北京市第十二中学2022届高三第三次模拟练习数学试题详解

1、北京十二中2022年高三年级第三次模拟练习数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A B. C. D. 2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ）A. B. C. D. 73. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 4. 在等差数列中，若，则（ ）A B. C. D. 5. 已知直线l过圆的圆心，且与直线2xy30垂直，则l的方程为（ ）A. x2y10B. x2y10C. 2xy20D. x2y106. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ）A.

2、 B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（ ）A. 4B. C. 5D. 8. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件9. 若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）A. B. C D. 10. 如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如134567就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8二填空题共5小题，每

3、小题5分，共25分.11. 二项式的展开式中，常数项为_12. 己知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为_.13. 已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是_.（写出一个符合条件的即可）14. 为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为_，若，则的最小值为_.15. 在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有_.存在点P，使得平面平面；存在点P，使得平面；分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；对任意的点P，的面积都不等于.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 的内角ABC的对边分别为

4、abc，已知.（1）求角B的大小；（2）从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.条件：；条件：；条件：； 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.18. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下

5、图，其中“+”表示A组的客户，“”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.（1）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；（2）从抽取20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；（3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.19. 已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆

6、M的方程；（2）已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点PQ，O为坐标原点，求的值.20. 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.21. 给定正整数m，数列，且.对数列A进行T操作，得到数列.（1）若，求数列；（2）若m为偶数，且，求数列各项和最大值；（3）若m为奇数，探索“数列为常数列”的充要条件，并给出证明.北京十二中2022年高三年级第三次模拟练习数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C.

7、D. 【答案】C【解析】【分析】结合一元二次不等式的解法,求出集合B,根据集合的并集运算求得答案.【详解】 ,故,故选:C2. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ）A. B. C. D. 7【答案】B【解析】【分析】先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.【详解】解：因复数z满足，所以，所以z的虚部为-1，故选：B3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析各选项中函数的定义域、奇偶性、在上的单调性即可判断作答.【详解】对于A，函数定义域是，不是偶函数，A不是；对于B，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递增，B是；对于C，函数定义域

8、为R，是偶函数且在上单调递减，C不是；对于D，函数定义域为R，是偶函数且在上单调递减，D不是.故选：B4. 在等差数列中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据，利用“”法求解.【详解】在等数列中，所以，解得，所以，故选：C5. 已知直线l过圆的圆心，且与直线2xy30垂直，则l的方程为（ ）A. x2y10B. x2y10C 2xy20D. x2y10【答案】D【解析】【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进行求解即可.【详解】由，所以圆心坐标为，因为直线2xy30的斜率为，所以与直线2xy30垂直的直线l的斜率为，所以l的方程为：，故选：D6

9、. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换可得到平移后的函数解析式，结合正弦函数的图象和性质可得，由此求得的值【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象，根据所得图象关于原点对称，可得，,，故选：7. 已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（ ）A. 4B. C. 5D. 【答案】A【解析】【分析】设，由条件结合直线与圆的位置关系结论列方程求其坐标值即可.【详解】设，设圆的半径为，因为点在抛物线上，所以，以点P为圆心的圆与

10、C的准线相切，所以,圆与x轴相交的弦长为6，所以，所以，又，所以，故，所以点P到y轴的距离为4，故选： A.8. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，可得，得，利用基本不等式即证，反之可以取值举反例.【详解】先证充分性成立，得，则，当且仅当时等号成立，所以“”是“”的充分条件；再证必要性不成立，由，即令， 得成立，但，所以“”是“”的不必要条件；综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.9. 若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由时，由题意，

11、当时，对分和两种情况讨论即可求解.【详解】解：由时，因为函数的值域为R，所以当时， 分两种情况讨论：当时， ，所以只需，解得，所以；当时，所以只需，显然成立，所以.综上，的取值范围是.故选：D.10. 如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如134567就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】分类分步排列即可.【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,

12、7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条，故选：B.二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 二项式的展开式中，常数项为_【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，即可得到答案；【详解】，当时，常数项为，故答案为：.【点睛】本题考查二项式定理通项公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.12. 己知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据离心率求得b求解.【详解】解：己知双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为，故答案为：13. 已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是_.（

13、写出一个符合条件的即可）【答案】（符合条件一个即可）【解析】【分析】根据等比数列的性质和前n项和公式可得若，则、，举例即可.【详解】由题意知，设等比数列的公比为，由，得，若，则，由得，所以，则可满足上述条件.故答案为：.14. 为等边三角形，且边长为2，则与的夹角大小为_，若，则的最小值为_.【答案】 . # . 【解析】【分析】根据平面向量夹角的定义直接得出结果；根据题意可知E为AC的中点，利用平面向量的线性运算和数量积的运算律计算可得，结合平面向量夹角的范围即可得出结果.【详解】由题意知，如图，由为等比三角形，得，所以；因为，所以点E为AC的中点，则，又，所以，又，所以，所以故答案为：；.

