自动控制原理课件自动化学院版本第二章

1、1第二章自动控制系统的数学模型2主要内容2-1 控制系统微分方程的建立2-2 非线性微分方程的线性化2-3 传递函数 (transfer function)2-4 动态结构图(等效变换、 梅逊公式或信号流图)2-5 系统的脉冲响应函数2-6 典型反馈系统传递函数小结3传递函数（包括对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数）的概念及其求取方法； 控制系统方框图的构成和等效变换方法； 梅逊公式的应用； 开环传递函数和闭环传递函数的推导和计算。本章重点4系统的数学模型是描述系统变量（输入、输出变量以及内部各变量）之间关系的数学表达式。分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型

2、。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式,据此可对系统进行分析。概述5解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。如：牛顿定律 热力学定律等实验法：人为对系统或元件施加一定形式的测试信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。建立数学模型的方法分为解析法和实验法解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。6数学模型的几种常用表示方式数学模型时域模型频域模型方

3、框图和信号流图状态空间模型微分方程差分方程传递函数脉冲过渡函数频率特性函数状态空间表达式线性系统：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。(叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。) 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。线性定常系统和线性时变系统：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。 宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。 控制系统按照数学模型分类，可分为线性

4、和非线性系统,定常和时变系统。8叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。例： 设线性微分方程式为对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统若 时，方程有解 ，而 时，方程有解 ，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当 时，必存在解为 ，即为可叠加性。9 上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。若 时， 为实数，则方程解为 ，这就是齐次性。古典控制理论中，采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。非线性

5、系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 下面是非线性系统的一些例子：11本章主要研究线性定常系统研究系统的输入输出间的动态关系微分方程是最直接的描述系统输入输出间关系的数学模型，传递函数和脉冲过渡函数等也是描述线性控制系统的重要模型本章研究建立系统微分方程的一般方法和步骤，介绍传递函数和脉冲过渡函数等动态模型。122-1控制系统微分方程的建立系统最基本的数学模型是它的微分方程.微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。由： ，代入得：这是一个线性定常二阶微分方程。解：据基尔霍夫电路定理：

6、输入输出LRCi例2-1：写出RLC串联电路的微分方程14基本步骤明确输入、输出量,并根据需要引进一些中间变量;分析各元件的工作原理，根据物理规律列写系统各部分的微分方程;消去中间变量,建立输入、输出量的动态联系,求出系统的微分方程;将微分方程整理成标准形式.15 (1)将与输入量有关的各项写在方程的右边； 与输出量有关的各项写在方程的左边。 (2)方程两边导数项均按降阶排列。其一般形式为微分方程标准形式16例2-2 编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式17(1)确定输入量和输出量。 取输入量为电动机的电枢电压 取输出量为电动机的转角(2) 列写微分方程式。 电枢回路的微分方程式(基尔霍夫

7、电路定理)： 电动机电枢反电动势与电枢角速度成正比(楞次定律)：根据刚体转动的牛顿定律，得电枢力矩平衡微分方程式电动机的电磁转矩M正比于电枢电流 ，即(安培定律)18（3）整理以上四式，消去中间变量并标准化，得电动机的动态微分方程式：一般， ，故上式简化为：电机时间常数电机传递系数19RCuruci例2-3. 列写如图所示RC网络的微分方程20解：由基尔霍夫定律得:式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变 量i,可得:令 （时间常数），则微分方程为一阶线性定常微分方程：Curuci设有一弹簧质量 阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量

8、块的位移y(t)之间的动态方程。其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。例2.4 弹簧质量阻尼系统22解：分析质量块m受力，有外力F,弹簧恢复力 Ky（t）阻尼力根据牛顿第二定律:mF23式中：ym的位移（m）； f阻尼系数（Ns/m); K 弹簧刚度（N/m)。24T称为时间常数， 为阻尼比。显然，上式描述了mKf系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令 ， 即 ， 则式 可写成2522 非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，下图所示为常见的非线性：于是，对其建立的动态方程就是非线性微分方程，其求解有诸多困难，因此，对非线性

