初一数学整式乘除含

1、整式乘除知识点睛模块一幂的运算幂的运算同底数幂相乘同底数的幂相乘，底数不变，指数相加用式子表示为：amanamn（m,n都是正整数）幂的乘方幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘用式子表示为：namamn（m,n都是正整数）积的乘方积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘用式子表示为：abnanbn（n是正整数）同底数幂相除同底数的幂相除，底数不变，指数相减用式子表示为：mnmn（a0，m，n都是正整数）aaa规定a01a0；ap1p（a0，p是正整数）a模块二整式的乘法单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的

2、字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则以下：232342和3，ab3abc3abc，两个单项式的系数分别为1乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a的幂分别是a和a2，乘积中a的幂是a3，同理，乘积中b的幂是b4，其余，单项式ab中不含c的幂，而3a2b3c2中含c2，故乘积中含c2.单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，而后把所得的积相加，公式为：m(abc)mambmc，此中m为单项式，abc为多项式.多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：(mn)(ab)mambnan

3、b模块三整式的除法单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，关于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：3a2b3c2ab3ab2c2，被除式为3a2b3c2，除式为ab，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a的幂分别为a2和a，故商中a的幂为a21a，同理，b的幂为b2，其余，初中数学整式的乘除教师版Page1of10被除式中含c2，而除式中不含关于c的幂，故商中c的幂为c2.多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，而后把所得的商相加，公式为：(abc)mambmcm，此中m为单项式，abc为多项式.模块四平方差公式平方差公式的特色：即两数和与它们

4、差的积等于这两数的平方差。左侧是一个二项式相乘，这两项中有一项完整同样，另一项互为相反数。右侧是乘方中两项的平方差（同样项的平方减去相反项的平方）。注意：（1）公式中的a和b可以是详尽的数也可以是单项式或多项式。如：(a2)(a2)a24；(abc)(abc)(ab)2c2；（2）不可以直接运用平方差公式的，要擅长转变变形，也可能运用公式。如：97103(1003)(1003)9991；(ab)(ba)(ab)(ab)a2b2。模块五完整平方公式(ab)2a22abb2；(ab)2a22abb2，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。完整平方公式的特色：左侧是一个

5、二项式的完整平方，右侧是一个二次三项式，此中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项为哪一项左侧二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。注意：（1）公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式。（2）一些原来不是二项式的式子的平方也可以利用完整平方公式来计算，如：(abc)2(ab)c2(ab)22(ab)cc2a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2ac2bc模块六增补公式立方和公式：(ab)(a2abb2)a3b3；立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3；和的完整立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3；差的完整立方公式

6、：(a33223.b)a3ab3abc例题精讲板块一：幂的运算【例1】已知a5b1，n为正整数，你能求出a2n2b2nb2的值吗？52n2【答案】a2n2b2nb22n22n2b2nb22n2时，原式511ab，当aab5初中数学整式的乘除教师版Page2of10【例2】若(9x2)3(1)84，求x3的值32)31)823181x32，3236，36【答案】(9x(3x()9xx33【例3】已知a、b互为相反数,c、d互为倒数，x的绝对值等于2,试求:x2(abcd)x(ab)2003(cd)2003的值.【答案】由题意可知ab0，cd1，x2x2(abcd)x(ab)2003(cd)200

7、32(01)(2)02003(1)20032当x2时,x2(abcd)x(ab)2003(cd)20031当x2时,x2(abcd)x(ab)2003(cd)20035【例4】已知：a200220012002200120002200120022000200120022001，b20022002试比较a与b的大小【答案】ab【例5】你能比较两个数20082009和20092008的大小吗？为认识决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较nn1与(n1)n的大小(n是自然数)，而后，我们分析n2，n2，n3，中发现规律，经概括，猜想得出结论经过计算，比较以下各组中两个数的大小(在空格中填写“”、“

8、”、“”号)1221；232443；454653；35；56从第题的结果经过概括，可以猜想出n1和n的大小关系是n（n1）依据上边概括猜想获取的一般结论，试比较以下两个数的大小2008200920092008【答案】1221；2332；3443；4554；5665nn1（nn(n1，2)，nn1n3)；2008200920092008.1）（n1）(n【例6】符号n!表示正整数从1到n的连乘积，读作n的阶乘比方5!12345.试比较3n与(n1)!的大小（n是正整数）【答案】当n1时，3n3，n1!122当n2时，3n9，n1!1236当n3时，3n27，n1!123424当n4时，3n81，

9、n1!12345120当n5时，3n243，n1!6!720当n1，2，3时，3n(n1)!，当n3时3n(n1)!【例7】比较an与an2（a为正数，n为正整数）的大小【答案】方法a0，n为正整数，an0，an2a2an，分三种状况：初中数学整式的乘除教师版Page3of10当a1，则a21，an2an；当a1，则a21，an2an2n2n当0a1，则a1，则aa方法2a0，n为正整数，an0，ann2a2,a分三种状况：当a1，则a21，an2an；当a1，则a21，an2an；当0a1，则a21，则an2an【例8】计算：22223242526272829210_【答案】可直接计算求出结

10、果，也可经过观察式子的特色，注意到210前面为“”号，提取公因式，再进行计算原式2102928272625242322229(21)28272625242322222(21)26教师不防在此回忆坚固下边两个典型题目的计算：11111111111111223n12n2223n1nnnn22222222220212223242n2020212223242n202n11【例9】比较以下各题中幂的大小比较大小：a0.42，b42，c（-1210），d（-）44已知a31，b41，c9618127，比较a，b，c的大小关系比较255，44，33，622这4个数的大小关系351613的大小关系是16131

11、5与331533(填“”、“”或“”)已知M6200172003，N6200372001，比较M、N的大小关系99已知P9999，Q1190，比较P、Q的大小关系99已知A320061，B320071，试比较A与B的大小200712008133关于abc0，mn0(m，n是正整数)，比较cnam，ambn，bncm的大小关系【答案】本题介绍了幂的大小比较常用的8个方法a0.16，b10.0625，c16，d1abdc直接计算16a431124341123，c261122abc比较指数(3)3，b(3)3(3)3，因此55(251111,34441111333111122211112)32(3)

12、81,5(5)125,6(6)36，11111111，255224433比较底数323681125635初中数学整式的乘除教师版Page4of101516161626433133213265264,因此15163313放缩由于MN20012003(62003200162001720036200372001677)62001(162)72001(721)487200135620010，因此MN作差由于P999119999990991199901，因此PQ作商Q9999909991199991192006a，则Aa10，B3a10设33a19a1而Aa13a1(a1)(9a1)9a210a14a2

13、219a21换元B3a19a1(3a1)9a6a16a1由于abc0，mn0(m，mnp0为正整数)，故可取a3，b2，c1，m3，n2，则ambn3322108，bncm22134，cnam123327因此ambncnambncm【例10】已知m、n是正整数，且3m3n81，求m、n的正整数对【答案】3mn81mn4333，m、n都是正整数x1m2或m3n或n2n13板块二：整式的乘除【例11】计算(2x1)(3x2)(6x4)(4x2)【答案】原式(2x1)(4x2)(6x4)(3x2)(2x1)2(2x1)2(3x2)(3x2)1在乘除混杂运算中，巧用结合律，有时可简化运算实质上，我们利

14、用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，经过约分，可更简单地解决问题其解以下：原式(2x1)1(6x4)1(2x1)(6x4)13x24x2(3x2)(4x2)222222224【例12】计算：(3xy)(xy)(4xy)8y9xy.【答案】原式22224429x244224429x24429xy(xy)16xy8yy9xy9xy2xyy7xy【例13】已知a51，则2a37a22a12的值等于_【答案】由已知得(a1)25，因此a22a4则原式=2a34a23a22a122a(a22a)3a22a128a3a22a123(a22a)1212120【例14】若1230，求：

15、1x22008xxxxx【答案】解：原式(1xx2x3)x(1xx2x3)x2005(1xx2x3)0【例15】求(a1a2an1)(a2a3an)(a2a3an1)(a1a2an)的值，此中a123，初中数学整式的乘除教师版Page5of10an210【答案】解：设a2a3a4an1x则原式(ax)(xa)x(axa)axaanx2axaxx2axaa1n1n11n1n1n当a123，an210时，原式23210213【例16】已知(xmy)(xny)x22xy6y2，求(mn)mn的值【答案】(xmy)(xny)x22xy6y2，(xmy)(xny)x2(mn)xymny2，x2(mn)y

16、xmny2x22xy6y2，比较等式两边得mn2，mn6，因此(mn)mn2(6)12定理：假如anxnan1xn1a1xa0bnxnbn1xn1b1xb0，那么anbn，an1bn1，a1b1，a0b0板块三：乘法公式【例17】若23(a2)x25是完整平方式，求a的值4x23(a2)x23(a2)x52(2x5)2【答案】4x25(2x)即23(a2)x254x220 x25或22)x25220 x254x4x3(a4x故3(a2)20或3(a2)20，解得：a14或a2633【例18】1111111111241625622n【答案】原式21111111111211212241622n24

