高数学必修2第四章圆与方程教案

1、圆的标准方程一、教学目的(一)知识教学点使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的详尽条件正确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程(二)能力训练点经过圆的标准方程的推导，培养学生利用求曲线的方程的一般步骤解决一些实际问题的能力(三)学科渗透点圆鉴于初中的知识，同时又是初中的知识的加深，使学生懂得悉识的连续性；经过圆的标准方程，可解决一些如圆拱桥的实际问题，说明理论既根源于实践，又服务于实践，能够适时进行辩证唯物主义思想教育二、教材解析1重点：(1)圆的标准方程的推导步骤；(2)根据详尽条件正确写出圆的标准方程(

2、解决办法：(1)经过设问，除去难点，并详尽解说；(2)多多练习、解说)2难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题(解决办法：使学生掌握解析这类问题的方法是先弄清题意，再成立适合的直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，最后解决实际问题)三、活动设计问答、解说、设问、演板、重点解说、概括小结、阅读四、教学过程(一)复习提问前面，大家学习了圆的观点，哪一位同学往返答？问题1：拥有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆(教师在黑板上画一个圆)1问题2：图2-9中哪个点是定点？哪个点是动点？动点拥有什么性质？圆心和半径都反应了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点

3、，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的地点和大小问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？求曲线方程的一般步骤为：(1)成立适合的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上随意点M的坐标，简称建系设点；图2-9写出适合条件P的点M的会合P=M|P(M)|，简称写点集；用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程；化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程；证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明其中步骤(1)(3)(4)必不可少下面我们用求曲线方程的一般步骤来成立圆的标准方程(二)成立圆的标准方程1建系设点由学生在黑板上画出直角坐标系

4、，并问有无不同成立坐标系的方法教师指出：这两种成立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导因为C是定点，可设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)2写点集根据定义，圆就是会合P=M|MC|=r23列方程由两点间的距离公式得：4化简方程将上式两边平方得：(x-a)2+(y-b)2=r2(1)方程(1)就是圆心是C(a，b)、半径是r的圆的方程我们把它叫做圆的标准方程这时，请大家思考下面一个问题问题5：圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的

5、半径当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2教师指出：圆心和半径分别确定了圆的地点和大小，进而确定了圆，所以，只需a，b，r三个量确定了且r0，圆的方程就给定了这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件注意，确定a、b、r，能够根据条件，利用待定系数法来解决(三)圆的标准方程的应用1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)(1)圆心在原点，半径是3；经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切教师纠错，分别给出正确答案：(1)x2+y2=9；(2)(x-3)2+(y-4)2=5；3指出：要求能够用圆心坐标、半径长娴熟地写出圆的

6、标准方程2说出下列圆的圆心和半径：(学生回答)(1)(x-3)2+(y-2)2=5；(2)(x+4)2+(y+3)2=7；(3)(x+2)2+y2=4教师指出：已知圆的标准方程，要能够娴熟地求出它的圆心和半径例3(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，仍是在圆外？(1)：解析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=10解析二：从图

7、形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决解法二：(给出板书)直径上的四周角是直角，对于圆上任一点P(x，y)，有PP1PP24化简得：x2+y2-10 x-12y+51=0即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内这时，教师小结本题：1求圆的方程的方法待定系数法，确定a，b，r；轨迹法，求曲线方程的一般方法2点与圆的地点关系设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上d=r；点在圆外dr；点在圆内dr3以A(x1，y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y

8、-y1)(y-y2)=0(证明留作作业)5例4图2-10是某圆拱桥的孔圆拱的示意图该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精准到0.01m)此例由学生阅读课本，教师巡视并做如下提示：先要成立适合直角坐标系，使圆的标准方程形式简单，便于计算；用待定系数法求圆的标准方程；(3)要注意P2的横坐标x=-20，纵坐标y0，所以A2P2的长度只有一解(四)本课小结1圆的方程的推导步骤；2圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法五、布置作业1求下列条件所决定的圆的方程：圆心为C

9、(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切2已知：一个圆的直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=03一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两头点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程4赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求这座圆拱桥的拱圆的方程作业答案：1(1)(x-3)2+(y+5)2=3262因为直径的端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则圆心和半径分别为所以圆的方程为化简得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1

10、+y2)y+y1y2=0(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04如图2-11成立坐标系，得拱圆的方程：x2+(y+27.88)2=27.882(-7.2y0)六、板书设计圆的一般方程一、教学目的(一)知识教学点使学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程进而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程(二)能力训练点使学生掌握经过配方求圆心和半径的方法，娴熟地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，娴熟地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力(三)学科渗透点7经过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他有

11、关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础二、教材解析1重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程(解决办法：(1)要求学生不要死记配方结果，而要娴熟掌握经过配方求圆心和半径的方法；(2)加强这方面题型训练)2难点：圆的一般方程的特点(解决办法：引导学生解析得出圆的一般方程的特点，并加以记忆)3疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F0(解决办法：经过对方程配方分三种议论易得限制条件)三、活动设计解说、提问、概括、演板、小结、再解说、再演板四、教学过程(一)复习引入新课前面，我们已议论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r

12、2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0可见，任何一个圆的方程都能够写成x2+y2+Dx+Ey+F=0请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题复习引出课题为“圆的一般方程”(二)圆的一般方程的定义1解析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：(1)(1)当D2+E2-4F0时，方程(1)与标准方程比较，能够看出方程8半径的圆；(3)当D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形这时，教师引导学生小结方程x2+y2

13、+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、法2圆的一般方程的定义D2+E2-4F0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程(三)圆的一般方程的特点请同学们解析下列问题：问题：比较二元二次方程的一般形式Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(2)与圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F0)(3)的系数可得出什么结论？启迪学生概括结论9当二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0拥有条件：(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C0；没有xy项，即B=0；(3)D2+E2-4AF0它才表示圆条件(3)经过将方程同除以A或C配方不难得出教师还要强调

14、指出：条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件(四)应用与举例同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2同样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆下面看一看它们的应用例1求下列圆的半径和圆心坐标：(1)x2+y2-8x+6y=0，(2)x2+y2+2by=0此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和

15、半径，一般用配方法，这要娴熟掌握2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有解得：D=-8，E=6，F=0，故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0例2小结：101用待定系数法求圆的方程的步骤：根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；根据条件列出对于a、b、r或D、E、F的方程；解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程2对于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；如果已知

16、条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程再看下例：3求圆心在直线l：x+y=0上，且过两圆C1x2+y2-2x+10y-24=0和C2x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程(0，2)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10这时，教师指出：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程本题也能够用圆系方程来解：设所求圆的方程为：x2+y2-2x+10y-24+(x2+y2+2x+2y-8)=0(-1)整理并配方得：11由圆心在直

17、线l上得=-2将=-2代入所假定的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0此法到圆与圆的地点关系中再介绍，此处为学生留下悬念的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，由求曲线方程的一般步骤可求得；应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形(五)小结1圆的一般方程的定义及特点；2用配方法求出圆的圆心坐标和半径；3用待定系数法，导出圆的方程五、布置作业1求下列各圆的一般方程：过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；过三点A(-1，5)、B(5，5

18、)、C(6，-2)2求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程3等腰三角形的极点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么124A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使APB=BPC，求动点P的轨迹作业答案：1(1)x2+y2-16x+6y+48=0(2)x2+y2-4x-2y-20=02x2+y2-x+7y-32=03所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x3，x5)，轨迹是以4以B为原点，直线ABC为x轴成立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0

19、)(a0，c，P(x，y)，可得方程为：(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0当a=c时，则得x=0(y0)，即y轴去掉原点；当ac时，则得(x-x轴的两个交点六板书设计直线与圆的地点关系一、教学任务解析学生已经有的有关知识是：由初中的平面几何可知1、直线与圆有三种地点关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。2、直线、圆能够用方程来表示，点到直线的距离公式。以上知识是本节课所必需的。这一节课的任务是：用坐标法判断直与圆的地点关系以及弦长13公式的初步运用。因此，一方面，把几何关系代数化；另一方面，经过方

20、程的研究来判断直线与圆的地点关系。教学中要围绕这两个方面展开。体现坐标法的思想。培养学生数形联合的思想。在教学过程中，以问题为载体，在教师的引导下，经过学生疏析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法。经过议论沟通，总结出判断直线与圆的地点的两种方法-代数法与几何法。让学生参与教学过程、参与知识的发生过程。充散发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作沟通。二、教学重点、难点用坐标法判断直线与圆的地点关系；弦长公式的初步运用。三、教学基本流程提出问题学生研究合作解决问题教师引导学生沟通解题方法概括总结出判断方法变式练习弦长公式的初步运用引导学生总结四、教学情境设计1、激趣引入从上节课

21、布置的探究性问题：“第133页轮船是否受台风影响问题”，能够知道：研究直线与圆的地点关系是解决现实生产、生活中的问题的需要。2、温故知新由初中平面几何，我们知道，直线与圆有哪些地点关系？学生不难回答这一问题，学生边回答边电脑显示以下关系：1）直线与圆相交，有两个公共点；2）直线与圆相切，只有一个公共点；3）直线与圆相离，没有公共点。14y在初中，我们怎样判断直线与圆的地点关系？l现在怎样用直线和圆的方程判断它们之间的地点关系？我B们不妨先看几个例子。COAx3、判断直线与圆的地点关系例1、如图4.2-2，已知直线l:3x+y-6=0和圆图4.2-2心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l

22、与圆的地点关系，如果相交，求它们交点的坐标。（先由学生疏组议论解题方法，再解析解答）。解析：根据大家的议论可知：判断直线与圆的地点关系常有两种方法：方法一，判断直线l与圆C的地点关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解，经过消元，得对于x或y的一元二次方程，由鉴别式来判断。方法二，能够依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的地点关系。3x+y6=0解法一：由直线l与圆的方程，得22y4=0 x+y消去y,得x23x+2=0,因为=(-3)2412=10所以，直线l与圆相交，有两个公共点。（怎样求交点？）x23x+2=0,解得x1=2、x2=1x1=2、x2=1分别代入式得y1=

23、0、y2=3。所以，直线l与圆有两个交点为A（2，0），B（1,3）。怎样利用方法二判断直线与圆的地点关系？（学生求解或阅读教材）反省：怎样判断直线与圆的地点关系？15（1）代数法：由直线与圆的方程组成方程组消元，获得对于x或y的一元二次方程。直线与圆相交0；直线与圆相切=0；直线与圆相离0。（2）几何法：先求圆心到直线的距离d及圆的半径r，直线与圆相交dr；直线与圆相切d=r；y直线与圆相离dr。4、弦长问题2：已知过点M（3，3）的直l被xoM(-3,3)圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线l的方程。（先让学生思考议论制订图4.2-3解题策略,再解析解答）。y解析：现已知

24、直线l过点M（3，3），需求直线l的斜率K即可求直线方程。为此，用弦长公式：半径2=弦心距2+半2及待定系数法可求。：将圆的方程配成标准式，得xoM(-3,3)x2+(y+2)2=25，所以，圆心是（0,2），半径图4.2-352(45)2长r=5，弦长为45，故圆心到所求直线l的距离为2=5。设求直线l的方程为y+3=k(x+3)，即kxy+3k3=0。圆16|23k3|3k1|3k1|心到直线l的距离为：d=k21=k21因此，k21=5，1两边平方，并整理获得2k23k2=0，解得，k=2,或k=2。1所求直线l的方程为：y+3=2(x+3)或y+3=2(x+3)，即x+2y+9=0，或

25、2xy+3=0。反省：（1）解决弦长问题常用的关系式是：半径2=半弦2+弦心距2；（2）直线l：y=kx+b与圆心C相交的弦长为：(1k2)(x2x1)2=(1k2)(x1x2)24x1x2)，其中x1,x2为两交点的横坐标，k为直线l的斜率。这个公式的推导作为课后探究性问题。（3）点到直线的距离公式是解决弦长问题常用公式之一。5、反应练习1）判断下列所给的直线与圆的地点关系3x+4y+2=0,x2+y22x=0（）y=x+6,x2+y22y4=0（）2）自点M（1，3）向圆x2+y2=1引切线，则切线方程为_。（3）圆x2+y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于2A）6，（B）