9、问题做线性化处理，实际上是作某种近似，以缩小一些研究问题的范围。26线性化方法忽略弱非线性环节平衡位置附近的小偏差线性化平均斜率法27忽略弱非线性环节如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略如图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示工程上初步分析与设计时常用的方法28平衡位置附近的小偏差线性化小偏差线性化：当非线性系统的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化时，则可用平衡点处的切线方程代替非线性方程小偏差法基于一种假设：在控

10、制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。29小偏差线性化的数学处理在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出输入关系函数按泰勒级数展开。输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性：30忽略二次以上的各项，上式可以写成k比例系数，函数在x0点切线的斜率对于具有两个自变量的非线性函数yf（x1, x2 ） ，输入量为x1(t)和x2(t)，输出量为y(t)，系统正常工作点为y0 f(x10,

11、 x20) 。在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得3132这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。忽略二阶以上各项，可写成 33取一次近似，且令 有 例 已知某装置的输入输出特性求小扰动线性化方程。解 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数34 解 在 处泰勒展开，取一次近似 代入原方程可得 例 某容器的液位高度 h 与液体流入量 Q 满足方程式中 S 为液位容器的横截面积。若 h 与 Q 在其工作点附近做微量变化，试导出 h 关于 Q 的线性化方程。35在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程 平均斜率法36如果一非线

12、性元件输入输出关系如图所示,此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为37上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。如 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。38复习 拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义其中，原来的实变量函数f(t)原函数 变换后的复变量函数F(s)象函数拉普拉斯变换是 f(t)从时域到复频域F(S)的积分变换。 设函数f(t)在t大于等于0时有定义，且积分在s的某个域内存在，则其拉氏变换为：39拉普拉斯反变换：其中，c为常数拉氏变换的性质401、线性定理2、微分定理

13、：414、时域位移定理（延迟性质） 3、积分定理 时间函数延迟t0，相当于它的象函数乘以指数因子 425、复域位移定理 6、初值定理The Laplace transform of f(t) multiplied by , where is a constant, is equal to the Laplace transform F(s),with s replaced by ; that is, 437、终值定理终值定理成立的条件可归结为：SF(S)的所有极点都应位于S平面的左半部。8、卷积定理Let F1(s) and F2(s) be the Laplace transform of

14、f1(t)and f2(t), respectively, and f1(t)=0, f2(t)=0, for t0, then 44（2）微分定理L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理（8）卷积定理常见函数的拉氏变换45（1）阶跃函数(2) 脉冲函数 46（3）指数函数47（4）正弦函数48（2）单位阶跃常见函数L变换表（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数拉氏反变换49（1）反演公式（2）查表法（部分分式展开法）例 已知，求解.拉普拉斯反变换的部分分式展开50N(S)=0的根被称

15、为N(S)的零点； D(S)=0的根被称为D(S)的极点 。 设法把F(S)分解成若干个较简单的、能够从表中查到的项 的和，通过查表，可直接得到所求的原函数，这称为. 拉普拉斯反变换的部分分式法。通常：m nm=n时： 51Kn的系数如何确定？ 一、单根D(S)=0的根有2种情况：52二. 当 有重根时(设 为m重根，其余为单根)5354例1 已知，求解.例2 已知，求解.反变换例子55例3 已知，求解一.解二：56例4 已知，求解.用拉氏变换方法解微分方程57L变换系统微分方程L-1变换5823 传递函数 (transfer function)例 RC电路当u1为输入，u2为输出时：当u1确

16、定时，u2就完全由G所确定：U2(s)=G(s)U1(s),称G(s)为RC网络的传递函数59对于n阶系统，线性微分方程的一般形式为：传递函数的定义60在零初始条件下，取拉氏变换得：61传递函数的定义 线性定常系统(或元件)在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。62零初始条件这里，“零初始条件”有两方面含义：一指输入作用是t0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t= 时的值为零。二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t= 时 ，系统的输出量及各阶导数为零。许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的 。63传递函数的定义G(s)Ur(s)Uc(s

17、)s(U)s(U)s(Grc=64传递函数是关于复变量s的有理真分式，它的分子、分母的阶次是：。关于传递函数的几点说明传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出的性质无关；传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）不同的物理系统可以有相同的传递函数。传递函数与微分方程可相互转换65传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为当 时， ，所以， 一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。这将在第四章根轨迹中详述。传递函数是在零初始条件下建立的，因此

