初中数学几何模型

1、滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 熟能生巧滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形结论：OAC竺OBD:ZAEB，90OE平分ZAED（易忘）AB条件：OAB,OCD均为等腰三角形且ZAOB，ZCOD结论：OAC竺OBD:ZAEB，ZAOBOE平分ZAED（易忘）核心图形如右图核心条件如下:OA，OB，OC，ODZAOB，ZCOD模型二：手拉手模型一相似条件：CDAB,将OCD旋转至右图位置结论：右图OCDsOABoOACsOBD且延长AC交BD与点E必有,BEC=,BOA非常重要的结论，必须，入GMrX口手拉手相似（特殊情况）当AOB=90，时，除AOCDs

2、aOABAOACsaOBD之外人皿ODOB/还会隐藏=tanOCDACOCOA满足BD丄AC,若连结AD、BC,则必有AD2+BC2=AB2+CD2S=1ACXBD（对角线互相垂直四边形）ABCD2滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 熟能生巧滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧条件：AOB=DCE=90，0C平分AOB结论：CD=CE；OD+OE=-2OCS=S+S=10C2ODCEOCDOCE2辅助线之一：作垂直，证明CDM竺CEN经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧当ZDCE一边交AO延长线上于点D时，如图以上三个结论：（辅助线之二）CDCE不变OE-OD=2OC（重点）S

3、-S=10C2（难点）,OCE,OCD2请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握（重点）（难点）请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧结论得证EF=ODtan*/(OE,EF)cos=OC结论得证TOC o 1-5 h z-SCF、cef=()2=tan2SCOcdo:.S=Stan2cefcdoTS,S=Socecefocf且S=10C2tanOCF2结论得证经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 #熟能生巧经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 #熟能生巧难度非常大请仔细认真复习经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新

4、熟能生巧对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线初始条件：角平分线与两边相等的区别常见两种辅助线的作法注意下图中0C平分AOB”OE、BCDE=CED=COA=COB相等是如何推导经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 #熟能生巧角含半角模型(90)经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 #熟能生巧条件：正方形ABCD；EAF=45，结论：EF=DF+BECEF周长为正方形ABCD周长一半也可以这样：条件：正方形ABCD；EF=DF+BE结论：EAF=45，口诀：角含半角要旋转经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧角含半

5、角模型(90)条件：正方形ABCD；EAF=45，结论：EF=DF-BE辅助线：经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 #熟能生巧角含半角模型（90）变形条件：EAF=45，；经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 #熟能生巧经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧结论：NAHE为等腰直角三角形（重点/难点）证明：连接AC（方法不唯一）TDAC=EAF=45，,二DAH=CAETADH=ACE=45，,Z.AADHsaace.DA_ACAHAE.AAHEsAADC倍长中线类模型条件：矩形ABCD；BDBEDFEF结论：AF丄CF模型提取：有平行线ADBE平行线间线段

6、有中点DFEF可以构造8字全等，ADF丝NHEF倍长中线类模型CBCB条件：平行四边形；ABCDBC2AB；AMDM；CE丄AD结论：,EMD3,MEA辅助线：有平行ABCD，有中点AMDM延长EM，构造AAME空ADMF，连接CM构造等腰AEMC,AMCF通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化相似三角形360度旋转模型（倍长巾线法）EE条件：ADE、ABC均为等腰直角EF=CF结论：DF=BF；DF丄BF辅助线：延长DF到点G，使FG=DF，连接CG、BG、BD证明BDG为等腰直角突破点：ABD空CBG难点.证明ZBAD=ZBCG相似三角形360度旋转模型（补全法）条件：ADE、A

7、BC均为等腰直角EF=CF结论：DF=BF；DF丄BF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC辅助线思路：将DF与BF转化到CG与EH条件：OABsODCZOAB，ZODC，90。：BE，CE结论：AE，DE:ZAED，2ZABO辅助线.延长BA到点G，使AG，AB,延长CD到点H使DH，CD,补全OGB、OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG与BH，难点在转化ZAED任意相似直角三角形360度旋转模型（倍长法）M条件：OABsODCZOAB，ZODC，900:理C结论：AE，DE:ZAED，2ZABO辅助线：延长DE至M，使ME，DE，将结论的两个条件转化为证明AMDsABO，此为难点，将AMD

