高中数学必修二 8.6 空间直线、平面的垂直（精讲）(含答案)

1、8.6 空间直线、平面的垂直(精讲)思维导图常见考法考点一 线面垂直【例1】(2021广东仲元中学高一期末)如图，多面体中，是菱形，平面，且.(1)求证：平面；(2)求多面体的体积.【答案】(1)见详解(2)【解析】(1)证明：如图所示，作与的交点，平面且平面，又是菱形，又，平面，平面，平面.(2)如图所示，作的中点，连接，是菱形，又平面，又，平面，四棱锥的体积，平面，三棱锥的体积，因此多面体的体积.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)如图，在正方体中，为的中点，.求证：(1)平面；(2)平面.【答案】(1)证明见解析 ；(2) 证明见解析.【解析】(1)因为四边形为正方形，则，平面，平

2、面，所以，平面；(2)连接，因为且，所以四边形为平行四边形，所以且，又因为为的中点，为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，而面，面，所以面.2(2021全国高一课时练习)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于的点(1)求证：平面；(2)若，求圆柱的侧面积【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)底面，平面，是底面的直径，平面，平面；(2)在中，由，得：，在中，则圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的侧面积为3(2021全国高一课时练习)如图，在四棱锥中，平面.(1)求证：平面；(2)若为线段的中点，且过三点的平面与线段交于点，确定点的位置，说明理由；并求三棱

3、锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)点是中点，理由见解析，.【解析】(1)证明：，平面，平面，又平面，平面；(2)点是中点，理由如下：，平面，平面，平面，又平面平面，平面，又为中点，为中点；平面，为中点，到平面的距离，为中点，.考点二 面面垂直【例2】(2021陕西师大附中高一月考)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点(1)证明：PA平面BDE；(2)证明：平面BDE平面PBC【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】证明：(1)连结AC，设AC与BD交于O点，连结EO底面ABCD是正方形，O为AC的中点，又E为PC的中点，

4、OEPA，OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE；(2)PDDC，E是PC的中点，DEPC，PD平面ABCD，平面ABCD，PDAD，又由于ADCD，PDCDD，故AD平面PCD，又平面PCD，所以ADDE，又由题意得ADBC，故BCDE，于是，由BCPCC，DEPC，BCDE，可得DE平面PBC，又因平面BDE，所以平面BDE平面PBC【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E、F、M、N分别为棱CC1、BC、BB1、AA1的中点()求三棱锥EAFM的体积；()求证：平面B1D1E平面C1MN【答案】()；(

5、)证明见解析.【解析】()因为AB侧面BCC1B1，所以AB平面EFM，又M、E分别为BB1、CC1的中点，所以四边形MBCE为正方形，所以MEF的面积为SMEFMEMB222所以三棱锥AEFM的体积为V三棱锥AEFMSMEFAB22 .()证明：长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形BCC1B1是矩形，因为E、M分别为棱CC1、BB1的中点，且BB14，B1C12，所以四边形MEC1B1是正方形，所以C1MB1E，又N、M分别为棱AA1、BB1的中点，所以NM平面BCC1B1，又B1E平面BCC1B1，所以NMB1E，又因为NMC1MM，NM，C1M平面C1MN，所以B1E平面C1MN，又

6、B1E平面B1D1E，所以平面B1D1E平面C1MN2(2021全国高一单元测试)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AC1和BD1相交于点O，E为CC1的中点()求证：OE平面ABCD；()若平面BDD1B1平面ABCD，求证：D1EBE【答案】()证明见解析；()证明见解析.【解析】()如图，连接AC因为ABC1D1，ABC1D1，所以AC1，BD1相互平分，所以O为BD1和AC1的中点又因为E为CC1的中点，所以OE为ACC1的中位线，所以OEAC又因为OE平面ABCD，AC平面ABCD，所以OE平面ABCD()因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD因为平面

7、BDD1B1平面ABCD，平面BDD1B1平面ABCDBD，AC平面ABCD，所以AC平面BDD1B1因为BD1平面BDD1B1，所以ACBD1又因OEAC，所以OEBD1因为OBOD1，所以D1EBE3(2021全国高一课时练习)由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示四边形为正方形，为与的交点，为的中点，平面(1)证明：平面；(2)设是的中点，证明：平面平面【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析【解析】证明：(1)取的中点，连接，由于是四棱柱，所以，因此四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面(2)因为分别为和的中点，所以，所以，又平面，平面，所以，因为，所以，又平面，所以

8、平面，又平面，所以平面平面考点三 线线垂直【例3】(2021全国高一课时练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点.证明:PCBE.【答案】证明见解析【解析】如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PA=AB=CD，AE=DE，所以PE=CE，即PEC是等腰三角形.又F是PC的中点，所以EFPC.又BP=2=BC，F是PC的中点，所以BFPC.又BFEF=F，所以PC平面BEF.因为BE平面BEF，所以PCBE.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)如图所示，四边形为正方形，平面，过点且垂直于的