18、，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。66 （1）原则上不反映非零初始条件时系统响应的全部信息； （2）适合于描述单输入/单输出系统； （3）只能用于表示线性定常系统。传递函数的局限性传递函数的表达形式传递函数一般是复变函数，可以变换为各种形式：有理分式形式；零极点形式；时间常数形式。67 1有理分式形式 传递函数最常用的形式是下列有理分式形式 传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式，D(s)=0称为系统的特征方程，D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。68分母多项式的阶次定义为

19、系统的阶次。对于实际的物理系统，多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数，且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m，即 nm。 2零极点形式 将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 69 式中 ，称为系统的零点； 为系统的极点；k为系统的根轨迹放大系数。 3时间常数形式 将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式，然后在复数范围内因式分解，得 70式中，K为传递系数，通常也为系统的放大系数； 为系统的时间常数。71例1 RC电路（1）当u1为输入，u2为输出时：传递函数举例说明72（2）当u1为输入，i为输出时：73例2例2 RLC电路取ur为输入，

20、uc为输出，得求下图的传递函数：例375例4例4 机械位移系统取外力f(t)为输入 位移x(t)为输出根据牛顿第二定律，得7677四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见的几种形式有：特点： 输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。78（1） 比例环节式中 环节的放大系数，为一常数。79图 比例环节80（2） 积分环节式中，K=1/T ， T称为积分环节的时间常数。特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输 入消失，输出具有记忆功能。实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模 拟计算机中的积分器

21、等。（3）微分环节传递函数为：81理想微分 一阶微分 二阶微分 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。式中： 为时间常数， 为阻尼系数特点： 含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡。实例：RC网络82（4） 惯性环节T为时间常数。83当 时84惯性环节的单位阶跃响应求拉氏反变换得 85（5） 二阶振荡环节这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。 式中： 自然振荡角频率 阻尼比 86当输入量为阶跃函数时，输

22、出量的拉氏变换为：输出量为：当 时，上式特征方程的根为共轭复数87RLC 电路在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：88将传递函数转换为：式中： 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换， 其输出出现振荡。89（6）延迟（时滞）环节 传递函数为：微分方程为： 延迟时间：例 带钢厚度检测环节 9091 对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节 思考传递函数的概念只适应于线性定常系统？传递函数是否可以反映系统非零初始条件下的运动规律？ 传递函数只与系统本身的特性参数有关，与系统的输入量无关？92作业：24 动态结构图求传递函

23、数时，需对微分方程组消元，如果子方程较多，则过程很复杂；同时，传递函数不反映信号的传递过程。动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。93一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、方框(环节)、综合点(比较点)和引出点（或测量点） 。94动态结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。2. 方框95G(s)表示输入到输出单向传输间的函数关系.方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的

24、传递函数G(s)。信号线 带有箭头的直线，表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。3. 综合点(合成点、比较点)96综合点亦称加减点，表示对两个或两个以上的信号进行加、减代数运算，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 省略时也表示4. 引出点（测量点）97表示信号测量或引出的位置同一位置引出的信号大小和性质完全一样98方框比较点引出点二、动态结构图的基本连接形式1. 串联连接99G1(s)G2(s)X(s)Y(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。2. 并联连接100G1(

25、s)G2(s)X(s)Y(s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。3. 反馈连接101一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。这种连接形式称为反馈连接。G(s)R(s)C(s)H(s)三、系统动态结构图的绘制绘制原则： 按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。102系统动态结构图的绘制步骤1031、由输入到输出，依次列写系统的全部运动方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数

26、，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。3、按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。举例说明系统动态结构图的绘制例1 以机电随动系统为例，如下图所示104105由典型元部件的传函得其象方程组如下：系统各元部件的动态结构图(1)106系统各元部件的动态结构图(2)107系统各元部件的动态结构图(3)108系统各元部件的动态结构图(4)109系统各元部件的动态结构图(5)110系统各元部件的动态结构图(6)111)(smqsfJs+21mC)(sMm)(sMm)(smqsfJs+21sfJs+1系统各元部件的动态结构图(7)112)(smqsfJs+21mC)(sMm系统各