26、2，（C）1，（D）5说明：第（1）题学生独立达成，第（2）题议论达成，第（3）题利用弦长公式可知选（A）。可选1-2位同学解说法。176、总结深入本节课主要商议了什么问题？你怎样判断直线与圆的地点关系？对于直线与圆相交的弦长问题，你打算用哪些知识去解决？7、布置作业：P140，A组第1，2，5题。8、几点说明整个教学过程，教师应当注意少讲点拨，给学生以充分活动的时间与空间，让学生经过议论沟通评论，悟出解题方法，教师重点放在概括解法及坐标法的思想的落实上。圆与圆的地点关系一、教学任务解析、学生已经有的有关知识是，两圆地点关系的分类：相离、外切、相交、内切、内含1）连心线的长r1+r2时，圆C1

27、与圆C2相离；2）连心线的长=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；3）当|r1r2|连心线的长r1+r2时，圆C1与圆C2相交；4）当连心线的长=|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；5）当连心线的长|r1r2|时，圆C1与圆C2内含2、学生也已经知道，直线、圆能够用方程来表示，经过它们的方程组有没有实数解来判断它们间的地点关系。3、这一节课的任务是：用坐标法判断两圆的地点关系。因此，一方面，把几何关系代数化；另一方面，经过方程的研究来判断两圆的地点关系，教学中应当围绕这两个方面展开。4、在教学过程中，以问题为载体，在教师的帮助下，引导学生解析、研究问题，制订解决问题的策略，选择解决问题的方法，经

28、过问题的解决，让学生参与教学过程。在这个过程中，教师尊重学生的思维过程，充散发挥学生在学习中的主动性以及他们之间的合作沟通。二、教学重点、难点用坐标法判断两圆的地点关系。三、教学基本流程教学的基本流程如下列图所示。18四、教学情境设计1、问题1初中我们学过的两圆地点关系的分类及其拟定方法学生回答，然后师生一同列表概括。交点（个）两圆地点关系圆心距d与两圆的半径R，r关系0相离dRr1外切dRr2相交RrdRr1内切dRr0内含dRr2、问题2上节课，我们是怎样研究直线与圆的地点关系的？生甲：用几何法，根据圆心到直线的距离d与圆的半径r大小来判断：生乙：还有代数法，根据直线的方程与圆的方程组成的

29、方程组实数解的情况来判断：师生共同概括：几何法直线与圆的地点关系代数法dr相离0dr相切0dr相交03、问题3已知圆C1：x2y22x8y8000，圆C2：x2y24x20试判断图C1与图C2的关系。（课文例3）让学生互相议论，沟通解答，有下面三种情况：1）利用平面几何结论2）利用方程组的解3）有部分学生还画出了图形（表扬）因为解析几何是一门数与形联合的学科，加强“数形联合”的意识。下面是问题的两种解法：解法一：把圆C1的方程化成标准形式，得(x1)2(y4)225C1的半径长r1=5,圆心是点（1，4）。把圆C2的方程化成标准形式，得(x2)2(y2)210,圆C半径长r110，圆心是点（2

30、，2）。2圆C与圆C的连心线的长为1219(12)2(42)235.圆C1与圆C2的两半径之和r1r2510,两半径之差r1r2510,而5103551012如图4-9,它们有两个不同的公共点A,B,所以圆C与圆C相交,解法二:圆C与圆C的方程联立,获得方程组12x2y22x8y80 x2y24x4y20.-，得x2y10.由,得1x,2把上式代入,并整理,得x22x30.方程根的鉴别式(2)241(3)160,所以,方程有两个不相等的实数根x1,x2.把x1,x2分别代入方程,能够求出y1,y2.因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y2),B(x2,y2).由于本题只需判断圆C与圆

31、C是否有公共点,并不要求出公共点的坐标,因此不必解方12程,求出两个实数根.4、第二种解法,是议论由两个圆的方程组成的方程组解的情况,然后判断两圆相应的地点关系,突出坐标法的特点.解法二中,把圆C1与圆C2的方程联立,获得方程组x2y22x8y80 x2y24x4y20.-，得x2y10.教科书给出的思考“画出圆C1与C2以及方程表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”如图4-10，方程所表示的直线是两圆公共弦所在的直线。因为由方程、组成的方程组的方程的解(x,y)必是方程的解，如果方程组有两组实数解，即两圆有两个公共点，这两个公共点必在方程确定的直线上，两点确定一条直线，方程表示的直线