9、平面分别交于点求证：【答案】证明见解析【解析】平面，平面，；四边形是正方形，；，平面，平面，又平面，平面，平面，又，平面，平面，平面，2(2021全国高一课时练习)如图，在矩形中，E，F分别在线段和上，现将矩形沿折起，记折起后的矩形为，且平面平面(1)求证：平面；(2)若，求证：【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)因为四边形都是矩形，所以，所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面所以平面(2)如图，连接因为平面平面，平面平面且，所以平面，所以又，所以四边形为正方形，所以又，所以平面，所以3(2021全国高一单元测试)如图，在几何体中，底面是边长为4的正方形，平面，且.(

10、1)证明：平面；(2)若G为上的动点，求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)如图，连接交于点O，取的中点F，连接.四边形为正方形，为的中点，且.，且，且，四边形为平行四边形，.又平面平面，平面.(2)如图，连接，.平面平面，平面平面.，平面平面平面，平面.又平面平面，平面.为上的动点，平面.考点四 线线角【例4】(2021全国高一课时练习)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为( )ABCD【答案】A【解析】因为BCB1C1，所以ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所

11、以，所以异面直线B1C1与AC所成角为故选：A.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)如图，在三棱锥中，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于A30B45C60D90【答案】B【解析】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG，F分别是CD，AB的中点，且，为EF与AC所成的角又，又，为等腰直角三角形，即EF与AC所成的角为45故选：B2(2021全国高一课时练习)在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60，则FEG为( )A30B60C120D60或120【答案】D【解析】如图：因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，所以,由于

12、AD与BC是异面直线，根据异面直线所成角的定义可知，FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角，因为AD与BC所成的角为60，所以FEG为60或120.故选：D.3(2021全国高一课时练习)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)AA1与C1D1所成的角的度数为_(2)AA1与B1C所成的角的度数为_【答案】90 45 【解析】(1)因为AA1DD1，所以DD1C1即为所求的角因为DD1C190，所以AA1与C1D1所成的角为90.(2)因为AA1BB1，所以BB1C即为所求的角因为BB1C45，所以AA1与B1C所成的角为45.故答案为：90；45.考点五 线面角【例5】(2021天

13、津高一期末)如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.(1)求证：平面；(2)求证：；(3)求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)证明：设，连接，因为，分别为，的中点，则，因为为的中点，所以，且，所以，则四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面；(2)证明：因为，所以，即，因为平面平面，且平面底面，所以平面，又平面，故；(3)解：因为，又，平面，故平面，连接，则为在平面内的射影，所以为与平面所成的角，因为，且，所以，在中，所以，则，所以，故，所以直线与平面所成角的余弦值为.【一隅三反】1(2021全

14、国高一课时练习)如图，在三棱柱ABC-ABC中，底面ABC是正三角形，AA底面ABC，且AB=1，AA=2，则直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为_.【答案】【解析】如图所示，取AB的中点D，连接CD，BD.底面是正三角形，CDAB.AA底面ABC，AACD.又AAAB=A，CD侧面ABBA，故CBD是直线BC与平面ABBA所成角.又等边三角形ABC的边长为1，CD=，在中，BC=，故直线BC与平面ABBA所成角的正弦值为.故答案为：.2(2021广东肇庆市高要区第二中学高一月考)如图，三棱锥PABC中，PAPC，ABBC，APC120，ABC90，ACPB2(1)求证：ACPB；(2)求P

15、B与平面PAC所成的角【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图所示：取AC的中点为O，连接BO，PO在PAC中，PAPC，O为AC的中点，POAC，在BAC中，BABC，O为AC的中点，BOAC，OPOBO，OP，OB平面OPB，AC平面OPB，PB平面POB，ACBP (2)在直角三角形ABC中，由AC2，O为AC的中点，得BO1.在等腰三角形APC中，由APC120，得PO，又PB，PO2+BO2PB2，即POBO，又BOAC，ACOPO，BO平面ABC， 即为PB与平面PAC所成的角在中，因为，所以，所以PB与平面PAC所成的角大小为.3(2021山西柳林高一月考)如图，在边

16、长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，分别沿，折起，使，三点重合于点(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：由题意，根据折叠前后，可得，又，所以平面，又平面，所以；(2)取中点，连接，由折叠前后知，又，平面，在面的射影在上， 则即为直线与平面所成的角，由(1)可得，所以为直角三角形，因为正方形的边长为，可得，又，即直线与平面所成角的正弦值为.考点六 二面角【例6】(2021江苏金陵中学高一月考)如图，三棱柱中，侧棱平面，为正三角形，且，、分别是，的中点(1)求证：平面；(2)求锐二面角的大小【答案】(1)证明见解析；(2)【解析

17、】证明：(1)三棱柱中，侧棱平面，所以平面，因为平面，所以，又为等边三角形，为的中点，又因为，所以，又，平面平面(2)因为，面，所以面，面所以 过点作，连结，平面，平面，平面，就是二面角的平面角，由题意得，所以锐二面角为【一隅三反】1(2021广东白云高一期末)如图，在三棱锥中，则二面角的余弦值为_.【答案】【解析】取的中点，连接，因为，所以，所以即为二面角的平面角，因为，所以，而，在中，由余弦定理可得，故答案为：.2(2021浙江台州市路桥区东方理想学校高一月考)如图，四面体中，已知，(1)求证：；(2)求二面角的大小【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：取中点，连接，因为，所以，因为,所以平面，所以；(2)由