17、n24n1【例19】求A21221241281216123212641的个位数字：22222222)12345699100的值是(A.5050.B.5050.C.10100.D.10100.【答案】A2121221264126412641212812n各位数字的循环4个一周期，周期为：2、4、8、6，128432，因此2128个位为6，故21281个位为5(另解：5的奇数倍个位必定是5)原式(12)(12)(34)(34)(56)(56)(99100)(99100)1(3711199应选B.2【例20】推导(abc)2、(abcd)2的公式，比较(ab)2、(abc)

18、2、(abcd)2的公式，并探究规律.初中数学整式的乘除教师版Page6of10【答案】(ab)2a2b22ab(abc)2a2b2c22ab2bc2ca(abcd)2(ab)22(ab)(cd)(cd)2a2b2c2d22ab2ac2ad2bc2bd2cd观察上述三个公式，可发现以下规律：一、项数：设字母（也许说元）的个数为n，则公式的睁开式的项数为12.n(n1)；n2二、次数：每个公式的睁开式中的每一项的次数均为2；三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2.依据上述规律，可写出任意个字母的完整平方公式.【例21】利用例题得出的规律推导(abcd)2、(abcd)2、(a

19、bcde)2的睁开式.【答案】令(abc22b2222ab2ac2ad2bc2bd2cd中dd，也就是以d替d)acd换d可得，(abc222222ab2ac2ad2bc2bd2cdd)abcd同理可知，222222ab2ac2ad2bc2bd2cd(abcd)abcd依据例题中概括出来的规律，(abcde)2的睁开式共有15项，全部字母的二次项的系数均为1，其余项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特色可知(abcd2222222ab2ac2ad2ae2bc2bd2be2cd2ce2dee)abcdeb22ac14【例22】已知三个数a，b，c满足方程c22ab29，求abc.a22bc

20、21【答案】三式相加，得a2b2c22ab2bc2ca64，因此abc2bc8.64，a【例23】计算：(ab)2(bc)2(ac)2_(ab)2(bc)2(ac)2_(ab)2(bc)2(ac)2_【答案】2222ab2bc2ac；222c22ab2bc2ac；2a2b2c2a2b2a22b22c22ab2bc2ac；【例24】已知a1x20，b1x19，c1x21，求代数式a2b2c2abbcca的值.202020【答案】由a120，b1x19，c1x21，可知，ab1，bc2，ca1x202020故a2b2c2abbcca1(ab)2(bc)2(ca)216322初中数学整式的乘除教师版

21、Page7of10【例25】已知abbc3，a2b2c21，求abbcca的值.5【答案】由abbc3可知，ac6，55故abbcca(a2b2c2)1(ab)2(bc)2(ca)211(9936)2.2225252525【例26】假如a，b，c是ABC三边的长，且2b2bc)，那么ABC是()aabc(aA.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.形状不确立【答案】已知关系式可化为a2b2c2abbcac0，即1(2a22b22c22ab2bc2ac)0，2因此1222b，bc，ca.即abc选A(ab)(bc)(ac)0，故a2【例27】已知ABC的三边长分别为a、b、c，且a、b、c满

22、足3(a2b2c2)(abc)2，试说明此三角形为等边三角形【答案】3(a2b2c2)(abc)23a23b23c2a2b2c22ab2ac2bc222ab)222ac)222bc)0(ab(ac(bc(ab)2(ac)2(bc)20，即ab，ac，bc【例28】若(zx)24(xy)(yz)0，试说明x2yz0【答案】证明：(zx)24(xy)(yz)0(zy)(yx)24(xy)(yz)(xy)22(xy)(yz)(yz)24(xy)(yz)(x22(xy)(yz)(y2(xy)(yz)22y2y)z)(xz)0板块四：立方公式【例29】计算：(2m222mn24；(3x2422n)(4m

23、n)2y)(9x6xy4y)；mn2mmn2n；2222(xx)(xxx)(x2y)(x2xy4y)；【答案】(2mn2)(4m22mn2n4)8m3n6；(3x22y)(9x46x2y4y2)(3x2)3(2y)327x68y3；(xmxn)(x2mxmnx2n)(xm)3(xn)3x3mx3n；(x2y)2(x22xy4y2)2(x2y)(x22(x38y3)x616x3y364y62xy4y2)2【例30】利用立方和、立方差公式填空：(b22ab233；_)(4ab)b8a(x3y)(x2_9y2)x327y3；初中数学整式的乘除教师版Page8of10(m2n)(_2mn_)m38n3.【答案】2a；3xy；m2，4n2.226y6【例31】已知xy1，xy2，求x的值【答案】由xy1(xy)2(x2y2)1，22xy(x)(y)3(xy)33xy(x2y)1366232222222【例32】若ab331