两个基本原理

1、两个基本原理第1页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。 第2页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村

2、的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南 分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有2种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。第3页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理加法原理 做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。 乘法原理 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的

3、方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。第4页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析: (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法, 第一类办法, 从男三好学生中任选一人, 共有 m1 = 5 种不同的方法; 第二类办法, 从女三好学生中任选一人, 共有 m2 = 4 种不同的方法; 所以, 根据加

4、法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种。第5页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 例题 1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析: (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步, 选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种。点评:

5、解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第6页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析1: 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个. 则根据加法原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析2: 按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是

6、8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据加法原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个)第7页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 3. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？ 分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10. 根据乘法原

7、理, 共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。 答:首位数字不为0的密码数是 N =91010 = 9102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 11010 = 102 种。由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。第8页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理3. 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？问: 若设置四位、五位、六位、十位等密码,密码数

8、分别有多少种？答:它们的密码种数依次是 104 , 105, 106, 种。第9页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 点评: 加法原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。 乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。 在运用“加法原理、乘

9、法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。第10页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？第11页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第12页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第13页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第14

10、页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第15页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第16页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第17页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第18页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第19页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第

11、一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种,所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。第20页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 课堂练习 1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问: 若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？ 答:它们的涂色方案种数分别是 0, 4322 = 48, 5433 = 180种等。第21页，共47页，20

12、22年，5月20日，2点30分，星期日 2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB第22页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第23页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第24页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第25页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第26页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第27页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第28页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第29页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第30

13、页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第31页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第32页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第33页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第34页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第35页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第36页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第37页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第38页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日第39页，共47页，2022年，5月20日，2点

14、30分，星期日第40页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。 当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。第41页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日.ABABm1m1m2m2mnmn点评: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图:第42页，共47页，2022年，5月20日，

15、2点30分，星期日加法原理和乘法原理3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？第43页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。第44页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 4.如

16、图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地 解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。第45页，共47页，2022年，5月20日，2点30分，星期日加法原理和乘法原理 请同学们回答下面的问题 :1. 本节课学习了那些主要内容？ 答: 加法原理和乘法原理。 2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？ 答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同, 加法原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。乘法原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这