A发生, B与C不发生练习：设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件.或2. A与B都发生,而C不发生或163. A、B、C中至少有一个发生4. A、B、C都发生或ABC恰有1个发生恰有2个发生

6、ABC3个都发生175. A、B、C中至少有两个发生或 6. A、B、C都不发生恰有2个发生3个都发生或18 了解事件发生的可能性即概率的大小，对人们的生活有什么意义呢？ 了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小，合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小，合理确定堤坝高度.191. 0 Rn(A) 1 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数fA 称为事件A发生的频数. 五、事件的频率2. Rn(S)=1 3.设A, B 是互不相容的事件，则性质fA/n 称为事件A发生的频率.记为R n(A).20 在充分

7、多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动；试验次数越多，一般来说摆动越小. 高尔顿钉板试验 频 率 稳 定 性随机事件一个极其重要的特征： 频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要 n相当大，频率与概率是会非常接近的.21 这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路. 这种确定概率的方法称为频率方法. 在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，统计概率称此概率为 概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.22例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量

8、射击情况进行观察记录. 若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率m/n作为他中靶概率的估计.23 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.六、概率的公理化定义“公理”就是一些不加证明而公认的前提.24概率的公理化定义2 规范性 对于必然事件S，有P(S)=1 (2) 3 可列可加性 设A1, A2 , 是两两互不相容的事件，则有 (3)1 非负性 对每个事件A，有P(A) 0 (1) 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A赋予一

9、个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:25文氏图设边长为1个单位的正方形的面积表示样本空间S 其中封闭曲线 围成的一切点的集合表示事件 A把图形的面积理解为相应事件的概率26 性质1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A). 性质1对任一事件A ，有 27 性质2即不可能事件的概率为0 .利用公理3即得.28移项得前式.便得证后式.再由由可加性 性质3 设、B是两个事件，若 , 则 有 29 又因再由性质 3便得. 性质4对任意两个事件A、B，有 30性质5（有限可加性）设A1, A2 , An是两两 互不相容的事件，则有 (3) 性质6对任一事件A ，有31 1657年，惠更斯出版的专著论掷骰子游戏中的计算被认为是概率论中最早的论著。1906 年，俄国数学家马尔科夫提出了所谓 “ 马尔科夫链 ” 的数学模型。 1934年，前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。 20世纪初完成的勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础。在这种背景