偏微分方程数值解期末试题

1、偏微分方程数值解期末试题偏微分方程数值解试题(06B)参照答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分)、设矩阵A对称，定义1( ,) (,)(n ),J ( x) Ax xb x X R2()J ( x0 x).若(0) 0 ,则称称xo是J ( x)的驻点(或稳固点).矩阵A对称(不用正定)，求证x0是J( x)的驻点的充要条件是：x0是方程组 Ax b的解解：设x0 R n是J (x)的驻点，关于随意的x R n ,令2()J ( x0 x) J( x 0 )( Ax0 b, x) ( Ax, x),(3分)(0) 0 ,即对于任意的x Rn , ( Ax0 b, x) 0，特别取x Ax

2、0 b，则有(Ax0 b, Ax0 b) | Ax0 b |20，获得 Ax 0 b . (3 分)反之,若x0R n满足Ax0 b ,则关于随意的x, J(x0 x) (1)(0) 1 ( Ax, x) J ( x0 )，所以 x0 是 J (x)的最小值点.(4 分)2评分标准：()的睁开式3分，每问3分，推理逻辑性1分二(10分)、关于两点边值问题:dduLu ( p ) qu fdxdxu(a) 0, u (b)0 x (a,b)此中n C 1 (p Ca x)xm$ p x()Ln0,q C( a 储 H 0 (a b )v H e1 (a, b)，乘方程两头，积分应用分部积分获得(

3、3分)b (p du . dva(u,v)a dx dx即变分问题的-Galerkin形式.一11令 J (u)a(u, u) ( f ,u)quv) dx fvdxba(3 b du 22p( ) quf (v) , v H E1(a,b)fu dx,则变分问题的Ritz形式成立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。偏微分方程数值解期末试题为求 u*H E1 (a, b)，使 J (u* ) min J (u)(4 分)1u H E 1评分标准：空间描绘与积分步骤3分，变分方程3分，极小函数及其变分问题4分,三(20分)、关于边

4、值问题2ux 2u |x 00 , ( x, y)1,u | x 1 0, u |y 0G (0,1) (0,1)u |y 1 1 x(1 )成立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式)，推导截断偏差的阶。(2)取h 1/ 3 ,求边值问题的数值解(写由对应的方程组的矩阵形式，并求解)(3)就h 1/ 5和h 1/ N的一般状况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表 示)。解：(1)地区失散x j jh , yk kh，差分格式为21卜 2u jk j 1,k j 卜 1 2u jk j ,k1h2h0(5 分)2应用丁 ,睁开获得，截断偏差为h 2 4 u 4u(4)其阶为 2

5、 分Tayloy12 x 4 y 4 jk O h , O( h ) (3 )5 / 3 1/ 35 / 31/ 3(4分)未知量为U(u11 , ui2 , 121 , 122 ) T,矩阵形式为AU F，此中1 2/31/ 31 2/3 1/ 3求解获得解为(3分)21/ 2- 15/21/ 2015/202 A 152/ v15v 52 /15A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4L =2.0000-0.5000-0.500001.9365-0.1291-0.516401.9322-0.55211.8516u= 0.66670.33330.66

6、670.3333偏微分方程数值解期末试题B I (3)矩阵为IBI(5分)评分标准：第1问8分，格式4分，截断偏差4.(2) 7 式3分,B的形式2分分，方程4分，解3分.(3)5分，形四(20分)、关于初边值问题u2Ua bu, 0 x 1,0 t Ttx 2u(x,0)( x), 0 x 1u(0, t ) u(1,t ) 0,0 t T(1)成立向前差分格式(最简显格式)，推导截断偏差的主项，指出偏差阶(2)写出差分格式的矩阵形式(即AU k 1 BU k F的形式)，用矩阵方法剖析格式的稳固性(3)成立六点对称格式(Crank Nicolson格式)并写出计算形式，应用 Fourier

7、 方法(分别变量法)剖析格式的稳固性。u kj 1 u kj解:(1)地区失散,格式为应用Taylor睁开获得,误差主项为O( h2 )(2) A E, B diag r ,1 2r , r ,稳固条件为r 1 /2(3)格式为u k 1 u kja 2 k 1k b k 1h 2 x ( u j (1 )u j ) 2 (u j12ka h 2 x u j2 u k一(2 )jt(3(3bu j ,(5分)ah 24 u k24(4) jO( h ),阶为12 x分)(4分)分)ku j ) ,(3分)低阶项纳入O()中，格式是无条件稳固的(2分)偏微分方程数值解期末试题五（10分）、迫近u

8、0的三层差分格式u nj1 u nj 1剖析格式的稳固性解：计算形式为u njr (unj 1unj 1 )此为三层格式,化为两层格式.令Vnj 1u nj ,则有unj 1u jn 12h(2分）u nj 1 n 1Vjr (unj 1u nj 1 )u njn.(4分）令 unjw1n ei jh,vnjW2nei jh，代入格式,消去公因子w1n 1n 1 W22ir sin h放大矩阵为G2r sin hi1, max|4r 2 sin 2winWZn(2分）2r sin hi1,1，特点方程为I E G|2r sinhi12 |)1,22r sinh4 4r 2 sin 2 h21的

9、充要条件为方程有同样的复根或一对共扼复根0.考虑到的变化,稳固条件为r1(2 分)六（10分）、成立颠簸方程2_u2推与格式稳固的必需条件u nj1 2uunj 1解：差分格式为的初值问题的显格式，推导截断偏差(3分）偏微分方程数值解期末试题截断偏差为2-u12 t 4a 2 * _4Ux4nh20(4 h4 )，阶为 0( 2 h2 ) (3 分)剖析稳固性必需条件七（10分）、关于二维抛物型方程a(42u )成立 Cranky2分）Nicolson 差分格式，指出截断偏差阶，剖析格式的稳固性。解：差分格式为u njk1Unjka 2 n 1 一 (x Ujk h2n 1 jk(4偏差阶为O

10、( h 0 ) (3 分) TOC o 1-5 h z 放大因子为G( , ) j)( i ji j )dx ij，恒稳固.(3 分)1 4r sin 2h4r sin 2h22八.用Ritz Galerkin方法求边值问题u ux20 x 1u(0)0, u(1) 1的第 n 次近似 un ( x)，基函数 i ( x) sin(i x),i 1,2,., n解：（1）界限条件齐次化：令u x , wu u0,则w知足齐次界限条件，且Lw Lu Lu0 x2xw(0) 0, w(1) 0(3分)n第n次近似wn取为wnCii ,此中Ci (ii 11,2,n)知足的RitzGalerkin方程为na( i , j )ci ( x2x, j ) j 1,2,., n (3 分)i 1又a( i ,1cos(i x) cos( j x)dx0. cos(ix ) cos( jx )dx 2 一 sin ix sin jx2由三角函数的正交性,获得偏微分方程数值解期末试题a( i ,i 2 220,而（x2 x,于是获得最后获得ix(x 1) sin( j0(x2 x, j )a( j , j)x)