2.3二次函数与一元二次方程、不等式 教案

1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计教学目标：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； 2.了解一元二次不等式的概念与二次函数的零点；3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的 整体性；4.能够借助二次函数，求解一元二次不等式；5.通过一元二次函数、一元二次方程、不等式三者关系的探究过程，提升学生数学抽 象、数学运算、直观想象的核心素养.教学重点、难点重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等 式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图象与 x 轴位置关系的联系，数

2、形结合思想的运用 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练.教学工具：多媒体.教学过程一问题引入园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉若栅栏的长度是24，围成的矩形区域的面积要大于 20，则这个矩形的边长为多少米？解：设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为（12 x ) m.由题意，得（12 x ) x 20, 其中 x x 0 x 12.整理得x212 x 20 0, x x 0 x 12.求得不等式的解集，就得到了问题的答案设计意图：由问题引入，引发学生思考，得到一元二次不等式，引入课题并出示本节教学目标 .二新知探究问题：什么是一元二次不等式？学生总结回答，说出

3、定义.定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一1元二次不等式.一般形式是ax2 bx c 0或ax 2bx c 0其中a, b, c均为常数，a 0.教师引导学生解读定义，强调关键词,目的加深学生对定义的理解.在初中，我们学习了一元一次不等式的解法，以x 3 0, x 3 0两个不等式为例，求出x 3=0的根，进而画出函数y x 3的图象，通过图象写出不等式的解.类比这种解法，我们能否借助二次函数的图象求解一元二次不等式呢？设计意图：教师引导学生回顾一元一次不等式的解法，体会求解步骤，通过类比，有助于探 究一元二次不等式的解法.探究一：一元二次不等式x

4、2 12 x 20 0的解法（1）求一元二次方程（2）画一元二次函数x 2 12 x 20=0y =x 2 12 x 20的_ ，的图象；x _, x _. 1 2（3）当2 x 10时，函数图象位于 x 轴_方，此时 y 0 ，即 x212 x 20 0.所以，一元二次不等式的解集为x 2 x 10.从而解决了引例的问题.设计意图：通过以上三个步骤的设置，让学生自主探究具体的一元二次不等式的解法，进而推广 到一般情况.问题：2 和 10 是方程的根，是二次函数与 x 轴交点的横坐标，也叫做函数的零点.引出零点的定义.一般地，对于二次函数y ax 2 bx c，我们把使ax 2 bx c =0

5、的实数x叫做二次函数y ax2bx c的零点.注：一元二次函数的零点不是点，是实数.教 师 强 调 上 述 方 法 可 以 推 广 到 求 一 般 的 一 元 二 次 不 等 式 ax2bx c 0(a 0)的解集ax2bx c 0(a 0)和探究二：二次函数与一元二次方程、不等式的解对应关系下面我们以表格的形式探究三者之间的关系（学生分组谈论，合作交流）2讨论结束，教师提问学生，完成表格.判别式=b2 4 ac0=00y axa 0的图象2bx c ,ax 2 bx c =0, a 0 的根axbx c 0, a 0 2的解集axbx c 0, a 0 2有两相异实根 x , x ， x x

6、1 2 12x x x 或x x 1 2有两相等实根b x x 2a没有实数根R的解集三典例分析、举一反三一元二次不等式的解法x x x x 1 2 例 1 求不等式x2 5 x 6 0的解集分析：因为方程x 2 5 x 6=0的根是函数y x 2 5 x 6的零点，所以先求出x 2 5 x 6=0的根，再根据函数图象得到x25 x 6 0的解集.解：对于方程x25 x 6=0 ，因为 0, 所以它有两个实数根，解得x =2， x 3. 1 2画 出 二 次 函 数y x25 x 6的 图 象 ， 结 合 图 象 得 不 等 式x25 x 6 0的 解 集 为x x 2, 或x 3.设计意图：

7、教师板书步骤，规范学生作答 ，强调关键语句.3例 2 求不等式9 x26 x 1 0的解集.解：对于方程9 x 2 6 x 1=0，因为=0,所以它有两个相等实数根，解得x =x 1 213.画出二次函数y 9 x26 x 1的图象，结合图象得不等式9 x216 x 1 0 的解集为 x x .3教师直接利用课件展示做题步骤，比较与例 1 的区别与联系.例 3 求不等式- x22 x - 3 0的解集.解：不等式可化为x22 x 3 0.因为=-80,所以方程无实数根.画出二次函数y x22 x 3的图象，结合图象得不等式x22x 30的解集为方法总结：如何用图解法解一元二次不等式？(1)化标

8、：将原不等式化为系数为正的标准形式(2)求根：依据（3）画图；（4）写解集.=b 2 4 ac，判定方程根的情况；巩固练习：求不等式（8 x 2.50.10.2) x 20的解集.设计意图：强化学生对一元二次不等式标准形式转化能力与求解能力 . 四、课堂小结1.学到了哪些知识？（1）一元二次不等式的定义与二次函数的零点定义；（2）“三个二次”的关系（3）一元二次不等式解法步骤：化标、求根、画图、写解集2.运用了哪些数学思想方法？函数与方程数形结合类比法特殊到一般3.提升了哪些数学素养？数学抽象 五、板书设计数学运算直观想象2.3二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式定义： 零点4例 1步骤六