27、元部件的动态结构图(8)113)(smqsfJs+21mC)(sMm例2 绘制两级RC网络的结构图114115G(s)R(s)C(s)从左向右列方程组116将上页方程改写如下相乘的形式：117绘图：Ur(s)为输入，画在最左边。1/R11/sC11/R21/sC2UC(s)Ur(s)U1(s)i1(s)i2(s)-U1(s)-UC(s)这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。118 若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)从右到左列方程：119 这个结构与前一个不一样，所以选择不同的中间变量

28、，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。绘图 例3 速度控制系统120（1）比较环节和速度调节器环节121式中：比较环节和速度调节器环节的结构图122式中整理得 （2）速度反馈的传递函数 123式中： 为速度反馈系数 （3）电动机及功率放大装置124（4）系统的动态结构图 125四 结构图的等效变换思路： 在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。126变换前后的变量之间关系保持不变等效变换的原则 任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换

29、比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。1. 串联结构的等效变换（）串联结构图127G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)1. 串联结构的等效变换（）等效变换推导128G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串联结构的等效变换（）等效变换推导129G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)1. 串联结构的等效变换（）串联结构的等效变换图130G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)两个串联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的乘积。2. 并联结构的等

30、效变换并联结构图131C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)等效变换证明推导(1)132G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)2. 并联结构的等效变换等效变换证明推导133C1(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)C2(s) 并联结构的等效变换图134G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)G1(s) G2(s)R(s)C(s)两个并联的方框可以合并为一个方框，合并后方框的传递函数等于两个方框传递函数的代数和。3. 反馈结构的等效变换反馈结构图135G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)C(

31、s) = ?3. 反馈结构的等效变换等效变换证明推导136G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)3. 反馈结构的等效变换反馈结构的等效变换图137G(s)R(s)C(s)H(s)B(s)E(s)R(s)C(s)138以后均采用(s)表示闭环传递函数，负反馈时，(s)的分母为1回路传递函数，分子是前向通路传递函数。正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数，分子为前向通路传递函数。单位负反馈时R(s)C(s)例1利用结构图变换法，求位置随动系统的传递函数Qc(s)/Qr(s) 。139例题分析由动态结构图可以看出该系统有两个输入r，ML（干扰）。 我们知道：传递函数只表示一个特定的输出、

32、输入关系，因此，在求c对r的关系时，根据线性叠加原理，可取力矩 ML0，即认为ML不存在。140要点：结构变换的规律是：由内向外逐步进行。例题化简步骤（1)合并串联环节：141例题化简步骤（2)内反馈环节等效变换：142例题化简步骤（3)合并串联环节：143例题化简步骤（4)反馈环节等效变换：144例题化简步骤（5)求传递函数Qc(s)/Qr(s) ：145如何求？系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。146改变引出点、比较点的位置4. 综合点的移动（后移）147综合点后移(综合点从单元的输入端移到输出端)G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s

33、)原则： 移动前后保持信号的等效性综合点后移证明推导（移动前）148G(s)R(s)C(s)Q(s)综合点后移证明推导（移动后）149G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移证明推导（移动前后）150移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)？移动后综合点后移证明推导（移动后）151G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点后移等效关系图152G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)综合点前移（综合点从单元的输出端移到输入端）153G(s)R(s)C(s)Q(s)Q(s)？G(s)R(s)C(s)综合点前移证明推导（移动前）154G

34、(s)R(s)C(s)Q(s)综合点前移证明推导（移动后）155G(s)R(s)C(s)Q(s)？综合点前移证明推导（移动前后）156移动前G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)？移动后4. 综合点的移动（前移）157综合点前移证明推导（移动后）G(s)R(s)C(s)Q(s)？4. 综合点的移动（前移）综合点前移等效关系图158G(s)R(s)C(s)Q(s)G(s)R(s)C(s)Q(s)1/G(s)综合点之间的移动159R(s)C(s)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)4.综合点之间的移动160结论：多个相邻的综合点可以随意交换位置。R(s)C(s

35、)Y(s)X(s)R(s)C(s)Y(s)X(s)5. 引出点的移动引出点后移(引出点从单元的输入端移到输出端)161G(s)R(s)C(s)R(s)？G(s)R(s)C(s)R(s)问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。引出点后移等效变换图162G(s)R(s)C(s)R(s)G(s)R(s)C(s)1/G(s)R(s)引出点前移(引出点从单元的输出端移到输入端，)163问题： 要保持原来的信号传递关系不变， ？等于什么。G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)？C(s)引出点前移等效变换图164G(s)R(s)C(s)C(s)G(s)R(s)C(s)G(s)C

