3.1.2 函数单调性（第2课时）教学设计

1、高中数学B版3.1.2 函数单调性（第2课时）教学设计教学课时：第2课时教学目标：1.结合图像理解直线的斜率及函数的平均变化率的概念；2.能借助平均变化率理解和证明函数的单调性；3.初步感知平均变化率与函数增长速度之间的关系，培养数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学素养教学重点：借助平均变化率理解函数的单调性教学难点：借助平均变化率理解函数单调性的应用教学过程：一、问题引入1. 复习函数单调性的概念问题1：从形的角度理解函数单调性，限制条件的对象是图像上的任意两点。我们知道，两点确定一条直线。那么，能否用图象上任意两点连线的相关性质来刻画单调性呢？2. 直线斜率的概念3. 斜率的几何意

2、义分析教材P98图3-1-11，理解直线斜率的几何意义.设计意图：从数与形的角度理解直线的斜率，直观感知斜率的符号与直线增减趋势之间的关系，为接下来用平均变化率理解单调性做铺垫。二、新知探究问题2：对于函数图像上的任两个点，它们所确定的直线的斜率是否一定存在？回顾函数定义，对于定义域内的任意一个值，有且仅有一个值与其对应，因此对于函数图像上的任意两点，它们连线的斜率一定存在。问题3：结合以上分析，思考是否可以根据函数图像上任意两点连线斜率的符号判断函数的单调性？【学生活动1】尝试与发现结合教材P98 图3-1-12，总结出一般规律。请学生尝试将总结的规律用文字语言及符号语言表达。教师补充修改后

3、呈现结论：文字语言：函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0。利用上述结论，教师介绍对于函数y=-2x的单调性的证明。并对比上节课用定义证明的过程，感受用平均变化率证明的简洁性。设计意图：经历从直观感受函数单调性与其图像上任两点连线的斜率符号之间的关系到用符号语言表述上述关系的过程，提升数学抽象素养；同时通过上节课例题的再次证明比较不同方法的优缺点，体会利用平均变化率证明单调性时的简洁性。三、知识应用学生独立完成单调性的判断过程；教师点评总结：（1）平面直角坐标系中三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率相等或都不存

4、在. 所以例2实质上证明了一次函数的图像是一条直线，其中的k即是直线的斜率，且k0时，一次函数单调递增；k0时，一次函数单调递减。大家熟悉的反比例函数与二次函数等都是非线性函数，它们的特征是：当自变量的增加量相等时，因变量的增加量不一定相等.设计意图：通过两个函数单调性的判断与证明，体会借助平均变化率刻画函数单调性的内涵，提升数学运算与逻辑推理能力；同时对一次函数的线性增长性有一定认识，对线性函数、非线性函数有所了解。四、综合应用例3 证明函数f(x)=x2+2x在(-,-1上是减函数，在-1,+)上是增函数，并求这个函数的最值.学生独立完成证明过程，教师总结利用平均变化率证明函数单调性的过程同时总结一般二次函数的单调性。设计意图：进一步熟悉用平均变化率证明函数单调性的过程，同时学会利用单调性求二次函数的最值. 通过问题启发学生思考如何利用平均变化率求出函数的单调区间，提升学生的逻辑推理能力.【学生活动2】给定容器倒水问题：如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，请将容器内水面的高度 y 关于时间t的函数图象与容器形状对应起来。设计意图：通过实际问题的探究，初步感知平均变化率与函数增长速度之间的关系，为后面比较函数值增长速度作铺垫。五、归纳小结1. 直线的斜率平均变化率函数单