材料力学题目参考

1、精心整理第3章弹性杆件横截面上的正应力分析31桁架构造受力如图示，其上全部杆的横截面均为20mm50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横截面上的正应力。解：图（a）中，cos4（1）习题3-1图(a)5截面法受力争（a）MD0，FCE4(155)30（2）FCE=15kNFx0，FDEcos40（3）1）代入（3），得FDE=50kNCEFCE1510315MPaA0.020.05DEFDE50MPaA32图示直杆在上半部双侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p=10kN/m，在自由端D处作用有集中呼FP=20kN。已知杆的横截面面积A=2.010-4m2，l=4m。试求：习题3-2图(a)

2、1A、B、E截面上的正应力；2杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用地点。解：由已知，用截面法求得FNA=40kNFNB=20kNFNE=30kN（1）AFNA40103200MPaA2.0104BFNB100MPaAEFNE150MPaA（2）maxA200MPa（A截面）33图示铜芯与铝壳构成的复合资料杆，轴向拉伸载荷FP经过两头的刚性板加在杆上。试：1写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；2若已知d=25mm，D=60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec=105GPa和Ea=70GPa，FP=171kN。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。解：1变形谐调：习题3-3图FNcF

3、Na（1）EcAcEaAaFNcFNaFP（2）cFNcEcFPEcFPAEAEAEc2d2)cccaadEa(D2FNaEaFP44aAad2(D2d2)Ec4Ea42c410510917110383.5MPa1051090.025270109(0.0620.025)2Ea83.57055.6MPaacEc10534图示由铝板钢板构成的复合资料柱，纵向截荷FP经过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：1导出复合资料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；2已知FP=385kN；Ea=70GPa，Es=200GPa；b0=30mm，b1=20mm，h=50mm。求铝板与

4、钢板横截面上的最大正应力。解：变形谐调：习题3-4图FNsFNa（1）EsAsEaAaFNsFNaFP（2）精心整理1sFNsEsFPEsFPAsEsb0hEa2b1hb0hEs2b1hEa2s200093851039175MPa（压）0.030.0520010920.020.057010175Ea7061.25MPa（压）aEs17520035从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸以以下图。试求以下两种情况下h与b的比值：1横截面上的最大正应力尽可能小；2曲率半径尽可能大。习题3-5图解：1MzMz6MzWzbh2b(d2b2)6h2（正应力尽可能小）b21MzEIzdIz0，得h23d2dh

5、4h3（曲率半径尽可能大）b36梁的截面形状为正方形去掉上、下角，以以下图。梁在两头力偶Mz作用下发生曲折。设正方形截面时，梁内最大正应力为0；去掉上、下角后，最大正应力变成maxk0，试求：1k值与h值之间的关系；2max为尽可能小的h值，以及这类情况下的k值。解：Izhh04，Wz0h03033kh03h03h03max344h2（1）022(4h03h)h(3h0h)3h(3h0h)h(8h03h)0，h=0（舍去），h8h03h039习题3-6图代入（1）：k18130.9492888864(12228)(9h0)(4h039h0)(9)(43)37工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受

6、Mz=20kNm一个内力重量，Iz=11.3106mm4，其余尺寸以以下图。试求横截面中性轴以上部分别布力系沿x方向的合力。解：FNxAxdAMzydAMzydA习题3-7图2A1IzA2Iz143103143kN143kN（压力），作用地点离中心轴y=70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。即上半部分布力系合力大小为38图示矩形截面（bh）直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发平生面曲折，且不高出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y方向习题3-8图正应力y存在，且沿梁长均匀分布。试：1导出yy(y)的表达式；2证明：ymaxhxmax，为中性面的曲率半径。4解：1先求y(y)表达式：2yFy1ydco

7、s2hxsin1dy0y2(a)22即2ysin2yMzysindy0，（Mzy）yhx22Iz2Iz即2sin2Mzsin1(y2h20yyIz2)224y2Mz(h2y2)（a）yIz4-精心整理22由（a）式，令dy0，得y=0，则dyy,maxh2MzhMzhMzhxmax（b）8yIz4yIz4yWz4h239图示钢管和铝管坚固地粘成复合资料管，在两头力偶Mz作用下发平生面曲折，试：1导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式；2已知D1=20mm，D2=36mm，D3=44mm；Mz=800Nm；Es=210GPa，Ea=70GPa。求钢管和铝和铝

8、管横截面上的最大正应力max。解：静力均衡：习题3-9图MaMsMz（1）变形谐调：as得MaMs（2）EaIaEsIsIa(D34D24)(D24D14)（3）64，Is64由（2）MaEaIaMs（4）EsIs代入（1），得(1EaIa)MsMzEsIsMsEsIsMz（5）EsIsEaIaMaEaIaMz（6）EsIsEaIa1sMsyEsMzyEs(D2464EsMzy，（D1yD2）IsEsIsEaIaD14)Ea(D34D24)22MayEaMzy64EaMzy，（D2D3）aIaEsIsEaIaEs(D24D14)Ea(D34y2D24)22smax642108001810313