32、就是两圆的公共弦所在的直线。20这样一来，圆C1与C2公共点的问题就化归为直线x2y10与圆x2y22x8y80（或许x2y24x4y20）公共点的问题。于是，就能够先求圆心（1，4）（或许（2，2）到直线x2y10的距离d，再把d与圆x2y22x8y80（或许x2y24x4y20）的半径长r（或许r2）进行大小比较，来判断关系。这是已经解决的问题，典型的化归思想！5、问题3只需判断圆C1与圆C2是否有公共点，并不要求出公共点的坐标，因此不必求出方程组的两组实数根。x3,x1,或事实上，解方程组可行y1;y1.坐标为（3，1）和（1，1）。因此圆C1与圆C2有两个公共点，它们的6、在解法一中，

33、要判断圆C与C相交，不单需要判断连心线的长与r1r2的关系，12还要判断连心线的长与|r1r2|的关系，因为只有当|r1r2|连心线的长r1r2时才能说明圆C1与C2相交7、简要概括解题经验。研究两圆的地点关系能够有两种方法：一种是利用平面几何结论；另一种是转变为方程组解的问题。8、练习第139页的“练习”中的第2题。9、课后思考题：1、设圆C：x2y26x4y120,圆C：x2y24x4y20.12试判断圆C1与C2的关系？、两圆如果没有公共点或许相切，也能把两个圆的关系的研究化归为直线与圆的地点关系来研究吗？10、布置作业：139页练习第1，3，4题，共3个小题。五、几点说明整个教学过程，

34、教师应当注意少讲，给学生以充分活动的时间与空间，让学生互相评论，总结解题经验。教师的重点放在解法的概括以及坐标法的思想是否获得落实等工作上。六、补充例题点M在圆心为C的方程x2y26x2y10上，点N在圆心为C的方程12x2y22x4y10.上，求|MN|的最大值。21解：把圆的方程都化成标准形式，得(x3)2(y1)29(x1)2(y2)24.C1的坐标是（3，1）半径长是3；C2的坐标是（1，2），半径长是2。所以，CC2(31)2(12)213.1因此，|MN|的最大值是135（图4-11）。直线与圆的方程的应用1教学任务解析学会成立一个适合的坐标系，将实际中的几何问题转变为代数问题；尝

35、试用方程去刻画一些事物；经过详尽实例，认识“解析”方法的先进性2教学重点和难点重点和难点都是怎样去成立适合的坐标系，将几何问题转变为代数问题3教学情境设计给我五个系数，我将画出一头大象；给我第六个系数，大象将会摇动尾巴-ALCauchy（柯西）引言：我们知道，利用几何图形能够绘制出这个世界，事实上，利用方程也能刻画出这个世界柯西是个大数学家，老家是法国的，在他眼里，方程无所不能我们已经学习过，直线能够用直线方程来刻画（ykxb），圆也能用方程来刻画222xaxbr（），在现实中，这有何应用呢？先看下例：引例：赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m你能用P一个适合的方程描述该桥的圆拱吗？解

36、析：跨度：什么是跨度？AOB7.2m圆拱-信息：桥拱是一段圆弧；37.4m圆拱高约为7.2m，圆拱高是什么？画出它的草图（怎么画？如右图）师生沟通互动问题1：桥拱的圆心C在哪里？C思路：圆心在PO的延伸线上，且圆心到A，P，B的距离相等求出C的地点-“先设后求”22设圆心在C点，且OCb，则b218.72b7.218.727.2225.911.5b7.2220.727.2设计情境：首先提问圆心在哪，怎么求出它的地点？然后指明方向，“先设后求”，大家着手问题2：（议论）你能用怎样的方程描述该桥的圆拱？方法1：采用圆心为坐标原点（引导大家这么想，这样的方程最简单）b20.7,r27.9故圆的方程为

37、：x2y227.92教师：注意该桥的圆拱并不是圆的全部，数学要精准，那该怎么描述呢？我们应当限定范围，能限定x的范围吗？圆拱桥的方程应当为：x2y227.92，其中20.7y27.9这个方程在现实中有多马虎义呢？y的意义是什么？请问：还有其他表示方法吗？方法2：采用O为圆心，则这座圆拱桥的方程为：x2y20.9220y7.227.9的意义就是桥拱超出水面的距离注：此时的方程能够让同学自行写出！教师（小结讲话）：经过这个引例，我们发现同一个事物能够用很多不同的方程来表示，但有些比较合理，有些就不太合理，所以采用坐标系特其他重点在Cauchy用五个系数画出来的大象中，肯定有比较漂亮的，也有比较丑的