8、sABO继续转化为证明ABMsAOD，使用两边成比且夹角等此处难点在证明ZABM，ZAOD最短路程模型之二（点到直线类）AP垂线段最短条件：如右图0C平分AOBM为OB上一定点P为0C上动点Q为OB上动点求：MP+PQ最小时，P、Q的位置辅助线：将作Q关于OC对称点Q，转化PQ，PQ，过点M作MH丄OAMP+FA，MP+PQMH（垂线彳段最短）最短路程模型之二（点到直线类）最短路程模型之二（点到直线类）滴水穿石 锲而不舍滴水穿石 锲而不舍定点P动点BlA定点条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，BP+牛AP最短结论：以A为顶点作上PAC，30，过点P作PQ丄AC，转化PQ，1A

9、P，过点B作AC的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短）最短路程模型之二(点到直线类)最短路程模型之二(点到直线类)滴水穿石 #锲而不舍滴水穿石 #锲而不舍经典模型系列手册温故而知新 熟能生巧最短路程模型之二（点到直线类）A定点宀上P动点*_，定点Bl所求点Q最短路程模型之二(点到直线类)最短路程模型之二(点到直线类)滴水穿石 #锲而不舍滴水穿石 #锲而不舍经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧最短路程模型之二(点到直线类)最短路程模型之二(点到直线类)滴水穿石 锲而不舍滴水穿石 #锲而不舍经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧条件：如图，点A、B为定点，P为动点问题：点P在何处，BPp最短结论

10、：以A为顶点作ZPAC，45，过点P作PQ丄AC，转化PQ，1AP,过点B作AC的垂线与AP的交点为所求B条件：A(0,4)、B(-2,0),P(0,n)问题：n为何值时，PB+PA值最小结论：x上取点C(2,0)，使n,OC255过点B作BD丄AC，交y轴于点E为所求tan,EBO=tan,OAC=牛，即E(0,1)最短路程模型之三（旋转类最值模型）经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 熟能生巧经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧最短路程模型之三(旋转类最值模型)B最大值位置A最小值位置条件：线段OA4,OB2(OAOB)OB绕点O在平面内360，旋转问题：AB的最大值，最小值分

11、别为多少？结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”最大值：OA+OB；最小值：OAOB最短路程模型之三（旋转类最值模型）经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧条件：线段OA4,OB2以点0为圆心，OB,OC为半径作圆点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点问题：若PA的最大值为10，则0C=6若PA的最小值为1，则0C=3若PA的最小值为2，则PC的取值范围是0PC，2最短路程模型之三（旋转类最值模型）经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧经典模型系列手册温故而

12、知新 #熟能生巧最短路程模型之三（旋转类最值模型）条件：RtOBC,ZOBC，30OC，2:OA，1；点P为BC上动点（可与端点重合）；OBC绕点O旋转结论：PA最大值为OAOB，123PA最小值为丄OB-OA=、3-12如右图，圆的最小半径为O到BC垂线段长最短路程模型之四（动点在圆上）最短路程模型之四（动点在圆上）滴水穿石 锲而不舍滴水穿石 #锲而不舍经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧条件：以点0为圆心三个圆，OA、OD固定0P绕点0旋转问题：点Q在什么位置时，EPMB最小辅助线：连接DQ、QC，当Q、D、C三点共线时，EPMB=DQQC=DC最小经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故

13、而知新 熟能生巧经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧最短路程模型之四(动点在圆上)条件：正方形ABCD且边长为4；B的半径为2:P为B上动点问题：求PD(PC/2)最小值辅助线：过点E作EM/PC，取BE中点N转化思路：将PC/2转化ME，将ME转化为MN，因此MDMN的最小值为DN长度总结PC/2的比值不是随意给出的，而是圆的半径r/BC二倍角模型条件：ABC中，ZB，2ZC辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点A的对称点A，连接AA、BA、CA则BA为ZABC的角平分线，那么BA=AA=CA（注意这个结论）此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助线作法之，但并不是唯作法经典模型系列手册

14、滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 熟能生巧经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧相似三角形模型（基本型）A字型平行类：DE/BCBCBC8字型a字型经典模型系列手册滴水穿石 #锲而不舍温故而知新 #熟能生巧经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧经典模型系列手册滴水穿石 锲而不舍温故而知新 熟能生巧经典模型系列手册温故而知新 #熟能生巧ADAEDE亠，,结论：ABACBC（注意对应边要对应）模型应用：经常在选择，填空中直接考查，在第20题的第二问也经常会考查“A字型”“8字型”相似，建立方程。条件：如左面两个图AED=ACB=90，结论：AExAB=ACxAD条件：如右面两个图ACE=ABC结论：AC2=AExAB第四个图还存在ABxEC=BCxACBC2=BExB