9、3MPa210(364204)70(444364)1012amax64708002210354.1MPa210(364204)70(444364)1012310由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，以以下图。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为E和E，且已知E；习题3-10图tcc=2EtMz=600Nm。试求：1梁内最大拉、压正应力；2中性轴的地点。解：依据平面假定，应变沿截面高度作直线变化Ec=2Et，E沿截面高度直线的斜率不一样中性轴可是截面形心。1确立中性轴地点。设拉压区高度分别为ht、hc由Fx0，得：1cmaxhcb1tmaxhtb022即cmaxhthhc（1）(a)tmax

10、hchc又cmaxEccmax2cmax2hc（2）tmaxEttmaxtmaxht由（1）、（2），得hhc2hc2hc即(hhc)22hc2hchthhchc(21)h41.4mm（中性轴的地点）htht(22)h58.6mm2MzytdAAcycdAAtyEttdAAcyEccdAyEttdAy2EtcdAAtAtAc此中It2Icbht32bhc3bh3(642)333精心整理1MzEt(It2Ic)cmaxEchcEcMzhc2MzhcEtIt2IcIt2Ic260041.41035010031012(642)3tmaxEthtMzhtIt2Ic8.69MPa（压）600(22)10

11、03106.15MPa（拉）3图501001012(642)习题3-113311试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。解：（a）为拉弯组合（b）为单向拉伸ab43312桥墩受力以以下图，试确立以下载荷作用以下图示截面ABC上A、B两点的正应力：习题3-12图1在点1、2、3处均有40kN的压缩载荷；2仅在1、2两点处各承受40kN的压缩载荷；3仅在点1或点3处承受40kN的压缩载荷。解：FNx401032.67MpaA20075106Mz401030.12540MPaW75100210961AB3FNx3401038MPaA200752FNxMz240103801031252A21

12、5.3MPaAW2007575200263在点1加载：AFNxMz401034010312512.67MPaAW200757520026BFNxMz40103401031257.33MPaAW200757520026由对称性，得在3点加载：A7.33MPa，B12.67MPa313图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚=5mm，管在两头承受轴向载荷FP。已知开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩Iz0.177106m4，Fp=25kN。试求：1开孔处横截面上点F处的正应力；2最大正应力。解：FNxFP25kNMzFp(2518.57)103160.75NmA(5052405)106700106m2

13、1FFNxMz18.5710318.85MPaAIzFNx2maxA64.26MPa（在y正向最大地点）314图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷1横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h；2在上述h值下点A的正应力值。习题3-13图FP，已知FP=60kN。试求：习题3-14图精心整理h解：AFNxMzFPFP(2d)AWz40h240h6FP2h3d（1）20(h2)1令A0，6hd2h20hh4h=3d=75mm（2）2由（1）、（2）式得：A60103(275325)40MPa20752315图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。试：1确立截面B

14、B上的应力分布；2假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所构成，且忽视海绵状承受应力的能力，确立截面BB上的应力分布；3确立1、2两种状况下，骨骼在截面BB上最大压应力之比。(a)(b)(c)(d)习题3-15图FNx445106解：1N1A126.720.795MPaOO4BMmaxMz4456110314.526MPaWz126.7310932max14.5260.79513.73MPamax14.5260.79515.32MPa沿y方向应力分布如图（c）所示，中性轴为zc。2FNx44510644451064N2A226.70.7951.06MPa(26.72226.72

15、(113()244M2maxMzMz14.52616Wz2115.494MPaWz1(1415()2max15.4941.0614.43Mpanmax15.4941.0616.55MPazC为中性轴，沿y轴应力分布如图（d）23116.55，或11.0815.32215.320.92616.55316正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。若已知FP=1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用地点。解：A51010650106m2(a)习题3-16图51021Wy1091063612mWz10521091106m3

16、624FNx=1kNMy100051035NmMz10002.51032.5Nm100052.5106140MPa50111224最大正应力作用地点位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（a）所示。精心整理317钢制立柱上承受纵向载荷FP以以下图。此刻A、B、D三处测得x(D)100106。若已知钢的弹性模量E=200GPa。试求：1力FP的大小；2加力点在Oyz坐标中的坐标值。解：A100601066103m2Wz601002109100106m36Wy10060210960106m36AFNxMzMy(FPFPyFPz)106（1）WyAWz600010060B(FPFPyFPz)10