38、，这就需要我们合理的选择坐标系了选择合理的坐标系需要敏锐的数学目光设计意图：经过师生互动，共同探讨，甚至走弯路，领悟到采用合理的坐标系的重要性，而解决这个引例恰巧又为例4准备了充分的材料万事俱备，只欠东风，剩下的工作就只是强调这种思想，并总结出用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”了P2PP3P1P44mAA1A2OA3A4B例4：图4.2-5是某圆拱形桥的示意图，这个圆的圆拱跨度AB20m，拱高OP4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精准到0.1m）23APAPP解析：我们的目标是求22的高度，如果22的高度即为2的纵坐标的话，显然问题将大大简化问题3：（议论）我

39、们该怎样成立坐标系呢？这样成立的依据是什么？预计效果：由于有引例议论的基础，异口同声的采用O为原点，AB方向为x轴方向，OP方向为y轴方向解：成立如图4.2-6所示的直角坐标系，使圆心坐标为0,b，圆的半径为r，则圆的方程是：x22r2yybP2P评注：“先设后求”，待定系数问题4：在此坐标系下，P,B的坐标分AA1A2OA3A4Bx别是什么呢？因为P0,4,B10,0都在圆上，所以有：024b2r2C1020b2r2即：168bb2100b2b10.5,r214.52x2y214.52故圆的方程为：10.5此时，P2的横坐标为x2222，故2y10.514.5，即：y10.514.524，y

40、14.52410.514.3610.53.86m答：支柱A2P2的高度约为3.86m注意：这是个应用问题，所以要作答实时小结：回过头来，我们看看这个题的解题步骤：第一步：成立适合的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转变为代数问题；第二步：经过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论以上就是利用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”注意，代数是工具，是方法，这也是笛卡儿解析几何思想的精华所在！24练习（P140，3）若时间有限，本题可略去，改造作业题下面我们利用“解析法”来解决一个几何难题：5：已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到

41、一边的距离等于这条边所对边长的一半解析：用综合几何方法，这是一道难题，但如果用“解析法”则能够轻易的解决该问题回首前面的“三步曲”，第一步是成立适合的坐标系，这个坐标系该怎么建呢？第二步是解方程，第三步用代数结果来说明几何结果，都是理所应当的事情，重点是成立坐标系怎么成立坐标系呢？互相垂直的对角线似乎是天然的坐标系原材料再看题意，要证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半，几何元素是距离和边长，它们的代数工具就是距离公式证明：如图4.2-7，以四边形ABCD互相垂直的对角线yBCA,DB所在直线分别为x轴，y轴，成立直角坐标CMA系设Aa,0，B0,b，Cc,0，D0,d，O为圆OxNO心，

42、O到AD的距离实际上即是O到AD中点E的距E离过四边形ABCD外接圆的圆心O分别作AC,BD,AD的D中点，由中点公式，我们有：xOxMac,yOyNbd,22xEa,yEd22所以，aca2bdd2OE2222221b2c22BC1b2c2OE1BC而2，所以2证毕思路：有坐标系，直接可得BCb2c2，下一步就是要求OE，而E是AD的中点，我们拥有的代数工具：距离公式需要知道坐标；中点公式可求得坐标25讲堂小结：本节课我们主要学习了一种数学方法，即“解析法”，它的思想就是成立适当的坐标系，将几何问题转变为代数问题，然后经过解决代数问题（方程）而解决几何问题转变三步曲：几何问题代数问题（工具：

43、成立适合的坐标系）；解决这个方程（代数问题）；翻译代数的解答几何结论课后思考：你能用综合几何的方法解决例4及例5中的问题吗？如果说“解析法”是尖利的武器，那“综合几何法”就是一种艺术，大家课后能够试一试5教学建议与评论做简单的课件以减少板书和口头解释的时间，但不要依靠课件，老师要真实与学生互动，就不能像很多课件做的那样，把解题过程一步步体现出来体现式教学，留给学生的只有视觉刺激，甚至只是视觉疲劳，而本节课最重要的是“解析法”的思想，同学们领悟哪怕一点点，这在数学史上都是了不起的成就我赞成教材的办理办法，解析几何首先是为认识决综合几何难题而成立起来的，课本突出（如例5）这点特别必要；自然，实际问

