解一元二次方程公式法导学案新版新人教版

1、解一元二次方程公式法导学案（新版新人教版）第 4 课时解一元二次方程- 公式法一、学习目标了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；理解一元二次方程求根公式的推导过程；掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程二、 知识回顾 1 什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：移常数项到方程右边；化二次项系数为 1；方

2、程两边同时加上一次项系数一半的平方；化方程左边为完全平方式；若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根怎样用配方法解形如一般形式 ax2+bx+c=0 的一元二次方程？解：移项，得二次项系数化为 1，得配方，得即： ，因为所以当；当三、新知讲解一元二次方程根的判别式叫做一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式，通常用希腊字母表示它，即一元二次方程根的情况与判别式的关系方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根公式法解一元二次方程一般地， 对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 ， 当时，它的两个根分别是这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次

3、方程的方法叫做公式法公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式： ax2+bx+c=0 ；确定 a ， b ， c 的值；求出的值，并判断方程根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根当时，将 a， b ， c 和的值代入公式四、典例探究根据根的判别式判断一元二次方程根的情况【例11已知一元二次方程2x2-5x+3=0,则该方程根的情况是A .有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根两个根都是自然数D.无实数根总结：求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a， b， c 的值 .根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当时

4、，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根练1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x - 5=0,下列说法不正确的是A .方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根c .没有实数根D.无法确定练2.已知：关于 x的方程x2+2x+2 - 1=0不解方程，判别方程根的情况；若方程有一个根为 3，求的值根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围例2若关于x的一元二次方程4x2 - 4x+c=0有两个相等实数根，则 c 的值是A . - 1B. 1c. - 4D. 4总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：先计算根的判别式；再根据方程根的情况列出关

5、于根的判别式的等式或不等式求解；若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0” 练 3关于x 的一元二次方程x2+2x+1=0 有实数根，则的取值范围是A . 0.练 4解方程： x=3x+1 练5 .当x是何值时，3x2+4x - 8的值和2x2 - 1的值相等？五、课后小测一、选择题下列一元二次方程中，没有实数根的是A . 4x2 -5x+2=0B. x2 - 6x+9=0c. 5x2 -4x -1=0D. 3x2 - 4x+1=0.若关于x的一元二次方程x2-2x+2=0有实数根，则整 数 a 的最大值为A . - 1B. 0c. 1D. 2等腰直角三角形边长分别为 a， b， 2，

6、且a， b 是关于 x的一元二次方程 x2 - 6x+n - 1=0的两根，则n的值为A 9B 10c 9或 10D 8 或 10有两个一元二次方程： ax2+bx+c=0 ； N： cx2+bx+a=0 ， 其中a?c0, ac.下列四个结论中，错误的是A 如果方程有两个相等的实数根，那么方程N 也有两个相等的实数根B 如果方程的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同c 如果 5 是方程的一个根，那么是方程N 的一个根D 如果方程和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x=1,已知一元二次方程 x2 x- 3=0的较小根为x1 ,则下面 对 x1 的估计正确的是A . - 2vx1 v1

7、B. - 3vx1 v - 2c. 2vx1 v3D.1vx10,，方程有两个不相等的实数根.故选： A练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：0?方程有两个不相等的实数根；=0?方程有两个相等的实数根； V 0?方程没有实数根.练1.已知关于x的一元二次方程 3x2+4x - 5=0,下列说法不正确的是A 方程有两个相等的实数根B 方程有两个不相等的实数根c .没有实数根D.无法确定分析：先求生的值，再判断由其符号即可.解答：解：. =42 4X3X =760,，方程有两个不相等的实数根.故选 B点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0的根与的关系是解答此题的关键

8、.练2.已知：关于 x的方程x2+2x+2 - 1=0不解方程，判别方程根的情况；若方程有一个根为3，求的值分析： 找出方程 a， b 及 c 的值， 计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；将 x=3 代入已知方程中，列出关于系数的新方程，通过解新方程即可求得的值,1 - c=2, b=2, a=1 解答：解：: =b2- 4ac=2 - 4X 1 x=40,方程x2+2x+2 - 1=0有两个不相等的实数根；: x2+2x+2 - 1=0 有一个根是 3,. 32+2 X 3+2 - 1=0,解得，=-4或=-2.点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：

