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1、双曲函数解读双曲函数解读4/4双曲函数解读雙曲函數我們在第四節考慮過自然指數函數ex，在某些應用上，有些特其余函數是由ex和ex所組成。定義0.6exexexexsinhx2,coshx2sinhxexetanhxexecoshx12sechxexecoshxxxx,coshxexecothxexesinhx,12cschxexesinhxxxx這類函數稱為雙曲函數（hyperbolicfunctions）。讀者能够發現雙曲函數的定義類似三角函數的定義，甚至符號也幾乎一樣。也是先定義sinhx和coshx,分別稱為雙曲正弦（hyperbolicsine）和雙曲餘弦（hyperboliccosi

2、ne），再由這兩個來定義其餘四個。在上一節，我們發現三角函數和圓有很亲密的關係，事實上(cost,sint)可看成單位圓x2y21上某一點的座標，而(cosht,sinht)可看作雙曲線x2y21上某一點的座標，參考下圖：圖0-26雙曲函數有一些恆等式類似三角恆等式，讀者可由定義自行驗證之。(1)sinh(x)sinhxcosh(x)coshx(3)cosh2xsinh2x11tanh2xsech2x(5)sinh(xy)sinhxcoshycoshxsinhy(6)cosh(xy)coshxcoshysinhxsinhy由雙曲函數的定義，可获得雙曲函數的圖形以下：反雙曲函數由上边的圖形可看出

3、sinhx有，假如限制coshx的定義域是函數。和0,tanhx在區間(,時，coshx也是)是1-1的，但coshx沒1-1的，這時它們均會有反ysinh1xxsinhyycosh1xxcoshy且y0,x1ytanh1xxtanhy因為雙曲函數是由自然指數函數來定義，而自然指數函數的反函數是自然對數函數，所以反雙曲函數可用自然對數函數來表示，是很自然的。(1)sinh1xln(xx21),x(2)cosh1xln(xx21),x1(3)tanh1x1ln(1x),1x121x(4)coth1x1ln(x1),|x|12x1(5)sech1xln(11x2),0 x1x(6)csch1xln(11x2),x0 x我們將驗證第（1）式，其餘的讀者可自行用類似的方法來驗證。証(1)：令ysinh1xxsinhyeyey。2接下來我們要解y以x表示。上式移項可得ey2xey0e2y2xey10ey2x4x24xx212因ey0而xx210。所以我們有eyxx21yln(xx21)。六個反雙曲函數的圖形以下：習題0-61.若sinhx3，求其餘雙曲函數在x的函數值。42.證明cosh1xl

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