17、6（2）600010060D(FPFPyFPz)106（3）600010060EyPzP（4）由（1）、（4），(1)106FP200109(300106)100606000即(1yPzP)FP60（5）600010060由（2）、（4），(1yzP)FP180（6）100600060由（3）、（4），(1yPzP)FP20（7）600010060解（5）、（6）、（7）：z0.02m20mmPx方向的正应变x(A)300106，x(B)900106，习题3-17图习题3-18图yP0.025m25mmFP=240kN318矩形截面柱受力以以下图，试证明：A的正应力等1当铅垂力FP作用在下边方

18、程所描绘的直线上的随意点时，点于零：zPyP1(a)bh662为了使横截面的全部点上都不产生拉应力，其作用点一定位于由近似上述方程所描绘的直线围成的地区内（图中虚直线围成的地区）。解：1写出K点压弯组合变形下的正应力（图a）。FP1zPzyPy（1）hbb2h2(b)1212将A(h,b)代入（1）式，并使正应力为零，得FP所作用的直线方程22整理得：zPyP1bh662若FP作用点确立，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b）：1zP2zy2Py0bh1212（2）(c)y0th6yP中性轴nn的截距：（3）hz0t6zP说明中性轴nn，与力FP作用点位于形心C的异侧，说明nn区分为FP

19、作用下的地区为压应力区，另一地区是拉应力区（见图b）。假如将（2）改写为z2zPy2yP1（4）bh1212精心整理并且把中心轴上一点（y,z）固定，即中性轴可绕该点顺时针转动（从11转到22）由（4）式，FP作用必沿直线挪动。由（3）式，22直线的截距值大于11(d)直线的。因此，中间性轴11顺时针转向中性轴22时，FP作用点FP1、FP2沿直线，并绕形心也顺时针转向。假如中性轴绕A点从11顺时针转动至33（中性轴一直在截面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A坐标代入（4）式：zPyP1，即FP沿该直线挪动。从FFF，bhP1P2P366B、F、D分别找另三反之铅垂力FP从FP1FP2F

20、P3直线挪动，截面不产生拉应力，同理过条FP挪动的直线。这四条直线所围地区为截面核心。铅垂压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。319矩形截面悬臂梁受力以以下图，此中力FP的作用线经过截面形心。试：1已知FP、b、h、l和，求图中虚线所示截面上点a的正应力；2求使点a处正应力为零时的角度值。习题3-19图解：MyFPlsin，Wyhb26Mzbh2FPlcos，Wz6令a0，则tanb，tan1bhh320矩形截面柱受力以以下图。试：1已知=5，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。习题3-20图2求使横截面上点b正应力为零时的角度值。解：FNxFPcosMy(b)2My(a)，My(

21、c)3My(a)1aFNxMyFPcos0.04FPsinAWy0.10.040.10.04267.10MPa103bFNx2My(a)6012sin5)0.745MPaAWy(cos50.004cFNx3My(a)8.59MPaAWy2bFNx(cos12sin)0习题3-21图Atan1，=4.7612321交通讯号灯柱上受力以以下图。灯柱为管形截面，其外径D=200mm，内径d=180mm。若已知截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K处的正应力。解：tan3.25，=22.627.8FNy(4009001950cos)6700NMz1950sin(7.80.6)9002.135

22、10NmFNx6700H22A(0.20.18)4FNyMz1.12KWzA321.12MPa习题3-22图351011.87MPa0.23(10.94)322No.25a一般热轧工字钢制成的立柱受力以以下图。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。解：A48.5104m2Wz401.88106m3Wy48.2836m310FNx100kNMz1001030.125251030.525103Nm精心整理My(82)1030.69.6103NmMz62.6MPa(a)WzMy199MPaWycFNx20.6MPaAaFNxMz41.6MPaAWzbFNxMzMy240MPaAWzWydFN

23、xMzMy116MpaAWzWy习题3-23图323承受集度为q=2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d=160mm的半圆形。梁斜置以以下图。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。解：qyqcos20，qzqsin20，yc2d3(a)Mymax1qsin20342Nm2Iy1441216.1106m4(b)d116010264264Iz1422d)24.4956106m4dd(26483(94020.163420.08)1064.4956106316.1106(c)8.80MPa（左下角A点）yC最大压应力点应在CD弧间，设为Mzmax(Rsinyc)MymaxRcos（1）IzIy

24、d0，得：tanMzmaxIy94016.11069.834dIzMymax4.495610634284.19代回（1）式，2160380cos84.19103max940(80sin84.193)103421069.71MPa4.495610616.1106324简支梁的横截面尺寸及梁的受力均以以下图。试求N截面上a、b、c三点的正应力及最大拉应力。解：MNN30kNm习题3-24图c301030.0553849.3MPa（压应力）33.7251063000033.72510630103a33.725106(18065.3880)10(18065.3840)103330.8MPa（拉应力）66.4MPa（拉应力）maxd30103(18065.38)103102MPa（拉应力）33.725106325依据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情况下才会经过截面形心？试