9、0?方程有两个不相等的实数根；4=0?方程有两个相等的实数根；0?方程没有实数根.也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解即用这个数代替未知数所得式子仍然成立例2若关于x的一元二次方程4x2 - 4x+c=0有两个相等实数根，则 c 的值是A . - 1B. 1c. - 4D. 4分析：根据方程根的情况与判别式的关系知=42-4X4c=0,然后解一次方程即可.解答：解：一元二次方程4x2 - 4x+c=0有两个相等实数根， =42 - 4X4c=0,，c=1,故选 B点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判另式 =b2 - 4

10、ac :当4A0,方程有两个不相等的实数根；当4=0,方程有两个相等的实数根；当0,方程没有实数根.练3.关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根，则的 取值范围是A . 0,然后 解不等式组即可得到的取值范围.解答：解：.关于x的一元二次方程x2+2x+1=0有实数根，-2 00,即 22-4 XX 10,解得W 3,，的取值范围是w 3且片2.故选：D.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式=b2-4ac :当4 0,方程有两个不相等的实数根；当 =0,方程有两个相等的实数根；当0,x= - 1, x1= - 1 + , x2= - 1 -;这里 a=1, b=

11、 - 3, c=1 . b2 - 4ac=2 - 4X 1X 1=50,y= ,.y1 = , y2=;移项，得 x2 - 2x+3=0,这里 a=1, b= - 2, c=3: b2 4ac=2-4X 1X3=-40,贝U x= - 2.点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式an o.课后小测答案：一、选择题下列一元二次方程中，没有实数根的是A . 4x2 -5x+2=0B. x2 - 6x+9=0c. 5x2 -4x -1=0D. 3x2 - 故本选项正确；4x+1=0方程没有实数根,0V74=X 2X4=25=2、 A解:B、=36-4X1X4=0, .方程有两

12、个相等的实数根， 故本选项错误；c、,=16-4X5X=360, 方程有两个相等的实数根， 故本选项错误；D、=16-4X1 X 3=40, .方程有两个相等的实数根， 故本选项错误；故选A.若关于x的一元二次方程x2-2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为A . - 1B. 0c. 1D. 2解：.关于x的一元二次方程x2-2x+2=0有实数根， . =2 - 8=12 - 8a n 0 JU a - 10,，a0, 0,所以a与c符号相同，0， 所以方程 N 的两根符号也相同， 结论正确， 不符合题意；c 、如果 5 是方程的一个根，那么25a+5b+c=0 ，两边同时除以25,得c+b

13、+a=0,所以是方程 N的一个根，结论正确， 不符合题意；D 、如果方程和方程N 有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a , x2=a - c,由 aw c,得 x2=1 , x= 1, 结论错误，符合题意；故选 D,已知一元二次方程 x2 x- 3=0的较小根为x1 ,则下面 对 x1 的估计正确的是A . - 2vx1 v TB. - 3vx1 v - 2c. 2vx1 v3D.1vx10解：x2 - x - 3=0,b2 - 4ac=2 -4X1 x=13,x= ，方程的最小值是， 3 4,一一- 2,一一- 2,. . - 1 一故选：A.二、填空题x1=x2=,解:,

14、7,x=，x2=.用公式法解方程 2x2-7x+1=0,其中b2 - 4ac= , 412x2 - 7x+1=0c=1a=2 , b= - x 1=41, 4b2 -4ac=2 -X2x1=41,.故答案为：三、解答题 .用公式法解方程：2x2-4x=5,4x- 5=0 解：原方程可化为：2x2 - 5, 4b=-, c= - a=20, 24ac=2, b24X X =56 sqrt564=1. . x=frac4 .一.x2=1 , x1=1 +，.解方程：2x2-2x-5=0.解：这里 a=2, b= 2, c= - 5,. =8+40=48,用公式法解方程： x=4 解：整理得：x2+2x-4=0, =b2-4ac=2-4X1X=28,x= ，x1=+, x2=.0 .已知关于x的方程x2+2x+a - 2=0.若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根解：b2 4ac=2 4X 1X=124a0,解得：a0,，无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；x1、x2是原方程的两根，x1+x2=3, x1x2=+1 ,V |x1 - x2|