天津科技大学第二学期高等数学(一二)期末试卷A 答案

1、(A)y*=(ax+b)e4x；(b)y*=x(ax+b)e4x；得分1.函数z二f(x,y)在点P(x,y)处的两个偏导数f(x,y)及000 xf(x,y)存在是函数z二f(x,y)可微的(B)条件.y(A)充分；(B)必要；(C)充分且必要；(D)即非充分又非必要.2.曲线积分I(1+xy2)dx+yf(x)dy与积分路径无关，且f(0)二1，则可微函数Lf(x)二(B).(A)2x+1；(B)x2+1；(C)2xy+1；3.已知区域D=x,y):x2+y2o,(D)x2y+1.则用极坐标化二重积分f(x,y)dxdy为二次积分是(C).D(A)(C)J2Kdof1f(rcos0,rsi

2、n0)rdr；0卜dof1f(rcos0,rsin0)rdr；00(B)(D)JdOJ1f(rcos0rsino)dr；00J2doJ1f(rcoso,rsino)dr.004.下列级数中，绝对收敛的是(D(A)艺巳nn=1(B)艺爭(C)n=1(1)n-1”=Jn(n+1)(D)(-1)n-15.微分方程y-8y+16y=(1一x)e4x的特解形式是(C)(C)y*=x2(ax+b)e4x；(d)y*=(ax2+bx+c)e4x.得分二、填空题（每小题3分,共15分）1.设函数z=xsiny,贝J=xcosy.oy2.z=4x2-y2在点(0,0)取到极大值.已知曲线L:x2+y2=1，则曲

3、线积分J4ds=8兀.口已知级数工axn在x=3收敛，那么级数工a2n绝对收敛.（填“收敛“绝nnn=0n=0对收敛”“发散”“不确定”）微分方程FC,（y）2,y4）=0的通解中含有2个独立任意常数.得分三、多元函数微分学计算题（每小题6分,共12分）oz1.若函数z=z(x，y)由方程x2+2y+z2=z确定求ox-解：方程两端同时对x求偏导（2分）得2x+2z暮甘，（5分）普=吕（6分）oxoxox12z2若函数z=f（x，y）有一阶偏导数设z=/（xy，x2+y2），求0-解：竺=fxOy1(3分)+2y(6分)得分多元积分学计算题（每小题7分,共14分）1.计算二重积分IJJydxd

4、y其中区域D由y=x2及y=1围成.D解：区域D:-1x1,x2y1（2分）所以I=JJydxdyJ1dxJ1ydy4分）6分）（7分）=J1（1-x4）dx2-1=4=52.计算I=JJxy2dydz+x2ydzdx+x2dxdy，其中S是立体QQ=x,y,z）：x2+y2z1的整个表面外侧.八QP八QQ厂OR八TOC o 1-5 h z解：P=xy2,=y2，Q=x2y,=x2，R=x2,=0OxOyOz3分）Q:002兀,0r1,r2z1由高斯公式，I=JJJ（x2+y2）dxdydz=J2兀d0J1rdrJ1r2dz（5分）00r2Q7分）得分微分方程计算题（每小题8分,共16分）1.

5、当|x1时，求微分方程（1-x2）y-xy=0的通解.解：设y=P，则y=P（3分）原方程变为（1-x2）-xp=0,于是塑=dxp1-x2（4分）y=p=C16分）n=1n=1TOC o 1-5 h z/.y=Carcsinx+C（8分）122求微分方程y4y+3y=0满足初始条件y（0）=1,y（0）=3的特解.解：特征方程是r2-4r+3=0所以ri=1，r2=3（3分） HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 通解是Y=Ciex+qe3x（4分）YCex+3Ce3x，12C+C1带入初始条件得J1山进而C0,C1（7分）C+3C31212所求

6、特解是Ye3x.（8分）得分六、无穷级数（每个7分，共21分）1.判别级数艺Sinn的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.n2n=1解：对于牙sinnn2n=1sinn由于n2n22分）级数n=11n2收敛，从而由比较法知级数n=1sinn收敛6分）Esinn绝对收敛。（7分）n2n=12.求级数nx-的收敛半径和收敛区间.2n解：n22n+lR=limn2(n+1)24分)TOC o 1-5 h z收敛区间是(-2,2)。(7分)3.将函数f(x)=丄展为x的幕级数，并指出收敛区间.x-3解：f(x)=-(2分)x-33-x111弋1=乙Xn31X33n1n=03的15分)(4分)=-LXn3n+1n=0 x得分由31=|x3知收敛区间是(3,3)。(7分)七、(7分)计算曲线积分I=f申(y)cosx兀ydx+0(y)sinx兀dy其中AMBAMB连接A(兀,2)与B(3k,4)的线段AB下方的任意分段光滑的简单闭曲线，且该曲线与AB所围区域D面积为2.解：补BA，(1分)已知P=9(y)cosx兀y，Q=0(y)sinx兀，由格林公式得fPdx+Qdy=aMBadff匹apQxSydxdy=kffdxdy=2