44、题也很重要P140，练习3，是道好题，此处从略，解答方法可参看教参6作业P140，练习3），P140，5；P141，B组，2（选做）空间直角坐标系教学知识点：1、空间直角坐标系的成立。2、空间一点坐标的意义。3、给出详尽的点写出它在空间直角坐标系的坐标；给出空间直角坐标系中的坐标画出这个点。教学重点与难点：成立空间直角坐标系教学流程：由实例看出成立空间坐标系的必要性经过实例感觉怎样成立空间直角坐标系空间直角坐标系的有关观点空间点坐标的意义例题解说、练习反应小结、作业26教学过程：问题1、在海上航行的船只，我们怎样确定它的地点呢？师生活动：经度、纬度。可看作平面两线的交点。设计意图：体现了平面直

45、角坐标系用坐标确定平面内点的地点。问题2、上网时看到的flash是平面运动的动画，制作时要经过成立平面直角坐标系来完成。但我们生活的空间是立体的，怎样让flash看来重生动呢？出现了三维动画，它是经过什么途径来达成的呢？设计意图：以趣引疑，也体现了数学在计算机中的应用。引：若我们班级的地面作为一个平面，能够成立平面直角坐标系，大家在上面行走，整体就成了立体的了。由此能够看出，在平面直角坐标系的基础上再加一个竖直的轴就形成了空间直角坐标系。那么你看到教室的电扇等物品，它们的地点也能够确定，你与它们的距离也能够算出来。现用我们熟悉的单位正方体做模型来成立。1、定义：如图，OABCDABC是单位z正

46、方体，以O为原点分别以射线OA，OC，OD的方向为正方向，以线段OA，OC，OD的长为单位长，成立DC三条数轴：X轴、Y轴、Z轴。这时我们说成立了一个空间直角坐标图（1）ABOxyz。其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。经过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。说明：右手直角坐标系。OyC2、空间直角坐标系的画法zAB斜二测方法x3、空间一点坐标的意义从正、反两面进行说明（联合右图）RM（x,y,z）其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，图（2）Mz叫做点M的竖坐标。Oy4、表示图（1）中的点O，A，B，CQ引导学生概括总结出在坐标平面

47、内点的坐标的特点。PM5、空间直角坐标系的卦限x1）类比平面直角坐标系有四个象限及点对于坐标轴对称点坐标的变化，启迪学生想象，坐标平面把空间分红八部分，介绍空间直角坐标系的卦限的观点，并概括总结空间点对于坐标轴对称时点的坐标变化。2）给出定点的坐标，怎样确定点的地点？它在第几卦限？练习P147A组1题例1如图，在长方体OABC-DABC中，|OA|=3，|OC|=4，|OD|=2。写出D，C，A，B四点的坐标。解：D在Z轴上，且|OD|=2它的竖坐标是2，它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点D的zDCBA27OyC坐标是（0，0，2）同理点C的坐标是（0，4，0）点A的坐标是（3，0，2）点B

48、在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同。在xOy平面上，点B横坐标x=3，纵坐标y=4。点B在z轴上的射影是D，它的竖坐标与点D的竖坐标相同，点D的竖坐标z=2。所以点B的坐标是（3，4，2）。2结晶体的基本单位称为晶胞如图是食盐晶胞的示意图。其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子。成立空间直角坐标系Oxyz后，试写出全部钠原子所在地点的坐标。解：把图中的钠原子分红上、中、下z三层来写它们所在地点的坐标。下层的原子全部在xOy平面上所以这五个钠原子所在地点的坐标分别为：（0，0，0），（1，0，0），（1，1，0）（0，1，0），（1，1，0）22中层的

49、原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以这四个钠原子yO21，0，1），所在地点的坐标分别是（22x（1，1，1），（1，1，1），（0，1，1）222222上层的原子所在的平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为1，所以这五个钠原子所在地点的坐标分别是（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（1，1，1）。22练习P1441、2、3课时小结：1、空间直角坐标系的成立。2、会表示空间一点的坐标。3、在坐标平面上点坐标的特点及已知点M它的对于坐标轴对称点的坐标。作业P1471、2空间两点间的距离公式一、教学任务解析1）经过表示特殊长方体（所有棱分别与

