高考中数列试题的应对策略

1、高考中数列试题的应对策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位， 是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小 综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是 综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的 热点，常在数列解答题中出现。应用问题有时也要用到数列的知识。数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取 得好成绩，必须复习、掌握好数

2、列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列 试题的能力考察特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。第一讲：数列基础知识的梳理数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集(或它的有限子集)为定 义域的函数。运用函数的观念分析和解决有关数列问题，是一条基本思路。递推是数列特有 的表示法，它更能反映数列的特征。等差数列和等比数列是两个基本的数列，除了要熟练掌握这两个数列的通项公式和求和 公式外，还要掌握以下基本性质：在等差数列中an中，an=am+(n-m)d 或 d=aam (n,m N);n - m若 m+n=p+q则 an+am=ap+aq (m,n,p,q

3、 C N+).在等比数列中an中，an=am qn-m, (n,m N);若 m+n=p+q,贝U*an am=ap aq (m,n,p,q C N+).对于非等差等比的数列，要用转化的思想，转化成和等差、等比有关的数列。一、典型题的技巧解法1、求通项公式(1)观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列 或等比数列问题。递推式为an+产an+d及an+产qa (d, q为常数)【例1？已知an满足an+1=an+2,而且a1 = 1。求an。解？ = an+1-a n=2为常数，an是首项为1,公差为2的等差数列1. an=1+2

4、 (n-1 ) 即 an=2n-1递推式为an+1 = an+f (n)解：由已知可知令 n = 1 , 2,，(n-1),代入得(n-1)个等式累加，即(a2-a 1 ) + (a3-a2)+ (an-an-1) 说明？只要和f (1) +f (2) +f (n-1 )是可求的，就可以由an+1=an+f (n)以n=1, 2,，(n-1 )代入，可得n-1个等式累加而求an。递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)【例 41 an中，a1 = 1,对于 n 1 (nCN)有 an=3an-1 +2,求 an。解法一：由已知递推式得 an+1=3an + 2, an = 3an-1+

5、2。两式相减： an+1-an = 3 (an-an-1)因此数列an+i-an是公比为3的等比数列，其首项为a2-a产(3X1+2) -1=4n-1 an+ia n =4 , 3an+i=3an+2? . . 3an+2-an=4 - 3n1即 an=2 - 3n1-1解法二：上法得an+1-an是公比为3的等比数列，于是有：a2a 1=4, a3-a 2=4 , 3)a4-a 3=4 , 3)an-a n-1 =4 , 3 ,把n-1个等式累加得：an=2 - 3n-1-1解法三：设递推式an+1=3an+2,可以化为 an+1-t=3 (an-t ),即是 an+1=3an-2t2=-2

6、t? - t=-1 ,于是得an+1+1=3 (an+1),数列an+1是公比为3的等比数列，其首项为a1+1=2.an+1=2 - 3n-1 即 an=2 - 3n-1-1递推式为an+1=pan+qn (p, q为常数). 一.一2 c由上题的解法，得：bn =3-2(f)n一 an旦=3(-)n -2(1)n n2n 23的方法解。递推式为 an+2=pan+1+qan思路：设 an+2=p&+1+qan 可以变形为： an+2- a an+1= 3 (an+1- a an), 于是an+1-a an是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。求an。个等式累加得递推式为Sn与an的关系式

7、关系；(2)试用n表小ano. c c11、- Sn 1 _ Sn = (an - an 1 ) (2n-：2 -277)1+ 2n1 an 1 = an - an 1 2VJ(2)两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则2 nan是公差为2的等差数列。2nan= 2+ (n-1 ) - 2=2n2.数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 2 1 + 3+5+ (2n-1)=n【例 8】 求数歹 U 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。解？本题

8、实际是求各奇数的和，在数列的前 n项中，一 1 共有1+2+- +n=鼻n(n +1)个奇数,最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1 x 2=n2+n-12因此所求数列的前 n项的和为(2)、分解转化法对通项进行分解、组合，转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 - (n2-22) +3 - (n2-32) +n (n2-n2)解？ S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个 和式相加，然后求和。-n-1Sn=3n - 2(4)、错位相减

9、法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘 以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.【例11】 求数列1, 3x, 5x2, ,(2n-1)x n-1前n项的和.解？设 Sn=1+3+5x2+(2n-1)x n-1. ?(2)x=0 时，Sn=1.(3)当xw。且xw 1时，在式两边同乘以x得xSn=x+3x2+5x3+ - +(2n-1)x n, ?-，得(1-x)S n=1+2x+2x2+2x3+ - +2xn-1-(2n-1)x n.裂项法：把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。常见裂项方法：=( ) C (2n-l)C2n + 3

