高中数学必修二 8. 简单几何体的表面积与体积（精练）(含答案)

1、8.3 简单几何体的表面积与体积(精练)【题组一 旋转体的体积】1(2021吉林延边二中高一期中)阿基米德(，公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球(如图所示)，该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为，则圆柱的体积为 ( )ABCD【答案】C【解析】因为该球的体积为，设球的半径为R，则，解得。所以圆柱的体积为：，故选：C.2(2021河北保定市第二十八中学高一月考)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺它

2、的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)如图2所示，设酒杯上部分(圆柱)的体积为，下部分(半球)的体积为，若，则半球的半径与圆柱的高之比为( )ABCD【答案】B【解析】设圆柱的高为h，半径为r，则圆柱的体积为.而半球的体积为.因为，所以，所以.故选：B3(2021全国高一课时练习)如图所示，半径为R的半圆内(其中BAC=30)的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，则该几何体的表面积为_，体积为_【答案】 【解析】如图所示，过C作CO1AB于O1，在半圆中可得BCA=90，又BAC=30，AB=2R，AC=R，BC=R，CO1=R，=R

3、R=R2，=RR=R2，S几何体表=S球+R2，旋转所得到的几何体的表面积为R2又V球=R3，V几何体=V球-()=R3-ABCR3-R3故答案为：；4(2021全国高一课时练习)若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是_.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，则，所以，圆锥的高，所以圆锥的体积=故答案为：5(2021全国高一课时练习)若一个圆锥的底面直径和高都与一个球的直径相等，那么这个圆锥的体积与球的体积之比为_【答案】【解析】解析：设球体的半径为，故答案为：【题组二 旋转体的表面积】1(2021全国高一课时练习)如图，在四边形ABCD中，DAB=90，ADC=135，AB=5

4、，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( )A(60+4)B(60+8)C(56+8)D(56+4)【答案】A【解析】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如图所示：因为，所以圆台下底面面积，又因为，所以，所以圆台的侧面积.圆锥的侧面积.所以几何体的表面积为.故选：A2(2021山东邹城高一期中)如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则( )A圆锥的母线长为18B圆锥的表面积为27C圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60D圆锥的体积为【答案】

5、D【解析】设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，又圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以，解得，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；圆锥的表面积，故选项B错误；因为圆锥的底面周长为，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120，故选项C错误；圆锥的高，所以圆锥的体积为，故选项D正确故选：D3(2021重庆垫江第五中学校高一月考)如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为_【答案】【解析】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图

6、，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，最短距离即为线段BM长，则有，而M是线段中点，又母线长为4，于是得，即，设圆锥底面圆半径为r，从而有：，解得，所以圆锥的表面积为.故答案为：4(2021全国高一课时练习)已知一块正方形薄铁片的边长为，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，若用这块扇形铁片围成一个无底的圆锥，则这个无底的圆锥的表面积为多少平方厘米？【答案】【解析】由已知，可得这个无底的圆锥的母线长为，设圆锥的底面半径为，则，所以，所以圆锥的表面积即侧面积.【题组三 多面体的体积】1(2021上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)在三棱锥中，已知，则该三棱锥

7、的体积为_.【答案】8【解析】如图，设长方体的三条棱长为，由题得；，解之得.所以.所以该三棱锥的体积为.故答案为：82(2021全国高一课时练习)已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V_cm3.【答案】1+【解析】依题意，原几何体是由一个正方体上面接一个正四棱锥组成，其中正方体的棱长为1cm，正方体的体积为1cm3，正四棱锥的底面边长和侧棱长均为1cm，则其高为(cm)，体积为(cm3)，所以该空间几何体的体积为cm3.故答案为：1+3(2021全国高一课时练习)球的球心为点，球内切于底面半径为、高为3的圆锥，三棱锥内接于球，已知，则三棱锥的体积

8、的最大值为_【答案】【解析】圆锥的母线长为，设球O的半径为，则，解得，C在以AB为直径的圆上，平面平面，O到平面的距离为，故到平面的最大距离为，又C到AB的最大距离为，三棱锥的体积的最大值为，；故答案为：4(2021全国高一课时练习)如图所示，ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且，则_.【答案】【解析】如题干图，可证ABAB，ACAC，BCBC.所以平面平面三棱锥和三棱锥高之比也为，由等角定理得CAB=CAB，ACB=ACB，所以ABCABC，由，可得，所以=.故答案为：5(2021山东日照神州天立高级中学有限责任公司高一月考)如图是边长为1的正方体，H、G、F分别是

9、棱、的中点，现在沿三角形所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体的_.【答案】【解析】,所以，故答案为：.6(2021黑龙江哈师大附中高一期中)如图，在四面体中作截面，其中，则_【答案】【解析】作平面，作平面，则共线，由，则，由，则，所以，所以，故答案为：【题组四 多面体的表面积】1(2021上海市控江中学高二期中)若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的侧面积为_.【答案】100【解析】因正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则该正四棱台上底、下底面边心距分别为1，4，而正四棱台的高、斜高、两底面对应边心距构成直角梯形，于是得斜高，因此，侧面积，所以所求

10、的侧面积为100.故答案为：1002(2021上海外国语大学闵行外国语中学高二期中)已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的侧面积为_.【答案】【解析】由题意作出图形如图：因为三棱锥是正三棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，在三角中， ，则这个棱锥的侧面积为故答案为：3(2021全国高一课时练习)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为_【答案】【解析】如图，在四棱台中，过点作，垂足为点，在中，故，所以，故四棱台的侧面积，所以故答案为：4(2021全国高一课时练习)已知正四棱台两底面边长分别为，侧棱长为，则它的侧面积为_【答案】

11、【解析】作出正四棱台的一个侧面如图，设分别为的中点，过作于点由题知，得，解得，在中，即斜高为，所以所求侧面积为答案：5(2021全国高一课时练习)若五棱台的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为_【答案】5【解析】，则故答案为：5.6(2021全国高一课时练习)如图，已知正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高，则此正三棱锥的表面积为_【答案】【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为，侧面积、底面积分别为，过点O作，与交于点E，连接，则由，即，可得.由，则，即则，则表面积故答案为：【题组五 有关球的计算】1(2021新疆新和县实验中学高一期末)若三个球的表面积之比是，则它们的

12、体积之比是( )ABCD【答案】A【解析】设三个球的半径分别为，因为三个球的表面积之比为，所以，所以所以它们的体积之比为，故选：A.2(2021山东邹城高一期中)已知长方体的长、宽、高分别为、，且其顶点都在球面上，则该球的体积是( )ABCD【答案】A【解析】长方体的体对角线的长是，长方体外接球的半径是，这个球的体积为故选：A3(2021全国高一课时练习)两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是_【答案】【解析】设大球的半径为，则有，所以故答案为：4(2021全国高一课时练习)一个底面直径是的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了且无溢出，则这个球的表面积是

13、_【答案】【解析】由题意，上升的水的体积即为球的体积，若球的半径为R，即，解得，故这个球的表面积故答案为：5(2021全国高一课时练习)如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为_【答案】【解析】如图，连接，交点为，设球的半径为，由题意知：则，四棱锥的体积为，解得，该半球的表面积为故答案为：6(2021全国高一课时练习)在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，求该四棱锥外接球的表面积【答案】【解析】因为四棱锥中，底面是边长为的正方形，且各侧棱长均为，所以该四棱锥是正四棱锥，取正方形的中心，连接，则点为的中点，如图，则球心在上， 因为正方形边长为，所以，所以，因

14、为，所以，设四棱锥外接球的半径为，则，在中，即，解得：，所以该四棱锥外接球的表面积为.【题组六 综合运用】1(2021全国高一课时练习)如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱(1)求出此圆锥的侧面积；(2)用表示此圆柱的侧面积表达式；(3)当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)圆锥的底面半径与高均为2，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为(2)设圆柱的半径为，则，解得，且；所以圆柱的侧面积为(3)，；当时，取得最大值为，此时，圆柱的体积为2(2021贵州高一月考)在长方体中，AB=6，BC=8，.(1)求三棱锥的体积

15、；(2)在三棱柱内放一个体积为V的球，求V的最大值.【答案】(1)48；(2).【解析】(1)由长方体的几何特征知，到平面的距离为,又,所以；(2)设球的半径为R，若该球与三棱柱的三个侧面均相切，则R为的内切圆的半径，则,又，此时；若该球与三棱柱的上下底面均相切，此时,;所以在三棱柱内放一个体积为V的球，该球半径最大为2，.3(2021浙江路桥高一月考)如图所示，在平面五边形中，分别沿，将与折起使得，重合于点试求：(1)三棱锥的体积；(2)三棱锥的外接球的表面积【答案】(1)；(2)【解析】(1)，则，又，平面.所以；(2)将三棱锥补成长方体知三棱锥的外接球的直径即为长方体的体对角线长，即，所

16、以球的表面积为4(2021河北定州高一期中)定州市某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2)的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是(1)求正方体石块的棱长；(2)为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳(图(1)打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？(精确到1)按算【答案】(1)40cm；(2)3个.【解析】(1)设正方体石块的棱长为，则每个截去的四面体的体积为.由题意可得，解得.故正方体石块的棱长为；(2

17、)当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大.此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的表面积.，所以一瓶环保底漆大约可以粉刷3个球形石凳.5(2021湖北孝感高一期中)如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形的边长为，侧棱，若侧面水平放置时(如下图2)，水面恰好过，的中点(1)求容器中水的体积；(2)当容器底面水平放置时(如图1)，求容器内水面的高度【答案】(1)；(2)【解析】(1)在图2中，水所占部分为四棱柱四棱柱底面积为，又高为所以水的体积为，(2)设图1中水高度为，则，解得所以当容器底面水平放置时，容器内水面的高度为6(2021福建宁德高一期中)如图所示是在圆

18、锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为，底面半径为.()若正四棱柱的底面边长为，求该几何体的体积；()求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.【答案】()；().【解析】设圆锥母线长为，高为，正四棱柱的高为()由，有，故，由，故，所以圆锥体积为由，有正四棱柱的底面对角线长为2，由图可得，所以，故正四棱柱的体积为所以该几何体的体积为()由图可得，即，即由，当且仅当时左式等号成立，有，当且仅当，时左式等号成立，故正四棱柱侧面积，当且仅当，时左式等号成立，所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为.7(2021福建福州高一期中)如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面