50、坐标轴平行）极点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。2）经过推导和应用空间两点间的距离公式，进一步培养学生的空间想象能力。3）经过探索空间两点间的距离公式，领悟转变（降维）的数学思想。二、教学重点和难点探索和推导空间两点间的距离公式。三、教学情境设计1、问题：求粉笔盒（长方体）的对角线的长度。解决方案：28直接测量取两个或三个同样的粉笔盒如图放置，用尺子测量其对角线的长度。公式计算量出粉笔盒的长、宽、高，用勾股定理计算。一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c，那么对角线长da2b2c2。坐标计算成立空间直角坐标系，使得长方体的一个极点为坐标原点，所有棱分别与坐标轴平行，求出对角线极

51、点的坐标，用平面内两点间的距离公式和勾股定理计算。一般地，空间随意一点P(x,y,z)与原点间的距离OPx2y2z2。2、探究：如果OP是定长r，那么x2y2z2r2表示什么图形？3、思考：上面推导了空间随意一点与原点间的距离公式，你可否猜想空间随意两点间的距离公式？怎样证明？类比空间随意一点与原点间的距离公式，猜想空间随意两点间的距离公式。用平面内两点间的距离公式和勾股定理推导。由此可得空间中随意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离公式P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2。4、练习1、在空间直角坐标系中标出点A(1,0,2)与点B(1,3,1)，再在

52、z轴上求一点M，使点M到点A与点B的距离相等。2、求证：以A(10,1,6),B(4,1,9),C(2,4,3)三点为极点的三角形是等腰三角形。293、如图，正方体OABCDABC的棱长为a，AN2CN,BM2MC。求MN的长。zDCBAMOCyNABx4、如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，成立空间直角坐标系Oxyz。点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。zBDQPOCyxA（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；（2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究PQ的最小值；（3）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究

53、PQ的最小值。由以上问题，你获得了什么结论？你能证明你的结论吗？5、小结空间中随意两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离公式P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2306、作业1、如图，正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的极点，求这个正方体的棱长。zDCEBANPMQOCyFABx2、求证：以A(4,1,9),B(10,1,6),C(2,4,3)为极点的三角形是等腰直角三角形。图的方程及应用教学任务解析回首本章的主要内容，重要的思想方法，使学生形成系统的知识体系构造1使学生掌握圆的标准方程，能根据所给有关圆心和半径的详尽条件，正确写出圆的标准方

54、程，并能由所给圆的方程正确地求出圆心和半径，培养学生解析问题和解决问题的能力2掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心坐标和圆的半径3能根据圆和直线的方程，判断直线与圆、圆与圆的地点关系,娴熟地进行数形转换4、认识空间直角坐标系，能够认识成立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的地点掌握空间两点间的距离公式5、认识解析几何的基本思想，能用坐标法研究平面几何问题重点难点1圆的标准方程和一般方程的特点，根据详尽题目条件，采用圆的一般方程解决问题312直线和圆的各样地点关系，重点掌握直线与圆相切的有关问题3、空间直角坐标系中，点与坐标之间的变换空间两点距离公

55、式4难点是直线与圆的方程的应用教学流程一、复习回首1）、圆的方程有那些形式？你能说出它们的特点吗？2）、判断直线与圆、圆与圆的地点关系的方法是什么？3）、怎样在平面直角坐标系的基础上成立空间直角坐标系？4）、空间两点距离公式是什么？5）坐标法解决平面问题的三步曲是什么？二、例题部分例1、(1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，仍是在圆外？(1)：解析一：从确定圆的条件考虑，需要求圆心和半径，可用待定系数解决解法一：(学生口答)设圆心C(a，b)、半径r，则由C为P1P2的中点得：又由两点间的距离公式得：所求圆的方程为：(x-5)2+(y-6)2=1032解析二：从图形上动点P性质考虑，用求曲线方程的一般方法解决解法二：(给出板书)直径上的四周角是直角，对于圆上任一点P(x，y)，有PP1PP2化简得：x2+y2-10 x-12y+51=0即(x-5)2+(y-6)2=10为所求圆的方程解(2)：(学生阅读课本)分别计算点到圆心的距离：