高等数学竞赛辅导综合题汇总

1、高等数学比赛指导综合题汇总高等数学比赛指导综合题汇总22/22高等数学比赛指导综合题汇总高等数学综合练习题1、设，xn满足：证明：xn收敛，并求limxn。分析：用数列通项表示的这各样类题目，常常要用单一有界必有极限这个定理来解决，所以先要用不等式技术证明xn单一且有界。证明:（1）证明：易见，则，从而有：，2xn2xn故xn单一减少，且有下界。所以xn收敛。（2）设，在两边同时取极限得2xn解之得，即。、设f(x)在的邻域拥有二阶导数，且，试求f(0)，及分析：这各样类的题目，先要取对数将指数去掉化成分式。再依据分式极限为常数而分母极限为零，获取分子极限为零。其他求一点的导数常常要用定义。得

2、解由li，因为分母极限为零，从而分子极限为零，即limln1f(x)，能够获取limf(x)，相同，我们有，由导数的定义得。因为f(x)在的邻域拥有二阶导数，由泰勒公式得）两边取极限得10(x2，故。3、设，且f(x)在满足：，有（为常数）。证明：f(x)x在有界。证明：由条件知，有，则，从而故、设函数且，x|x|x|xxaf(x)在存在,试确立常数a,b,c.有界。x分析：这是一个分段函数，分段函数在分段点的导数要用定义求。解：由条件可知函数f(x)在处连续,故。由条件可知在处连续,且故。所以从而，故，则25、设当时,可微函数，试证:当时,有f(x)满足条件成立，且分析：这是一个积分微分方程

3、，能够经过两边求导变为一个微分方程，而后求解。证明:设由题设知则所给方程可变形为两头对x求导并整理得，这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分别变量法求得而可见f(x)单减.由所以当时得。在0,x长进行积分得对-x6、计算三重积分Vx2y2z2abcx2y2z2此中V是椭球体。abc分析：计算二重积分和三重积分是数学比赛和考研的基本内容，这类题目都是将重积分化成累次积分，而累次积分的要点是要确立出每个积分的限，确立积分的限必定要依据所给积分的图形地区，所以正确画出图形或许是想象出图形是解决问题的要点。解：因为Vx2Vy2Vz2c2此中Vx2x2dydz，Da这里D表示椭球面y2z2x2bca或y2

4、x22az2x22a。它的面积为x2x2x2aaa于是2215aa2同理可得，15b2。所以7、谈论积分。155的敛散性。分析：积分敛散性的谈论是数学中的一个难点，要用不等式技术和一些重要结论，此中Cauchy收敛准则起作很大的作用。解：第一注意到，从而当。x充分大时，函数若，则当x充分大时，是递减的，且这时。又因若（对任何），故，则恒有，故函数在收敛。上是递加的。于是，正整数n，有44常数，故不满足Cauchy收敛准则，所以8、设f(x)在上二阶可导，求证：使发散。分析：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理是高等数学的重要内容，常常也是研究生考试和数学比赛的命题的要点。平常练习时，采纳多种方

5、法去解决，能有效地提升解题能力。这类题目难点是结构出一个适合的函数。证1令则由洛尔定理知由洛尔定理知证2令由拉格朗日定理知由洛尔定理知3在睁开为一阶泰勒公式证因故1证4令证5令9、设f在a,b上可微，且（1）用两次洛尔定理。2用一次洛尔定理。a与b同号，证明：存在；，使（2）证：（1）令，明显f,g在a,b上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即（2）令，明显f,g在a,b上满足Cauchy中值定理的条件，所以，即10、设二阶可微，证明：令Rolle定理的条件，从而是在使，即存在11、设f(x)是定义在，证明：存在，则。明显，使又上满足Rolle定理的条件，故，使上的函数，使F(x)在0,1