36、(s)引出点之间的移动165ABR(s)BAR(s)引出点之间的移动166相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。ABR(s)BAR(s)如何求？系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。167改变引出点、比较点的位置168引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG41G1G2G3G4H3H2H1(7)相加点和分支点一般不能变位169170综合点移动G2H1G1G3向同类移动G1G2G3H1G1等效变换汇总 171序号原结构图等效原结构图等效法则 1串联等效 2并联等效 3反馈等效 1724综合点前移5综合点后移6 分离点前移 1737分离点后移8交换和合并综合点9交换综合

37、点和分离点（一般不采用)10负号在支路上移动 结构图等效变换方法1) 三种典型结构可直接用公式2) 相邻综合点可互换位置3) 相邻引出点可互换位置注意: 1) 不是典型结构不可直接用公式2) 引出点综合点相邻，一般不可互换位置174五举例例2：系统动态结构图如下图所示，试求系统传递函数C(s)/R(s)。175例2 （例题分析）本题特点：具有引出点、综合交叉点的多回路结构。176例2 （解题思路）解题思路：消除交叉连接，由内向外逐步化简。177例2 （解题方法一之步骤1）将综合点2后移，然后与综合点3交换。178例2 （解题方法一之步骤2）179例2 （解题方法一之步骤3）180例2 （解题方

38、法一之步骤4）内反馈环节等效变换181例2 （解题方法一之步骤5）内反馈环节等效变换结果182例2 （解题方法一之步骤6）串联环节等效变换183例2 （解题方法一之步骤7）串联环节等效变换结果184例2 （解题方法一之步骤8）内反馈环节等效变换185例2 （解题方法一之步骤9）内反馈环节等效变换结果186例2 （解题方法一之步骤10）反馈环节等效变换187例2 （解题方法一之步骤11）等效变换化简结果188例2 （解题方法二）将综合点前移，然后与综合点交换。189例2 （解题方法三）引出点A后移190例2 （解题方法四）引出点B前移191例3 化简下图所示的多回环系统192193194结构图化

39、简步骤小结确定输入量与输出量。如果作用在系统上的输入量有多个，则必须分别对每个输入量逐个进行结构图化简，求得各自的传递函数。若结构图中有交叉联系，应运用移动规则，首先将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。对多回路结构，可由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框，即得到所求的传递函数。195结构图化简注意事项：不是典型结构不可直接用公式；196尽量避免综合点和引出点之间的移动。五、 信号流图及梅森（S.J.Mason）公式信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。能够很好的表明系统各环节之间的因果关系，描述信号从系统中一点到另一点的流通情况，表明各信号间的相互关系。当系统结构复杂时，框图化简

40、过程繁杂；引入信号流图（梅森提出）来分析系统，就可以迅速而直接地求出系统各变量之间的关系，并计算出系统的传递函数。197信号流图中的术语(1)节点:表示各变量的点,如x1等；(2)支路：连接两个节点的带箭头的线段，如x1 x2;(3)增益：两节点间的负载，如a12.198 a12x1x2 a12x1x2x2 =a12 x1 x2=a12x1+a32x3 x3=a13x1+a23x2+a33x3 x4=a24x2+a34x3信号流图中的术语(4)源点:只有输出支路没有输入支路的节点称为源点或输入节点。它一般表示系统的输入变量。如x1(5)汇点:只有输入支路没有输出支路的节点称为汇点或输出节点。它

41、一般表示系统的输出变量，如x4(6)混合节点: 既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点。如x2和x3199 a12x1x2信号流图中的术语(7)通路：从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径，称为通路。如 通路中各支路传输的乘积称为通路传输（通路增益），如上述通路的增益为a12 a23 a34 。(8)前向通路:从源点到汇点，且不重复过任一节点，该通路的各增益乘积称为前向通路增益。200信号流图中的术语(9)回路：通路的终点就是通路的起点，并且不重复通过任一节点，如：回环中各支路增益的乘积称为回环增益，如上述回路增益为：(10)自回路:出发点和终止点是