14、15. 在棱长为1的正方体中，点P是对角线的动点（点P与不重合），则下列结论正确的有_.存在点P，使得平面平面；存在点P，使得平面；分别是在平面，平面上的正投影图形的面积，对任意的点P都有；对任意的点P，的面积都不等于.【答案】【解析】【分析】当为直线与平面的交点时，根据面面平行的判定定理即可判断正确；当为直线与平面的交点时，根据线面垂直的判定定理即可判断；计算出的条件即可判断；求出的面积的最小值即可判断.【详解】对于，如图，因为，所以平面平面，当直线交平面于点时，有平面平面，故正确；对于，如图，设正方体的棱长为2，则，则，有，所以，又平面，所以平面，当直线交平面于点时，有平面，故正确；对于，

15、因为设（其中），则在平面的正投影面积为，又在平面上的正投影图形的面积与在平面的正投影图形面积相等，所以，若，则，解得或，因为，所以，故存在点，使得；故错误；对于，由于固定不变，只要找上的点到的距离最短即可，取中点，连接，由的分析可证得平面，由平面得； 又平面，平面，所以，所以为直线与的公垂线，此时的面积最小；因为在正方体中，易知，又，所以，因此，；所以对任意点，的面积都不等于,故正确.故答案为：三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 的内角ABC的对边分别为abc，已知.（1）求角B的大小；（2）从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，

16、并求的面积.条件：；条件：；条件：； 【答案】（1） （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理得，再利用的范围可得答案；（2）若选条件，由余弦定理解得，再利用的面积可得答案；若选条件，利用平方关系得，由正弦定理解得，由余弦定理解得，再由可得答案；若选条件，利用平方关系得，再由两角和的正弦公式可得，由正弦定理解得，再由可得答案；若选条件， 由可得答案；若选条件由余弦定理解得，则由可得答案；若选条件，利用平方关系得，再由两角和的正弦公式可得，由正弦定理解得，再由可得答案.【小问1详解】由和正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.【小问2详解】若选条件：；条件：，由（1），由余弦定理得，解

17、得，因为答案不唯一，所以舍去.若选条件：；条件：；由（1），因为，所以，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得，则的面积为；若选条件：；条件：；由（1），因为，所以，所以，由正弦定理得，解得，则的面积为.若选条件：； ，由（1），则的面积为.若选条件：；，由（1），由余弦定理得，解得，则的面积为.若选条件：；，由（1），因为，所以，所以，由正弦定理得，解得，则的面积为.17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，平面平面.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】(1)根据面面垂直的

18、性质即可证明平面；(2)建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面法向量和的坐标，根据数量积的定义计算即可；(3)直接利用空间向量法即可求出点到平面的距离.【小问1详解】四边形为正方形，则，平面平面，平面平面，平面；【小问2详解】如图，取的中点为，连接，在正中，平面平面，平面平面，平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，不妨取，则，设面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，因此直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由(2)知，设点到平面的距离为，所以.18. 某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据

19、，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁及以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“”表示B组的客户.注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.（1）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；（2）从抽取的20位客户中随机抽取2位，求其中至少有1位是A组的客户的概率；（3）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”

20、，现从该市使用这种电动汽车的所有客户中，随机抽取年龄40岁以下和40岁以上的客户各1位，记“驾驶达人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）； （2）； （3）分布列答案见解析，.【解析】【分析】（1）由图可知组整体数值比组小；（2）利用古典概型及排列组合即可求出“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率”；（3）依题意，可得该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；可知的所有可能值为，分别求出相应的概率，由此求出随机变量的分布列

21、和数学期望.【小问1详解】；由图可知，“实际平均里程续航数”在附近或小于的组有个，组有个，且组这些数据整体大于组；“实际平均里程续航数”大于的组有个，组有个，且组数据也整体大于组，所以组的数据总和大于组数据总和，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值n小于组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值；【小问2详解】设“从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户”为事件，则，所以从抽取的20位客户中随机抽取2位，至少有1位是A组的客户的概率是；【小问3详解】由题图，知组“驾驶达人”的人数为人，组“驾驶达人”的人数为人，则可估计该市使用这种电动汽车的所有客户中，在年

22、龄40岁以下的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为，在年龄40岁以上的客户中随机抽取位，该客户为“驾驶达人”的概率为；依题意，所有可能取值为，.则，所以随机变量的分布列为012故数学期望为.19. 已知椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆M的方程；（2）已知直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两个不同的点，直线AB，AC分别与y轴交于点PQ，O为坐标原点，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）直接由点坐标及离心率求得椭圆方程即可；（2）联立直线与椭圆求得，再表示出直线AB，AC的方程，求得PQ坐标，再计算即可.【小问1详解】由题意知：，则，则椭圆M的方程为；【小问2详解】联立直线与椭圆，整理得，即，又直线在x轴上方交椭圆M于B，C（异于点A）两点，则；设，则，易得直线AB，AC斜率必然存在，则，令，得，则，同理可得，且，则.20. 已知函数.（1）当