6、上满足，于，且证明：f在上可导，且是一个很广的条件，分析：因为已知条件：要充分利用它；其他要用导数的定义。证明：由已知条件得因为。所以f(x)在12、设上可导，且，且，证明：分析：从结论能够看出，绝对值里面恰好是，所以简单想到先求f(x)的导数。再用导数的定义。证明：因为，所以又，所以即。13、设f在a,b上二阶可微，则方程在(a,b)内最罕有一个根.分析；方程在一个区间有根的问题常常要用零点存在定理去判断，所以考证该方程在两头点值的符号是解决问题的要点。证明：因为，不如设，因，故，使，从而，使f(x。因，故，使，从而，使得。又因f(x)在a,b上可微，所以f(x)在x1,x2上连续，由零点存

7、在定理知，使于是在a,x0及x0,b上分别利用Rolle定理得，存在，使得，再在上用Rolle定理得，使即方程在(a,b)内最罕有一个根.14、（浙江师范大学2004）设f(x)在0,1上拥有二阶导数，且满足条件，此中a,b都是非负常数，证明，c是(0,1)内的任一点，b。2分析：假如函数高阶可导，并给定了函数的导数或函数的值，要求预计一个函数的界，常常要用Taylor睁开式。证明：因f(x)在0,1上拥有二阶导数，故存在使得同理存在使得将上边的两个等式两边分别作差，得即所以而，故b。2、设证明：，使证明：将f(x)在点处睁开泰勒公式，得（在x与之间）22222262212令得22令得因为，所

8、以令，则，24代入，得16、（2003高数一）将函数2x睁开成x的幂级数，并求级数的和分析：给定的函数是一个反正切函数不可以直接睁开，因为它的导数是一个分式函数，能够睁开，所以能够考虑先求导数。解：因为又4,所以2n因为级数收敛，函数f(x)在处连续，所以令2，得再由f(1，得17、（2003高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，f(t)，此中，(1)谈论F(t)在区间内的单一性.(2)证明当t0时，分析：要判断一个函数的单一性，常常要求它的导数。这是一个变限的积分，可以利用变限积分的求导法例。因为是一个重积分，所以先要计算重积分。解：(1)因为0f(r)rdr2所以在，上，故F(t)在内单一

9、增添.（2）因20t，20f(r)dr2要证明t0时t，只要证明t0时，即令则因为g(t)在t=0处连续，所以当，000t22t2t，故g(t)在t0时，有g(t)g(0).内单一增添.0t又g(0)=0,故当t0时，g(t)0,所以，当t0时，18、（2004年上海交通大学）设证明收敛,且f(x)在上一致连续，分析：这是一个综合性的题目，第一要搞清楚一致连续的看法，能够结构一个级12数，经过结构的级数的收敛性获取通项趋近于零，而后转变为函数趋近于零。证：因f(x)在上一致连续，故，使适合且时，有。令，则由积分第一中值定理得，使得因af(x)dx收敛，故级数收敛，从而，即，也即，故对上述的，存

10、在，使适合时，2.取，则当时，因故存在唯一的，使得，易见，且，从而19、（2004年上海交通大学）计算下述积分：，此中D是矩形地区，。分析：被积函数带有绝对值的定积分的计算要点在于去掉绝对值，要去掉绝对值就要将积分地区分块。解：记，cos4tdt(这里20、求曲线积分，此中a与b为正常数，L为从点A(2a,0)沿曲线到点O(0,0)的弧。分析：沿曲线积分的要点在于将全部变量都转变为某一变量，所以将曲线写成参数方程就能够了。也可利用格林公式来解。解：因exsi故而L的参数方程为所以所以21、设函数f拥有一阶连续导数，f(0)存在，且，（1）确立a，使g(x)到处连续；（2）对以上所确立的a，证明

11、g(x)拥有一阶连续导数.分析：分段函数的连续和导数，在分段点的导数一般用定义来求若g(x)到处连续，则g(x)在处连续.于是，且.解：（1）因为（2）因f(x)2于是明显，当时，g(x)连续，当时，因为所以g(x)在22、设幂级数处连续，故当g(x)拥有一阶连续导数时.，且（1）求幂级数的和函数S(x)；（2）乞降函数S(x)的极值.分析：注意到与an的关系，简单想到要对级数求两次导。解（1）令则，由，求得（2）由得又为极小值S(ln).的和函数，并指出它们的定义域。23、求幂级数分析：求收敛域是比较简单的。因为级数求导后变为了能够直接写出结果的级数，所以能够先求导，再积分。解：因为幂级数，

