北师大版九年级数学上册《你能证明它们吗》证明教学课件

1、北 师 大 九年 级 数 学 ( 上 ) 你能证明它们吗第一章 证明 2022年4月11日星期一2等腰三角形 知 识 回 顾ABC等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。等腰三角形的两个底角相等.简称:等边对等角.顶角ABC底边腰腰底角底角【定义】【性质定理】【性质定理 的推论】有两边相等的三角形叫做等腰三角形;D高(简称:“三线合一”)2022年4月11日星期一3如图,在ABC中, AB=AC, 1=2 (已知).BD=CD,ADBC (三线合一). 左边方框中的的格式,以后可以直接运用. ACBD12如图,在ABC中, AB=AC, BD=CD (已知).1=2,ADB

2、C(三线合一).如图,在ABC中, AB=AC, ADBC(已知).BD=CD, 1=2 (三线合一).轮换条件1=2,BD=CD,ADBC可得三线合一的三种不同形式的运用.”三线合一“的三种语言 及 条件的轮换【性质定理的推论】等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合。(简称:“三线合一”)图形语言高线 ？符号语言中线 ？符号语言角平分线 ?符号语言2022年4月11日星期一4本节课学些什么？等腰三角形还具有哪些重要的性质?除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?这就是本节课的学习的主要内容。2022年4月11日星期一5实践观

3、察猜想证明画一画先画一个等腰三角形,ACB然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线)，你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？小结顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；两条腰上的高线相等。ACBDEACBMNACBPQ2022年4月11日星期一6“等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等.AB=AC(已知),ABC=ACB(等边对等角).ACBDE图形语言已知:求证:BD=CE.如图, 在ABC中, AB=AC, BD,CE 是ABC角平分线.证明:122= (已知),又1=

4、 ， 1=2(等式性质).在BDC与CEB中DCB= EBC（已知）, BC=CB（公共边）,1=2（已证）,BDCCEB（ASA）.BD=CE(全等三角形的对应边相等)2022年4月11日星期一7“等腰三角形的两腰上中线相等”的证明证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.BM=CN.ACBMN已知:求证:如图,在ABC中,AB=AC,BM,CN是ABC两腰上的中线.证明:(全等三角形的对应边相等)AB=AC(已知),ABC= ACB(等边对等角).又CM= , BN= (已知),CM=BN(等式性质).在BMC与CNB中 BC=CB（公共边）, MCB=NBC（已知）, CM=BN（已证）,BM

5、CCNB（SAS）.BM=CN2022年4月11日星期一8“等腰三角形两腰上的高相等”的证明证明: 等腰三角形两腰上的高相等.证明: AB=AC(已知), ABC=ACB(等边对等角). 又 BP,CQ是ABC两腰上的高(已知), BPC= CQB=90o(高的意义). 在BPC与CQB中 BPC=CQB（已证）, PCB=QBC（已证）, BC=CB（公共边）, BPCCQB（SAS）. BP=CQ(全等三角形的对应边相等)已知: 如图, 在ABC中, AB=AC,BP,CQ是ABC两腰上的高.求证: BP=CQ.ACBPQ2022年4月11日星期一9等腰三角形中的相等的线段(2) 这里是一

6、个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.议一议ACBDE1.已知:如图,在ABC中, (1)如果ABD= , ACE= , 那么BD=CE吗? 如果ABD= , ACE= 呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果AD= , AE= , 那么BD=CE吗? (3)你能证明得到的结论吗？如果AD= , AE= 呢? 由此你能得到一个什么结论?过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.2022年4月11日星期一10等腰三角形的 判 定 定 理你是如何思考的?请与同伴交流你的做法. 2. 前面已经证明了“等边对等角”，反过来，“等角对等边”吗?即

7、有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?ACB已知: 如图, 在ABC中, BC.求证: AB=AC.要证明AB=AC,只要能构造出AB，AC所在的两个三角形全等就可以了.如：作BC边上的中线； 作A的平分线或作BC边上的高.议一议分析:有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.在ABC中BC（已知），AB=AC（等角对等边）.这又是一个判定两条线段相等的依据之一.结论2022年4月11日星期一11论证命题的新思维与新方法 小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对的边也不相等.即CAB在ABC中, 如果BC,那么ABAC.想一想 你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它

8、吗?小明是这样想的: 如图,在ABC中,已知BC,此时,AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得B=C, 但已知条件是 BC.“B=C”与“BC”相矛盾，因此， ABAC.你能理解他的证明过程吗?2022年4月11日星期一12论证的新方法-反证法 小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法(reduction to absurdity)你可要结识“反证法”这个新朋友噢! 假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得B=C . 但已知条件是BC. “

9、B=C”与“BC”相矛盾,因此,ABAC.反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.CAB2022年4月11日星期一13反证法证题范例求证: 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1, 那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都不得小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.(用反证法来证)证明:2022年4月11日星期一14用反证法证题的一般步骤1. 假设: 先假设命题的结论不成立;2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法, 得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果;3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.2022年4月11日星期一15牛利刃不费磨刀功1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角已知：ABC求证：A、B、C中不能有两个角是直角分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“A、B、C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“A、B、C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾证