高中数学必修二 6.4.1 平面向量在几何和物理的运用（精练）(含答案)

1、6.4.1 平面向量在几何和物理中的运用(精练)【题组一 向量在几何中的运用】1(2021安徽六安一中高一月考)P是所在平面内一点，满足，则的形状是( )A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】B【解析】由，可得，即，等式两边平方，化简得，因此，是直角三角形.故选：B.2(2021云南省南涧县第一中学高一月考)在中，若，则的形状一定是( )A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形【答案】D【解析】因为，所以为钝角，所以一定是钝角三角形.故选；D3(2021安徽青阳第一中学高一月考)在中，且，则点的轨迹一定通过的( )A重心B内心C外心D垂心【答案】A【解析】过C作，

2、交AB于H，取AB中点D，连接CD，如图所示：根据三角函数定义可得，因为，所以，即，即点P的轨迹在中线CD上，而三角形三边中线的交点为该三角形的重心，所以点的轨迹一定通过的重心.故选：A4(2021江苏南京市第二十九中学高一期末)在边长为3的正方形中，点在线段上，且，则( )ABC3D4【答案】C【解析】，故，而，.故选：C5(2021全国高一课时练习)已知A，B，C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是( )A点P在ABC内部B点P在ABC外部C点P在直线AB上D点P在直线AC上【答案】D【解析】，即.故点P在边AC所在的直线上.故选：D.6(2021浙江金乡卫城

3、中学高一月考)(多选)若点为所在平面内一点，则下列选项正确的是( )A直线必过边的中点BC若的面积为9，则的面积是4D【答案】BCD【解析】对D，则，化简得，故D正确；对A，若直线过边的中点则与题设矛盾，故A错误；对B，由奔驰定理可得，故，故，故B正确；对C，由可得，故C正确；故选：BCD7(2021江苏溧阳高一期末)(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则.若是锐角内的一点，是的三个内角，且点满足.则( )A为的外心BCD【答案】BC

4、D【解析】解：因为，同理，故为的垂心，故A错误；，所以，又，所以，又，所以，故B正确；故，同理，延长交与点，则，同理可得，所以，故C正确；，同理可得，所以，又，所以，故D正确故选：BCD8(2021四川成都外国语学校高一月考(文)设为内一点，且满足关系式，则_【答案】【解析】，分别取的中点为， ；.故答案为：9(2021浙江温州中学高一期中)已知内接于一个半径为2的圆，其中为圆心，为的重心，则的取值范围为_【答案】【解析】解：如下图所示，以BC所在的直线为x轴，以BC的中点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，设， 设，所以，即，又的重心为，所以，所以，又， ，所以，综上得，所以的取值范围为.10

5、(2021河北石家庄二中高一月考)如图，在平面四边形中，若点为边上的动点，则的最小值为_【答案】.【解析】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，依题意得 在中，由余弦定理得，所以，所以，由，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，在中，所以为等边三角形，所以，所以，设，由题意令，即，解得，所以，所以，设，可得其对称轴为，且开口向上，所以时，取得最小值，即的最小值为.故答案为：.11(2021北京中国农业大学附属中学高一期末)已知点，点为一次函数图象上的一个动点(1)用含的代数式表示；(2)求证：恒为锐角；(3)若四边形为菱形，求的值【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)2【

6、解析】(1)设，所以所以因为点在直线上，所以(2)所以若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，方程无解，所以所以恒为锐角(3)因为四边形为菱形，所以，即化简得到，所以，所以设，因为，所以，所以12(2021江苏省前黄高级中学高一月考)如图1，在中，点是的中点.(1)求证：；(2)直线过点且垂直于，为上任意一点，求证：为常数，并求该常数；(3)如图2，若，为线段上的任意一点，求的范围.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析，；(3).【解析】(1)中，延长到使得到长度相等，连接，是线段的中点，四边形是平行四边形，.(2)，.，.(3)中，又，由(1)同理可证，.设，则，的范围是.13(202

7、1江苏盐城高一期中)如图，分别是矩形的边和上的动点，且.(1)若都是中点，求.(2)若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值.(3)若，求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)以点A为原点建系，得,，.(2)由(1)知，设，当时，最大值.(3)设，则，当且仅当时，等号成立，故最小值是.14(2021湖北高一期中)如图，在中，点P为线段AB上的一个动点(不包含端点)，且满足(1)若，用向量，表示；(2)若，且，求的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1)若，则，则(2)，且，的取值范围为【题组二 向量在物理中的运用】1(2021山东潍坊高一期末)如图所示，一条河两岸平行，

8、河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是( )A船头方向与水流方向垂直BCD该船到达对岸所需时间为分钟【答案】B【解析】由题意可知，当船的航程最短时，而船头的方向与同向，由，可得，A选项错误，B选项正确；，C选项错误；该船到达对岸所需时间为(分钟)，D选项错误.故选：B.2(2021全国高一课时练习)一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m，且力F所做的功J，则F与s的夹角等于_.【答案】#【解析】设F与s的夹角为，由，得，解得：.又，.故答案为：(或)3(

9、2021安徽淮北一中高一月考)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重为_(取重力加速度大小为).【答案】【解析】设两只胳膊的拉力分别为、，由题意知，夹角，可得.两边同时平方，得，则N.所以，该学生的体重为.故答案为：4(2021广东江门市新会第二中学高一月考)河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为_m/s【答案】10【解析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度斜向上游方向，河水速度 =2m/s平行于

10、河岸；静水速度与河水速度的合速度=m/s指向对岸静水速度m/s故答案为：5(2021山西临汾高一月考)有一东西方向的河流(假设河流宽度一样)，一艘快艇从河南岸出发渡河，快艇航行速度的大小为，方向为北偏西，河水的速度为向正东，经过到达北岸，现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，从北岸出发返回南岸的时间是_【答案】【解析】如图所示，由题意知，所以，所以南北两岸的距离为；现快艇从北岸返回，速度大小不变，方向为正南，所以，即从北岸出发返回南岸的时间是故答案为：6(2021江苏通州高一期中)如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，三根细绳受力最大的是_【

11、答案】【解析】受力最大的是，理由如下：设，三根细绳对所施力分别为，则，设与的合力为，则，如图：在平行四边形中，因为，所以，即，所以绳受力最大.故答案为：.7(2021全国高一课时练习)某人骑车以速度向正东方向行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速的大小和方向.【答案】实际风速的大小是，为西北风.【解析】设实际风速为，由题意可知，此人以速度向正东方向行驶时，感到的风速为，当速度为时感到的风速为，如图，设，.，这就是速度为时感到的由正北方向吹来的风速.，这就是速度为时感到的由东北方向吹来的风速，由题意知，为等腰直角三角形，即.实际风速的大小是，为西北风.8(2

12、021全国高一课时练习)一个物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东的方向移动了已知，方向为北偏东；，方向为东偏北；，方向为西偏北，求这三个力的合力所做的功【答案】【解析】以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，建立直角坐标系，如图所示，则由已知可得所以又位移，所以9(2021全国高一课时练习)质量的木块，在平行于斜面向上的拉力的作用下，沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？【答案】(1)拉力，支持力不做功，重力；(2).【解析】(1)木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.拉力与位移

13、s方向相同，所以拉力对木块所做的功为；支持力与位移方向垂直，不做功，所以；重力对物体所做的功为.(2)物体所受各力对物体做功的代数和为.10(2021广东顺德高一月考)如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为(1)如果要使此人游得路程最短，且，求此人游泳的方向与水流方向的夹角和的大小；(2)如果要使此人游得时间最短，且，求他实际前进的方向与水流方向的夹角和的大小【答案】(1)，；(2)，.【解析】(1)如果要使此人游得路程最短，只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直，如图，此人游泳的方向与水

14、流方向的夹角，此时，(2)如图，设与的夹角为，与的夹角为，实际游泳的距离为，所以，所以，故当与的夹角为时，此人游泳到对岸用时最短，如图，当，由于，故，此时，所以11(2021黑龙江哈尔滨三中高一期中)生活中，我们使用的电悌、旗杆、窗帘等都是滑轮原理的应用.如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为和物体()，另在两滑轮中间的一段绳子的点处悬挂质量为的另一物体.(1)若，试求；(2)若，且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】(1)设两绳子对物体的拉力分别为，物体向下的重力为，由系统平衡条件知，由已知设，则，所以，解得(2)设两绳子对物体的拉力分别为，物体向下的重力为，由系统平衡条件知，设，由力的平衡得，即，中由正弦定理得，即，代入和，所以，因为，所以，所以，所以，即.12(2021江苏苏州市第三中学校高一期中)如图，已知一条河的两岸平行，河的宽度为d，某人从河的北岸出发到河对岸，河水自西向东流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在流水中实际速度为(1)如果要