12、且时与都是发散级数，所以此幂级数的收敛域为。设其和为f(x)，于是当时，逐项求导得：，所以。证明：，并求其值。24、设，证明：设3它们都是0,上的连续函数，且有2。2423明显为收敛级数。43故由优级数鉴别法知为0上一致收敛。2n3从而该级数的和函数s(x)在0上连续。2。于是有，且、（2003高数一）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将战胜土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比率系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下am.依据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1).问汽锤击打桩3次后

13、，可将桩打进地下多深？若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m表示长度单位米.）解：(1)设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以Wx1kkWx2k2由可得x2即x22232由可得x22，从而，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下（2）由概括法，设，则x2(x22因为，故得从而于是limx1，即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下126、设f(x)在0，1上拥有二阶导数，且1分析：考虑到题目波及f(x)、f()与，求证：的关系，第一联想到利用泰勒公式.2证一将f(x)在处睁开为一阶泰勒公式（在x

14、与之间）22222，2121)(这一步也可由凹函数的性质直接2获取)由定积分的性质得分析：考虑到题目波及定积分，还可对f(x)的原函数利用泰勒公式.证二令0f(t)dt，则，1将F(x)在处睁开为二阶泰勒公式111111111（在x与之间）22222262212利用公式简单得证.011分析：所证不等式的几何意义是高为f()、宽为1的矩形面积不小于以为曲边（）的曲边梯形的面积，矩形能够以为是由曲边梯形增添一部分与减少一部分获取，而增添的一部分面积大于减少的一部分面积；为了证明这一点，可从的左右对称点出发来研究.21212证三，有，在0，1上，即，（令）219故1120112f(x12011121

15、1分析：证明数字不等式常常是先想法转变为函数不等式，再利用函数的单一性加以证明；转变的方法是将结论中的积分上限（或积分下限）换成x，式中相同的字母也换成x，移项使不等式一端为零，则另一端的表达式即为需作的协助函x数。f()前面乘以x是由不等式的几何意义想到的.2证四设协助函数，。xx2xxxx（对f(x)在，x上用Lagrange定理）2222xxxxxx对用Lagrange定理)222222xxx在0，1单一减少，即，00221分析：利用分部积分法可将被积函数求导，两次使用分部积分法即可获取二阶导数，从而能够利用已知条件加以证明.证五112120111222111202同理可证211111两

16、式相加得证.228227、设且，求证：级数条件收敛.分析：先要判断不是绝对收敛的，再判断是收敛的。另一方面，由已知条件能够看出需要对所判断的级数进行变形。解级数不停对收敛。故级数收敛且为条件收敛。u1且满足求、设函数f(x,y)可微，f(x,y).分析：利用重要极限公式求出已知极限的左侧，再与右侧进行比较获取一个微分方程，求此微分方程。解：fy(0,y)，对y积分得代入得，又已知，故29、以以下图，设河宽为a，一条船从岸边一点O出发驶向对岸，船头老是指向对岸与点O相对的一点B。假定在静水中船速为常数V1，河流中水的流速为常数V2，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并谈论在什么条件下（1）船能抵达对岸；（2）船能抵达点B.分析：利用物理学知识简单成立运动轨迹的数学模型，该模型是微分方程，求解微分方程，对字母进行谈论。解：以以下图，设P(x,y)为船在要时刻的地点此时两个分速度为dtdt2消去t得，x又则,代入得dy路线满足的微分方程)令，则有积分由得化简得2aa谈论：立刻时,则可到点B(0,a);立刻时,则可达对岸点(,a)a2a2当即时,limx不不可以对达对岸.30、已知，13x1，13xn，.求证：（1）数列xn收敛；（2）xn的极限值a是