42、同一节点，且不经过任何其它节点，如：(11)不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回路，反之称为接触回路。201信号流图的绘制2021、根据系统的微分方程绘制信号流图例1: x2 =a12 x1 a12x1x2例2: x2=a12x1+a32x3 x3=a13x1+a23x2+a33x3 x4=a24x2+a34x3首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图2031、根据系统的微分方程绘制信号流图例3 一系统的方程组为：2、根据系统的结构图绘制信号流图204方框图与信号流图具有一定的对应

43、关系：方框图中的输入量、输出量对应信号流图中的源点和汇点；方框图中的信号线对应信号流图中的节点、方框（环节）对应支路、方框中的传递函数对应信号流图中的增益2、根据系统的结构图绘制信号流图205X4X3XrX1X2agXC-bcldf- G1 G2RE1UYE1+1-111-1RE1UE1Y梅森（S.J.Mason）公式207从输入端到输出端的前向通路总数的余子式，即在中，除去与第k条前向通道相接触的所有回路的L项主特征式从输入端到输出端第k条前向通路的总增益（或传递函数之积）待求传递函数208梅森公式参数解释：注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含

44、代表反馈极性的正、负号。 接触 指有公共的节点和支路。 209abcdebe, cf 回路, becf 不是回路abfd 是通道，aecd 和abecd 不是 f梅森公式应用举例例1210211例2212求：解：213（1）（2）214（3）（4）试应用梅森公式求取下图所示方框图的传递函数。 例3216梅逊公式 例R-CR(s)C(s)L1= G1 H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1P1=G1G2G31=1 G4(s) H1(s)

45、H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s)G4(s)G3(s)P2= G4G32=1+G1H1G4(s)G3(s)C(s)R(s)=?梅森公式应用举例例4：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)(直接从方框图求取)217求解步骤之一（例4）找出前向通路数n218求解步骤之一（例4）前向通路数：n1219求解步骤之二（例4）确定系统中的反馈回路数2201.寻找反馈回路之一2211.寻找反馈回路之二2221.寻找反馈回路之三2231.寻找反馈回路之四224225利用梅森公式求传递函

46、数(1)226利用梅森公式求传递函数(1)227利用梅森公式求传递函数(2)求余子式1228将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特征式 的求法，计算求余式1229将第一条前向通道从图上除掉后的图图中不再有回路，故1=1利用梅森公式求传递函数(3)230例5：用梅森公式求传递函数试求如图所示的系统的传递函数。231求解步骤之一：确定反馈回路232求解步骤之一：确定反馈回路233求解步骤之一：确定反馈回路234求解步骤之一：确定反馈回路235求解步骤之一：确定反馈回路236求解步骤之二：确定前向通路237求解步骤之二：确定前向通路238求解步骤之三：求总传递函数239例6：对例5做简单的修改24

47、0求反馈回路1241求反馈回路2242求反馈回路3243求反馈回路42442. 两两互不相关的回路1245两两互不相关的回路2246. 求前向通路12473. 求前向通路22484.求系统总传递函数249例7 求如图所示系统的传递函数该系统的前向通路及其传函为：250系统的回路及其传函为251上述各环互相接触，因此由此得系统的特征式上述各回环都与前向通路P1和P2 相接触（有共同环节或公共节点）根据梅逊公式求得系统传递函数为：252例 8 求传递函数 C(s)/R(s)253254例 9 求传递函数 C(s)/R(s)25525625系统的脉冲响应函数(本节放到第三章典型时间响应中讲)257脉冲响应函数即脉冲过渡函数，就是系统对单位脉冲函数 输入的响应，用k(t)表示。由此可知系统（或元件）的传函的拉氏反变换就等于它的脉冲响应。设系统传函为 ，而 所以有概念和定义258对于任意输入信号r(t)，系统输出为c(t)，则用拉氏变换的卷积定理可得：由此可知，对于线性系统，只要知道它的脉冲过渡函数k(t)，就可以计算出系统对任意输入信号r(t)的时间响应过程c(t)。注：传递函数简称传函（下同）259下面用线性系统的叠加原理说明式(2-5-1)的物理含义260设任意输入信号r(t)，如上图所示，分成一系列宽度为 的相邻矩形脉冲