10、) 4 2n -1 2n +3注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。二、常用数学思想方法.函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13?等差数列an的首项a10,前n项的和为Sn,若S=& (l wk)问n为何值 时与最大？此函数以n为自变量的二次函数。. a10? Si=& (l wk) , . d、(n+1)a n+1 - nan(a n+1+an)=0,an+1+an0,(n+1)a n+1 nan=0 ,(n+1)a n+1=nan=(n-1)a n-

11、1 = =1,1 an=一n解法三、(门+1)(包土)2+亘土门=0, ，电土 =上， TOC o 1-5 h z an anann 1由此，得:ann -1a21= ? ? anj na12将以上各式连乘，得:a n _ 1a1n1.an=一 n例设an是等比数列,Tn=na1+(n-1)a 2+2an-1+an .已知 T1=1,T 2=4. (1)求数列an的首项和公比；（2）求数列Tn的通项公式。（2000年高考数学试题） 解：（1）由 T1=1,T 2=4,可得 a 1=12a I1+a1q=4a1=1, q=2.（2）解法1 ：错位相消法：Tn-qT n=na1-a 2-a 3-a

12、 n-a n+1a? - an 2=na1 1 -q又 a1=1, q=2 , . Tn= -(n+2-2 n+1)=2 n+1-(n+2).解法2：记Sn为an的前n项和，化为Tn=S+&+- +S ,S1,有 b n+1=b nX0.94+ x = b n-1X 0.942+(1+0 94) x ,11-0.94n TOC o 1-5 h z . b n+产 b1X 0.94 +x (1+0.94+0.94 )= b 1X 0.94 +x0.06(30 - -) 0.94n HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 0.060.06x当 30 之

13、0,即 xW1.8 时，bn+WbnW Wb 1=30.0.06 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document xx当30 1.8时，并且数列 b n逐项增加，可以任意靠近0.060.06因此,如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b nW60(n=1,2,3,).x则& 60,即 x W 3.6(万辆).0.06综上，每年新增汽车不应超过3 6万辆.解法2:由解法1知jb 1=30,Lb n+1=0.94 b n+ X , 50这说明数列bn - 50 x 是等比数列，35050n 1即 bn =x + (30- x)M0.9433 TOC o 1-5 h

14、 z 一 5050由此可得 bn 书50 x = 0.94(bn 50 x),33因而 bn -笆 x = (30 - x) 0.94n433解法 3:由 b n+1=0.94 bn+X，得 bn=0.94 b n-1 + X ,两式相减得 bn+1- bn=0.94( bn- bn-1).(1)若 b 2- b 1=0，则 b n+1- b n= b n- b n-1= =0,即 b n= b n-1 = -= b 1=30, 此时 X =30 - 30 X0.94=1.8;(2)若 b 2- b 1 w 0,则数列 b n+1- b n是以 b 2- b 1= x -1.8 为首项，以0.

15、94为公比的等比数列, 从而b n+1-b n=0.94n (x -1.8).即有 b n= b 1+( b 2-b 1)+-+( b n-b n-1) =30+0.94 - ( x-1.8)+0.94 2 - ( x -1.8)+0.94 n-1( x -1.8)(1 -0.94n)(x-1.8)300.06解法4:依题意要求汽车彳有量不超过60万辆，即b n 60( n =1,2,3,),i 1 -0 94n 也就是30 x 0.94 一 + x w 60恒成立,0.06 TOC o 1-5 h z _1、解这个关于x的一元一次不等式(*)，得 xw 1.8(1+鼻)1-0.94n人1、令 f(n)= 1.8(1 )1-0.94nl. f (n)是关于n的单调递减函数，.当n趋于无穷大时，f(n)取最小值3.6. 要使(* )式恒成立，当且仅当x 3.6.故每年新增汽车不应超过3 6万军.解法5：换一种思维方式来思考本题，会发现用小学数学知识就能求解如果每年新增汽车的数量比年末报废汽车的数量要少，那么汽车的保有量就要逐年减少这显然能使该城市汽车保有量不超过60万辆.如果每年新增汽车数量比年末报废汽车的数量要多，那么汽车的保有量就要逐步增加，经过若干年后，汽车的保有量就会达到60万辆,随后每年新增汽车数量只有等于或小于年末汽车报废的数量才能使该城市汽车保有量不